Als Hauptnenner zweier oder mehrerer Brüche bezeichnet man das kleinste gemeinsame Vielfache ihrer Nenner. "Auf den Hauptnenner bringen" bedeutet, die Brüche alle so zu erweitern oder zu kürzen, dass alle den selben Nenner besitzen. Dies ist z.B. notwendig, um ihre Größe zu vergleichen und sie zu addieren oder zu subtrahieren.

Rechnerisches  Vorgehen

Zuerst soll das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner bestimmmt werden. Dafür wendet man die Primfaktorzerlegung an. Um den Hauptnenner zu errechnen, werden dafür alle Primfaktoren der beiden Nenner so oft, wie sie bei den Zerlegungen am häufigsten vorkommen, multipliziert. Dieses Verfahren wird dir im Artikel für kgV genauer erklärt.

Die beiden Brüche erweitert man nun so, dass ihre Nenner das kleinste gemeinsame Vielfache erreichen und hat die Brüche so auf einen Hauptnenner gebracht.

Beispiel 1

Gegeben: %%\displaystyle\frac16+\frac35%%

Zuerst schaust du dir die Brüche einzeln an und überprüfst, ob du sie kürzen kannst. Weder %%\displaystyle\frac16%% noch %%\displaystyle\frac35%% kann man kürzen.

Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen, schaust du dir die Nenner an. Hier sind wir auf der Suche nach Primfaktoren. Hierzu nutzen wir die Primfaktorzerlegung.

%%6\;=\;3\;\cdot\;2\;%%

%%5%% ist schon eine Primzahl.

Über die Primfaktorzerlegung bestimmst du das kgV. Das ist unser Hauptnenner. In unserem Beispiel ist das %%3\;\cdot\;2\;\cdot\;5\;=\;30%%. Im nächsten Schritt erweiterst du die Brüche auf den Hauptnenner %%30%% und kannst sie jetzt summieren.

%%\displaystyle\frac16\;+\;\frac35\;\;=\;\frac{1\;\cdot\;5}{6\;\cdot\;5}\;+\;\frac{3\;\cdot\;6}{5\;\cdot\;6}\;=\frac{5\;+\;18}{30}\;=\frac{23}{30}%%

Beispiel 2

%%\displaystyle\frac1{48}+\frac1{90}%% soll ausgerechnet werden.

Mache zunächst eine Primfaktorzerlegung der Nenner.

%%48=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3%%

%%90=2\cdot3\cdot3\cdot5%%

Der Primfaktor %%2%% kommt am häufigsten in der Zahl %%48%% vor: %%4%% mal. %%\Rightarrow2\cdot2\cdot2\cdot2%%

Der Primfaktor %%3%% kommt am häufigsten in der Zahl %%90%% vor: %%2%% mal.
%%\Rightarrow3\cdot3%%

Der Primfaktor %%5%% kommt am häufigsten in der Zahl %%90%% vor: %%1%% mal.
%%\Rightarrow5%%

%%2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5=720%%

Der Hauptnenner von %%\frac1{48}%% und %%\frac1{90}%% ist also %%720%%.

Jetzt erweitert man die Brüche auf den Nenner %%720%%.

%%\displaystyle\frac1{48}=\frac{15\cdot1}{15\cdot48}=\frac{15}{720}%%

%%\displaystyle\frac1{90}=\frac{8\cdot1}{8\cdot90}=\frac8{720}%%

Nun kann man die Brüche zusammenaddieren.

%%\displaystyle\frac1{48}+\frac1{90}=\frac{15}{720}+\frac8{720}=\frac{23}{720}%%

 

weitere Beispielaufgaben

Enthält deine Gleichung Variablen, verwende dieses Verfahren zum Bilden des Hauptnenners mit Variablen.

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Zu article Hauptnenner bilden: Feedback von der Willy-Brandt-Gesamtschule
Simon 2015-11-23 19:00:20
Hauptnenner wird in der 5ten Klasse zum Bruchrechnen gebraucht, da ist die Primfaktorzerlegung noch nicht bekannt. Ein besserer Einstieg wäre z.B. 2/3 und 1/2, wo die SchülerInnen durch Überlegung draufkomme können. Für einen Kurs zu dem Thema wäre es vll Sinnvoll ein Beispiel zu nehmen, wo erstma nur ein Bruch gekürzt werden muss.
Renate 2015-11-23 23:31:19
@Simon und @Redaktion:
Kleine Anmerkung / Korrektur, nur um etwaigen Irritationen vorzubeugen:

Meines Wissens wird im Gymnasium in Bayern Bruchrechnen erst in der 6. Klasse behandelt und dort dann auch die (in der 5. Klasse durchgenommene) Primfaktorzerlegung eingesetzt.

Aber in manchen anderen Schulen (Mittelschule? Realschule?) wird offenbar die Primfaktorzerlegung nicht verwendet (vermutlich sogar gar nicht behandelt), sondern der Hauptnenner durch "Überlegung" - um Simons Formulierung aufzugreifen - (d.h. letztlich wohl durch "Heraufzählen" des Einmaleinses eines der beiden Nenner) ermittelt.

FAZIT: Beide Methoden sollten auf Serlo zu finden sein. Die Primfaktorzerlegung ist mathematisch überlegen, aber sie nützt dem nichts, der sie gar nicht kennt.
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