Aufgaben zum Kurs "Praktische Umformungen zum Ableiten von Bruchtermen"

Hier findest du Übungsaufgaben zur Umformung von Bruchtermen, für das Ableiten. Diese Aufgaben lehnen an den dazu passenden Kurs an.

Vereinfache die nachfolgenden Funktionsterme möglichst geschickt und bilde die Ableitungsfunktionen.

$f(z)=\dfrac{3z^2}{14}+\dfrac{2z^2}{7}$

$\displaystyle h(t)= -\frac{t^3}{3}-\frac{t^3}{6}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme

Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.

Bringe die zwei Brüche auf den Hauptnenner, um dann die Brüche zusammen zu fassen..

$\displaystyle h\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{t^3}{3}-\frac{t^3}{6}$
	↓	Erweitere den Bruch $\dfrac{t^3}{3}$ mit 2.
	$=$	$\displaystyle -\frac{2t^3}{6}-\frac{t^3}{6}$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\displaystyle \frac{-2t^3-t^3}{6}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-3t^3}{6}$
	↓	Ziehe den Faktor vor den Bruch.
	$=$	$\displaystyle -\frac{t^3}{2}$

Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von $h(t)$ .

$\displaystyle h'(t)= -\frac{1}{2}\cdot 3\cdot t^2=-\frac{3}{2}t^2\displaystyle =-1{,}5t^2$

Du kannst hier $\displaystyle t^3$ ausklammern , um die Funktion zu vereinfachen.

$\displaystyle h\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{t^3}{3}-\frac{t^3}{6}$
	↓	Ziehe die Fakoren vor die Brüche.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{6}t^3$
	↓	Du kann hier $\displaystyle t^3$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)\cdot t^3$
	↓	Erweitere den Bruch $-\dfrac{1}{3}$ mit 2.
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{2}{6}-\frac{1}{6}\right)\cdot t^3$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{-2-1}{6}\right)\cdot t^3$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{6}\cdot t^3$
	↓	Kürze den Bruch mit 3.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}t^3$

Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von $h(t)$ .

$\displaystyle h'(t)= -\frac{1}{2}\cdot 3\cdot t^2=-\frac{3}{2}t^2\displaystyle =-1{,}5t^2$

Beide Varianten liefern das Endergebnis $\displaystyle h'(t)= -1{,}5t^2$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

\displaystyle k(s)=\frac{6s^3+4}{2\sqrt{2}}

\displaystyle k(s)=\frac{6s^3+4}{2\sqrt{2}}

Welche der folgenden Umformungen sind richtig?

Leite die Funktion $f$ ab.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle k\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{6s^3+4}{2\sqrt{2}}$
	↓	Klammere im Zähler den Faktor 2 aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot\left(3s^2+2\right)}{2\sqrt{2}}$
	↓	Kürze mit 2.
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(3s^2+2\right)}{\sqrt{2}}$
	↓	Ziehe $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ vor den Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(3s^3+2\right)$

$\displaystyle k´\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(9s^2+0\right)$
	↓	Schreibe $9s^2$ in den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{9s^2}{\sqrt{2}}$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x^3-2x}{70}$
	↓	Ziehe den Bruch vor.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{70}\cdot\left(x^3-2x\right)$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{x^3-2x}{70}$
	↓	Ziehe den Bruch vor.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{70}\cdot\left(x^3-2x\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{70}\cdot x^3-\frac{1}{70}\cdot2x$

$\displaystyle f\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3z^2}{14}+\frac{2z^2}{7}$
	↓	Erweitere $\dfrac{2z^2}{7}$ mit $2$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{3z^2}{14}+\frac{4z^2}{14}$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\displaystyle \frac{3z^2+4z^2}{14}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{7z^2}{14}$
	↓	Kürze den Bruch mit $7$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{z^2}{2}$
	↓	Ziehe den Faktor vor den Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}z^2$

$\displaystyle f\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3z^2}{14}+\frac{2z^2}{7}$
	↓	Klammere $z^2$ aus.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{3}{14}+\frac{2}{7}\right)\cdot z^2$
	↓	Erweitere $\dfrac{2}{7}$ mit $2$ .
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{3}{14}+\frac{4}{14}\right)z^2$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\displaystyle \frac{3+4}{14}\cdot z^2$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{7}{14}\cdot z^2$
	↓	Kürze den Bruch mit $7$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot z^2$

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{70}\left(3x^2-2\right)$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{70}x^2-\frac{2}{70}$
	↓	Kürze den Bruch $\frac{2}{70}$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{70}x^2-\frac{1}{35}$