Die Ableitung einer Funktion %%f%% an einer Stelle %%x%% gibt die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an.

Bezeichnet wird sie zumeist mit %%f'(x)%%.

 

Ist %%f'(x_0)>0%%, so steigt der Graph von %%f%% an der Stelle %%x_0%%.

Ist %%f'(x_0)<0%%, so fällt der Graph von %%f%% an der Stelle %%x_0%%.

 

An den Extremstellen der Funktion und an Terrassenpunkten gilt:

%%f'(x_0)=0%%.

 

Die Ableitung spielt daher eine wichtige Rolle bei der Berechnung der Extrema und bei der Untersuchung der Monotonie einer Funktion.

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Funktionen, die an jeder Stelle %%x%% der Definitionsmenge eine Ableitung besitzen, nennt man differenzierbar. Das Berechnen der Ableitung nennt man Differenzieren.

Für die Berechnung der Ableitung existieren entsprechende Ableitungsregeln.

Definition

Die Ableitung an einem Punkt

Die Ableitung ist zunächst nur für einen Punkt %%\left(x_0\;\left|\;f\left(x_0\right)\right.\right)%%  auf dem Graphen einer Funktion %%f\left(x\right)%%  bzw. für eine Stelle %%x_0%%  definiert. Sie ist gegeben durch

%%\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}%% oder alternativ %%\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}%%.

Anschaulich erhält man durch den Differenzenquotienten die Steigung der Sekante an den Funktionsgraphen von dem Punkt %%x_0%% und einem anderen Punkt. Die Idee bei beiden Defintionen ist, dass man die Tangente durch Sekanten annähert, indem man den x-Wert des zweiten Punktes immer näher an %%x_0%% wählt. 

  

Was bedeutet diese Definition anschaulich?  

Die Bilderfolge veranschaulicht die Bildung des Grenzwerts mit der Definition  $$\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}h.$$

Im Folgenden wird die Ableitung der Funktion %%f\left(x\right)%% an der Stelle %%x_0%% berechnet. Der Punkt %%A=(x_{0}|f(x_0))%% ist der entsprechende Punkt auf dem roten Funktionsgraphen. Nun wähle man einen zweiten Punkt %%B%%, dessen x-Koordinate um %%h%% größer ist als %%x_0%%, also %%x_0+h%%. Dieser Punkt besitzt also die Koordinaten %%B=(x_0+h|f(x_0+h))%%. Durch diese zwei Punkte %%A%% und %%B%% lässt sich die zugehörige Sekante %%g%% bestimmen.

Wird nun der Punkt %%B%% auf dem Graphen in Richtung von %%A%% "geschoben" (d.h. die x-Koordinate %%x_B%% von %%B%% immer weiter an die x-Koordinate %%x_A%% von %%A%% angenähert, also %%h%% immer weiter verringert), so wird die Sekante %%g%% im Grenzfall %%x_B=x_A=x_0%% zur Tangente. Die mit Hilfe des Differenzenquotienten ermittelbare Sekantensteigung wird somit zur Tangentensteigung, die wiederum dem Wert der Ableitung der Funktion %%f%% an der Stelle %%x_0%% entspricht.

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%%A%% und %%B%% liegen weit auseinander. Die türkise Gerade schneidet gut sichtbar den roten Graphen. Man erhält also eine Sekante.

Die Steigung der Sekante ist mit einem Steigungsdreieck (vgl. Differenzenquotient) %%\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}h%% zu bestimmen.

Nun wird der Grenzwert gebildet.

%%\lim_{h\rightarrow0}%%  bedeutet, dass der Wert von %%h%% immer kleiner wird. Das bedeutet wiederum, dass %%x_0%% und %%x_0+h%%, also %%A%% und %%B%% immer näher aneinander kommen, bis…

… die Differenz %%h%% ganz verschwindet, also %%A=B%% ist. Die türkise Gerade berührt den roten Graphen an dieser Stelle. Wir bekommen also eine Tangente.

Die Steigung dieser Tangente ist gleich der Ableitung an der Stelle %%x_0%%.

Existiert die Ableitung für alle Werte des Definitionsbereichs?

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Nicht jede Funktion besitzt in jedem Punkt eine Ableitung. Das kann zum Beispiel daran liegen, dass die Funktion an einer Stelle einen Knick besitzt oder unstetig ist. So ist zum Beispiel die Betragsfunktion %%f(x) = |x|%% an der Stelle 0 nicht differenzierbar. Der Artikel „Differenzierbarkeit“ liefert zu diesem Thema genauere Informationen.

Die Ableitung als Funktion

Von der Ableitung an einem bestimmten Punkt ist es nur ein kleiner Schritt zur Ableitung auf dem ganzen Definitionsbereich . Denn alle "normalen" Funktionen (die in der Schule behandelt werden) besitzen für alle  %%x \in D%% den gleichen Differenzenquotienten in Abhängigkeit von x. In dem Fall kann man die Ableitungen mit Hilfe der Ableitungsregeln bestimmen.

Beispiel mit %%f\left(x\right)=x^2%%

Wir berechnen die Ableitung der Funktkon  %%f\left(x\right)=x^2%%   und benutzen die Definition  %%\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}%% .  Mit Hilfe der dritten binomischen Formel bekommen wir für die Ableitung %%\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{\left(x+x_0\right)\left(x-x_0\right)}{x-x_0}=\lim_{x\rightarrow x_0}\left(x+x_0\right)=2x_0%%. Das heißt, dass egal an welchem Punkt %%x_0%% wir die Ableitung ausrechnen, wir bekommen immer %%2x_0%%.

