Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

$f\left(x\right)={ax}^2+{bx}+ c$

Setze A, B und C in die allgemeine Gleichung für quadratische Funktionen ein.

$\left(1\right)\quad a+ b+ c=1$

$\left(2\right)\quad 9 a+3 b+ c=4$

$\left(3\right)\quad 25 a+5 b+ c=-1$

Wende das Additionsverfahren an.

$\left(2\right)+\left(1\right)\cdot(-1)$ :   $\left(1\right)'\quad 8a+2b=3$

$\left(3\right)+\left(2\right)\cdot\left(-1\right)$:   $\left(2\right)'\quad 16 a+2 b=-5$

$\left(2\right)'+\left(1\right)'\cdot\left(-1\right)$:  $8 a=-8$

$\left|:8\right.$

$a=-1$

Setze $a$ in $\left(1\right)'$   ein.

$-8+2 b=3$

$\left|+8\right.$

$2 b=11$

$\left|:2\right.$

$b=\frac{11}2$

Setze $a$ und $b$ in  $\left(1\right)$  ein.

$-1+5{,}5+ c=1$

$\left|-4{,}5\right.$

$c=-3{,}5$

$\;\;\Rightarrow\;\; f\left( x\right)=- x^2+5{,}5 x-3{,}5$

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

Da die gesuchte Funktion quadratisch ist, handelt es sich bei der doppelten Nullstelle bei $x=3$ um den Scheitel der Parabel. Damit ist $f$ von der Form $f(x)=a\cdot(x-3)^2$. Der Parameter $a$ lässt sich nun durch Einsetzen des Punktes $P$ bestimmen:

$0{,}3=a\cdot(2-3)^2=a$

$\Rightarrow f(x)=0{,}3\cdot(x-3)^2$

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

Die Normalparabel ist um zwei Einheiten nach rechts und um sechs Einheiten nach oben verschoben. Zudem ist sie nach unten geöffnet. Damit gilt:

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

$f\left(x\right)=a\left(x-b\right)^2+c$

Bestimme $b$ und $c$ durch den Scheitel $S\left(0|-3\right)$ .

$f\left(\mathrm x\right)=ax^2-3$

Setze P in die Funktion ein.

$2=a\left(1{,}5\right)^2-3$

$\left|+3\right.$

$a\left(1{,}5\right)^2=5$

Quadriere $1{,}5$

$a=\frac5{1{,}5^2}=\frac{5\cdot4}9=\frac{20}9$

Setze $a$ in die Funktion ein.

$\;\;\Rightarrow\;\;f\left(x\right)=\frac{20}9x^2-3$

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

Hier solltest du wissen, wie du eine Parabel durch drei gegebene Punkte legst. Außerdem brauchst du das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen.

$A(2\vert4),\;B(3\vert5),\;C(-1\vert13)$

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung $f(x)=ax^2+bx+c$

Als erstes solltest du die Potenzen ausrechnen.

Löse das Gleichungssystem. Hier wird die Lösung mittels Einsetzungsverfahren verwendet.

Löse als erstes zum Beispiel Gleichung $(I)$ nach $c$ auf.

$(I') \;c=4-4a-2b$

Setze dieses Ergebnis in die beiden anderen Gleichungen ein.

$(II')\; 5=9a+3b+(4-4a-2b)$

$(III')\; 13=a-b+(4-4a-2b)$

Vereinfache die beiden Gleichungen.

$(II')\; 1=5a+b$

$(III')\; 9=-3a-3b$

Löse beispielsweise Gleichung $(III')$ nach $a$ auf.

$(III'')\; -3a=9+3b\qquad |:(-3)$

$(III'')\; a=-3-b$

Setze $a$ in Gleichung $(II')$ ein und vereinfache.

$(II'')\; 1=5(-3-b)+b)$

$(II'')\; 1=-15-5b+b\qquad |+15$

$(II'')\; 16=-4b\qquad|:(-4)$

$b=-4$

Setze das Ergebnis für $b$ in Gleichung $(III'')$ ein, also die Gleichung für $a$ ein.

$a=-3-(-4)=-3+4=1$

Setze dein Ergebnis für $a$ und $b$ in die Gleichung für $c$ (I') ein.

$c=4-4\cdot 1-2\cdot(-4)=4-4+8=8$

Deine Ergebnisse sind:

$a=1,\;b=-4,\;c=8$

Setze in die allgemeine Funktionsgleichung ein und erhalte die Lösung.

$\Rightarrow\;f(x)=x^2-4x+8$