Aufgaben zu linearen Funktionen und Geradengleichungen

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann

Funktionsgleichung bestimmen.

Eine Gerade hat die Steigung $a_{1}$ und verläuft durch den Punkt P. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung f(x), die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen.

$a_{1} = \frac{1}{2}$ $P (4 | - 2)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen

Bestimmung der Funktionsgleichung

Allgemeine Geradengleichung: $y = m \cdot x + t$

hier ist $m = a_{1}$

$f (x)$	$=$	$a_{1} \cdot x + t$
	↓	Setze $a_{1} = \frac{1}{2}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$f (x)$	$=$	$\frac{1}{2} x + t$
	↓	Setze P in f(x) ein.
$- 2$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 4 + t$	$- 2$
	↓	löse nach t auf
$t$	$=$	$- 4$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$f (x) = \frac{1}{2} x - 4$

Bestimmung des Schnittpunkts mit der y-Achse

Gesucht ist der sogenannte y-Achsenabschnitt (hier: t), also wo $y = f (0) = 0$ und $x = 0$ ist.

Da die allgemeine Geradengleichung

$f (x) = m \cdot x + t$ lautet, gilt immer für

$f (0) = m \cdot 0 + t = t$ .

Hier ist $t = - 4$

$\Rightarrow$ Schnittpunkt mit der y-Achse bei $(0 | - 4)$

Bestimmung des Schnittpunkts mit der x-Achse

$f (x)$	$=$	$0$
	↓	Gesucht ist hier ein x mit f(x) =0 und somit y=0 ist. Setze Funktionsgleichung gleich 0.
$\frac{1}{2} x - 4$	$=$	$0$	$+ 4$
$\frac{1}{2} x$	$=$	$4$	$: \frac{1}{2}$
$x$	$=$	$\frac{4}{\frac{1}{2}}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x$	$=$	$4 \cdot 2$
$x$	$=$	$8$

$\Rightarrow$ Schnittpunkt mit der x-Achse bei $(8 | 0)$

Zeichnung

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$a_{1} = \frac{3}{4} P (1 | - 3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen

Bestimmung der Funktionsgleichung

Allgemeine Geradengleichung:

$f (x)$	$=$	$a_{1} \cdot x + t$
	↓	t: y-Achsenabschnitt Setze $a_{2} = \frac{3}{4}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$f (x)$	$=$	$\frac{3}{4} x + t$
	↓	Setze P(1/-3) in f(x) ein.
$- 3$	$=$	$\frac{3}{4} \cdot 1 + t$
	↓	Multipliziere
$- 3$	$=$	$\frac{3}{4} + t$	$- \frac{3}{4}$
$t$	$=$	$- 3 - \frac{3}{4}$
	↓	Addiere
$t$	$=$	$- 3,75$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$f (x) = \frac{3}{4} x - 3,75$

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze $f (x) = 0$ , um die Nullstellen zu bestimmen.

$\frac{3}{4} x - 3,75$	$=$	$0$	$+ 3,75$
$\frac{3}{4} x$	$=$	$3,75$	$: \frac{3}{4}$
$x$	$=$	$3,75 : \frac{3}{4}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\to$ Multipliziere mit dem Kehrwert.
$x$	$=$	$3,75 \cdot \frac{4}{3}$
	↓	Multiplikation
$x$	$=$	$5$

Also ist der Schnittpunkt mit der x-Achse bei $(5 | 0)$

Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist bei $(0 | - 3,75)$

Zeichung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6348_VhY2Zs0H43.xml

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$a_{1} = 2 P (3 | - 1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen

Bestimmung der Funktionsgleichung

Allgemeine Geradengleichung: Hier mit $m = a_{2}$

$f (x)$	$=$	$a_{1} \cdot x + t$
	↓	t: y-Achsenabschnitt Setze $a_{3} = 2$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$f (x)$	$=$	$2 x + t$
	↓	Setze P(3/-1) in f(x) ein.
$- 1$	$=$	$2 \cdot 3 + t$
	↓	Multipliziere
$- 1$	$=$	$6 + t$	$- 6$
$t$	$=$	$- 1 - 6$
	↓	Subtrahiere
$t$	$=$	$- 7$
	↓	Setze t in f(x) ein.

$f (x) = 2 x - 7$

Bestimmung der Achsenschnittpunkte

Setze $f (x) = 0$ , um die Nullstellen zu bestimmen.

$2 x - 7$	$=$	$0$	$+ 7$
$2 x$	$=$	$7$	$: 2$
$x$	$=$	$7 : 2$
	↓	Dividiere
$x$	$=$	$3,5$

$\Rightarrow$ Der Schnittpunkt mit der x-Achse bei $(\frac{7}{2} | 0)$ .

Der y-Achsenabschnitt entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse.

$\Rightarrow$ Schnittpunkt mit der y-Achse bei $(0 | - 7)$

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/6350_ufOpT5liEV.xml

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$a_{1} = \frac{4}{5} P (\frac{3}{2} | 4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen

Bestimmung der Funktionsgleichung

Allgemeine Geradengleichung:

$f (x)$	$=$	$a_{1} \cdot x + t$
	↓	t: y-Achsenabschnitt Setze $a_{4} = \frac{4}{5}$ in die allgemeine Geradengleichung ein.
$f (x)$	$=$	$\frac{4}{5} x + t$
	↓	Setze $P (\frac{3}{2} \| 4)$ in f(x) ein.
$4$	$=$	$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2} + t$
	↓	Kürze den Bruch mit 2.
$4$	$=$	$\frac{2}{5} \cdot 3 + t$
	↓	Multipliziere
$4$	$=$	$\frac{6}{5} + t$	$- \frac{6}{5}$
$t$	$=$	$4 - \frac{6}{5}$
	↓	Schreibe 4 als Bruch mit 4 im Nenner.
$t$	$=$	$\frac{20}{5} - \frac{6}{5}$
	↓	Subtrahiere
$t$	$=$	$\frac{14}{5}$
$t$	$=$	$2,8$
	↓	Setze t in f(x) ein.