Summenregel

Die Summenregel besagt, dass die Ableitung der Summe differenzierbarer Funktionen gleich der Summe ihrer Ableitungen ist.

SatzSummenregel

Wenn $u$ und $v$ solche differenzierbaren Funktionen sind, berechnet sich also die Ableitung ihrer Summe aus:

\displaystyle \big(u(x)+v(x)\big)'=u'(x)+ v'(x)

Beispiele

1) Bestimme die Ableitung der Funktion $f (x) = 3 x + 7$ .

Leite dazu die einzelnen Summanden $3 x$ und $7$ ab

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f'(x)&=&(3x+7)' \\ &=&\left(3x\right)'+\left(7\right)'\ \\&=&\ 3\ +0\ \\&=&3\end{array}

2) Bestimme die Ableitung der Funktion $f$ mithilfe der Summenregel:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f\left(x\right)&=&2x^3+4x^4-13\ \\&=&2x^3+4x^4+\left(-13\right)\end{array}

Bei der Summenregel ist darauf zu achten, dass alle Summanden einzeln abgeleitet werden. Diese Summanden sind durch ein + verbunden. Du musst also $2 x^{3}$ und $4 x^{3}$ und $- 13$ einzeln ableiten.

Für eine Potenzfunktion $g (x) = x^{n}$ berechnet sich die Ableitung mit

\displaystyle g´\left(x\right)=n\cdot x^{n-1}

Die Ableitung von Konstanten wie $- 13$ ist Null.

Berechne die Ableitung der Summanden:

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcllll}f(x)&=&2x^3&+&4x^4&+&(-13)\\f'(x)&=&(2x^3)'&+&(4x^4)'&+&(-13)'\\&=&3\cdot2x^{3-1}&+&4\cdot4x^{4-1}&+&0\\&=&6x^2&+&16x^3\end{array}

Somit ergibt die Ableitung dieser Funktion:

\displaystyle f´\left(x\right)=6x^2+16x^3

3) Bestimme die Ableitung von $f (x) = x + e^{x}$

$\displaystyle f'(x)$	$=$	$\displaystyle \left(x+e^x\right)'$
	↓	Summenregel
	$=$	$\displaystyle (x)'+(e^x)'$
	$=$	$\displaystyle 1+e^x$

Übungsaufgaben: Summenregel

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