Höhere Ableitungen

Wenn die erste Ableitung nochmal abgeleitet wird, wird das Ergebnis zweite Ableitung genannt und so weiter. Zumeist werden für die Kurvendiskussion nur die ersten drei Ableitungen benötigt.

Im Bild erkennt man auch wieder, dass die Ableitung die Steigung der Funktion ist:

  • Die Ableitung von %%f%% ist negativ bis 1, und danach positiv. Dementsprechend fällt %%f\left(x\right)%% bis %%x=1%%  und steigt danach.

  • Desweiteren ist %%f'\left(x\right)%% eine Gerade mit konstanter Steigung und  %%f''\left(x\right)%%  ist konstant.

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Notation

Die Ableitung einer Funktion wird mit einem Strich ( %%'%% ) nach der Bezeichnung der Funktion gekennzeichnet. Bei höheren Ableitungen fügt man weitere Striche hinzu. Der Übersichtlichkeit halber verwendet man ab der vierten Ableitung statt der jeweiligen Anzahl an Strichen die entsprechende Zahl hochgestellt und eingeklammert.

  • Funktion %%f(x)%%
  • 1.Ableitung %%f'(x)%%
  • 2.Ableitung %%f''(x)%% $$\vdots$$
  • n-te Ableitung %%f^{(n)}(x)%%
Ableitung nach der Zeit

In der Physik gibt es auch die Notation mit einem bzw. mehreren Punkten über der Funktionsbezeichnung für die Ableitungen nach der Zeit.

%%x\Rightarrow\dot x%%

%%x(t)\Rightarrow\dot x(t)%%

%%\dot y\Rightarrow\ddot y,\dots%%

Alternative Notationen

Als Alternative zu dem Strich kann man auch Differentiale (Für eine Begriffserklärung: Wikipedia) verwenden.

$$f'\left(x\right)=\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}\left(x\right)=\frac{\mathrm df\left(x\right)}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}f\left(x\right)$$

Wofür braucht man Ableitungen?

Die erste Ableitung gibt die Steigung einer Funktion an.

Hat man eine Funktion gegeben, dann kann man aus der Ableitung zum Beispiel ablesen, wann die Funktion am stärksten steigt bzw. gar nicht steigt und kann dadurch Rückschlüsse ziehen, wie der Funktionsgraph aussieht. Diese Methode dient unter anderem der Bestimmung von Extremstellen bzw. Extremwerten.

Bildet man die Ableitung der Ableitung, so erhält man die zweite Ableitung, sozusagen die Steigung der Steigung. Die zweite Ableitung ist die Krümmung des Funktionsgraphen. 

Die zweite Ableitung ermöglicht z.B. eine Antwort auf die Frage: Wann ist die Steigung konstant?

Ableitungen in der Kurvendiskussion

Ableitung

Beispiel

Bedeutung

Ausgangsfunktion:

%%f(x)=x^3-6x^2+10x-1%%

Erste Ableitung:

%%f'(x)=3x^2-12x+10%%

Steigung von %%f%%

Zweite Ableitung:

%%f''(x)=6x-12%%

Krümmung von %%f%%

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  • Jeder x-Wert eines Extremums der Funktion ist eine Nullstelle der Ableitung.

  • Jeder x-Wert eines Wendepunktes einer Funktion ist ein x-Wert eines Extremums der Ableitung.

  • Jeder x-Wert eines Wendepunktes einer Funktion ist eine Nullstelle der zweiten Ableitung.

  • Achtung: Die Rückrichtung dieser Aussagen muss nicht richtig sein.

Ableitung und Integral

Das Integral ist das Gegenstück zur Ableitung. Leitet man eine integrierte Funktion ab, erhält man die ursprüngliche Funktion und ebenso umgekehrt (abgesehen von einer Konstante, die hier noch hinzukommen kann). Dieser Zusammenhang ist die Aussage des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung (HDI).

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Zu article Ableitung: Abschnitt unverständlich: Die Ableitung als Funktion
Kulla 2016-07-18 21:40:42
Der Abschnitt "Die Ableitung als Funktion" ist für mich unverständlich. Was bedeutet es, dass Funktion für verschiedene x denselben Differenzenquotienten besitzen (oder Differentialquotient?!) Ist die Ableitung überall gleich?!
SebSoGa 2016-07-19 12:42:19
Hey Kulla,
der Abschnitt ist komisch formuliert, wir schreiben den gleich um. Mir wird jedoch angezeigt, dass du bereits den Artikel bearbeitet hast und ich kann nicht sehen, was du verändert hast.
Kannst du mir sagen, welche Änderungen du gemacht hast bevor ich etwas doppelt bearbeite?

LG
Kulla 2016-07-20 08:09:27
Ich habe nur Änderungen in den Abschnitt davor vorgenommen.
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Zu article Ableitung: Ableitungsfehler
Berger 2015-04-01 09:35:09
Ableitung in der Kurvendiskussion: müsste es nicht 3xzum2 statt3xzuhoch3?
Hannes 2015-04-02 10:23:08
Hi Berger,
du hast natürlich recht! Vielen Dank für deinen Kommentar! Ich habe es ausgebessert! Falls du Lust dazu hast, kannst du solche Fehler auch selbst ausbessern bzw. die Artikel an sich bearbeiten!
LG
Hannes
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