Aufgaben zum Kurs "Praktische Umformungen zum Ableiten von Bruchtermen"

Vereinfache die nachfolgenden Funktionsterme möglichst geschickt und bilde die Ableitungsfunktionen.

$f(z)=\dfrac{3z^2}{14}+\dfrac{2z^2}{7}$

$\displaystyle h(t)= -\frac{t^3}{3}-\frac{t^3}{6}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchterme

Wenn man die Funktionen mit Hilfe der Rechenregeln für Bruchterme umformt, ist das Ableiten einfacher.

Bringe die zwei Brüche auf den Hauptnenner, um dann die Brüche zusammen zu fassen..

$\displaystyle h\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{t^3}{3}-\frac{t^3}{6}$
	↓	Erweitere den Bruch $\dfrac{t^3}{3}$ mit 2.
	$=$	$\displaystyle -\frac{2t^3}{6}-\frac{t^3}{6}$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\displaystyle \frac{-2t^3-t^3}{6}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-3t^3}{6}$
	↓	Ziehe den Faktor vor den Bruch.
	$=$	$\displaystyle -\frac{t^3}{2}$

Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von $h (t)$ .

$\displaystyle h'(t)= -\frac{1}{2}\cdot 3\cdot t^2=-\frac{3}{2}t^2\displaystyle =-1{,}5t^2$

Du kannst hier $\displaystyle t^3$ ausklammern , um die Funktion zu vereinfachen.

$\displaystyle h\left(t\right)$	$=$	$\displaystyle -\frac{t^3}{3}-\frac{t^3}{6}$
	↓	Ziehe die Fakoren vor die Brüche.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{6}t^3$
	↓	Du kann hier $\displaystyle t^3$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\right)\cdot t^3$
	↓	Erweitere den Bruch $-\dfrac{1}{3}$ mit 2.
	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{2}{6}-\frac{1}{6}\right)\cdot t^3$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{-2-1}{6}\right)\cdot t^3$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{6}\cdot t^3$
	↓	Kürze den Bruch mit 3.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}t^3$

Bilde nun mit Hilfe der Regel zum Ableiten von Potenzfunktionen die Ableitung von $h (t)$ .

$\displaystyle h'(t)= -\frac{1}{2}\cdot 3\cdot t^2=-\frac{3}{2}t^2\displaystyle =-1{,}5t^2$

Beide Varianten liefern das Endergebnis $\displaystyle h'(t)= -1{,}5t^2$ .

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\displaystyle k(s)=\frac{6s^3+4}{2\sqrt{2}}

$\displaystyle k\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{6s^3+4}{2\sqrt{2}}$
	↓	Klammere im Zähler den Faktor 2 aus.
	$=$	$\displaystyle \frac{2\cdot\left(3s^2+2\right)}{2\sqrt{2}}$
	↓	Kürze mit 2.
	$=$	$\displaystyle \frac{\left(3s^2+2\right)}{\sqrt{2}}$
	↓	Ziehe $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ vor den Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(3s^3+2\right)$

$\displaystyle k´\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(9s^2+0\right)$
	↓	Schreibe $9 s^{2}$ in den Zähler.
	$=$	$\displaystyle \frac{9s^2}{\sqrt{2}}$

$\displaystyle f\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3z^2}{14}+\frac{2z^2}{7}$
	↓	Erweitere $\dfrac{2z^2}{7}$ mit $2$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{3z^2}{14}+\frac{4z^2}{14}$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\displaystyle \frac{3z^2+4z^2}{14}$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{7z^2}{14}$
	↓	Kürze den Bruch mit $7$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{z^2}{2}$
	↓	Ziehe den Faktor vor den Bruch.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}z^2$

$\displaystyle f\left(z\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{3z^2}{14}+\frac{2z^2}{7}$
	↓	Klammere $z^{2}$ aus.
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{3}{14}+\frac{2}{7}\right)\cdot z^2$
	↓	Erweitere $\dfrac{2}{7}$ mit $2$ .
	$=$	$\displaystyle \left(\frac{3}{14}+\frac{4}{14}\right)z^2$
	↓	Bringe die zwei Brüche auf einen Bruchstrich.
	$=$	$\displaystyle \frac{3+4}{14}\cdot z^2$
	↓	Fasse den Zähler zusammen.
	$=$	$\displaystyle \frac{7}{14}\cdot z^2$
	↓	Kürze den Bruch mit $7$ .
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot z^2$