Aufgaben zu Exponential- und Logarithmusgleichungen

Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichungen.

$2^\mathrm x=16$

$\left({\textstyle\frac14}\right)^\mathrm x=64$

$2^\mathrm x\cdot8^{\mathrm x-1}=32$

$\left({\textstyle\frac13}\right)^x\cdot\left({\textstyle\frac3{27}}\right)^x=3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialgleichungen

$\displaystyle \left(\frac13\right)^x \cdot\left(\frac3{27}\right)^x$	$=$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle \left(\frac13\right)^x\cdot\left(\frac19\right)^x$	$=$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle \left(\frac1{27}\right)^x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \log_{\frac{1}{27}}$
	↓	Logarithmiere.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_\frac1{27}\left(3\right)$
	↓	Wende die passende Rechenregel für den Logarithmus an.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{\log\left(3\right)}{\log\left({\frac1{27}}\right)}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{\log\left(3\right)}{\log\left(1\right)-\log\left(27\right)}$
	↓	Fasse den Nenner zusammen, indem du $\log\left(1\right)$ = 0 einsetzt.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{\log\left(3\right)}{-\log\left(27\right)}$

$\Rightarrow x = - \frac13$

Die Lösungsmenge lautet: $\mathbb L = \{-\frac13\}$

Alternative Lösung ohne Logarithmus

Da alle vorkommenden Zahlen Potenzen von $3$ sind, kann die Aufgabe durch Exponentenvergleich gelöst werden.

$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{3}{27}\right)^x$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Kürze
$\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^x$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Potenzgesetz $\frac{1}{a^x}=a^{-x}$
$\displaystyle 3^{-x}\cdot 9^{-x}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Ersetze $9=3^2$
$\displaystyle 3^{-x}\cdot (3^2)^{-x}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Potenzgesetz $(a^x)^y=a^{x\cdot y}$
$\displaystyle 3^{-x}\cdot 3^{-2x}$	$=$	$\displaystyle 3$
	↓	Potenzgesetz $a^x\cdot a^y=a^{x+y}$
$\displaystyle 3^{-3x}$	$=$	$\displaystyle 3^1$
	↓	Exponentenvergleich
$\displaystyle -3x$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Teile durch $-3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{3}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

$\frac{6^{\mathrm x-2}}{36^{\mathrm x+1}}=216$

$\displaystyle \left(\frac{1}{4}\right)^x$	$=$	$\displaystyle 64$
	↓	Wende die Potenzrechengesetze an.
$\displaystyle 4^{-x}$	$=$	$\displaystyle 64$	$\displaystyle \log()$
	↓	Logarithmiere.
$\displaystyle \log_4\left(64\right)$	$=$	$\displaystyle -x$
	↓	Berechne mithilfe des Taschenrechners.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle -x$	$\displaystyle \cdot (-1)$
$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle 2^x\cdot8^{x-1}$	$=$	$\displaystyle 32$
$\displaystyle 2^x\cdot\frac{8^x}{8^1}$	$=$	$\displaystyle 32$
	↓	Wende das passende Potenzgesetz an.
$\displaystyle \frac{2^x\cdot8^x}8$	$=$	$\displaystyle 32$	$\displaystyle \cdot 8$
$\displaystyle (2 \cdot 8)^x$	$=$	$\displaystyle 256$
$\displaystyle 16^x$	$=$	$\displaystyle 256$	$\displaystyle \log_{16}$
	↓	Logarithmiere.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \log_{16}\left(256\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\log(256)}{\log(16)}$

$\displaystyle \frac{6^{x-2}}{36^{x+1}}$	$=$	$\displaystyle 216$
	↓	Wende das passende Potenzgesetz an.
$\displaystyle \frac{\displaystyle\frac{6^x}{6^2}}{36^x\cdot36}$	$=$	$\displaystyle 216$
	↓	Fasse zusammen: $216=6\cdot6\cdot6$
$\displaystyle \frac{6^x}{36^x} \cdot \frac{1}{6^2 \cdot 36}$	$=$
$\displaystyle \left(\frac16\right)^\mathrm x\cdot\frac1{6^4}$	$=$	$\displaystyle 6^3$	$\displaystyle \cdot 6^4$
$\displaystyle \left(\frac16\right)^x$	$=$	$\displaystyle 6^7$
	↓	Wende das passende Potenzgesetz an.
$\displaystyle 6^{-x}$	$=$	$\displaystyle 6^7$	$\displaystyle \log_6$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle 7$