Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

$f\left(x\right)={ax}^2+bx+cf\backslash left(x\backslash right)=\{ax\}^2+\{bx\}+\; c$

Setze A, B und C in die allgemeine Gleichung für quadratische Funktionen ein.

$\left(1\right)a+b+c=1\backslash left(1\backslash right)\backslash quad\; a+\; b+\; c=1$

$\left(2\right)9a+3b+c=4\backslash left(2\backslash right)\backslash quad\; 9\; a+3\; b+\; c=4$

$\left(3\right)25a+5b+c=-1\backslash left(3\backslash right)\backslash quad\; 25\; a+5\; b+\; c=-1$

Wende das Additionsverfahren an.

$\left(2\right)+\left(1\right)\cdot (-1)\backslash left(2\backslash right)+\backslash left(1\backslash right)\backslash cdot(-1)$ :   ${\left(1\right)}^{\mathrm{\prime }}8a+2b=3\backslash left(1\backslash right)\text{'}\backslash quad\; 8a+2b=3$

$\left(3\right)+\left(2\right)\cdot (-1)\backslash left(3\backslash right)+\backslash left(2\backslash right)\backslash cdot\backslash left(-1\backslash right)$:   ${\left(2\right)}^{\mathrm{\prime }}16a+2b=-5\backslash left(2\backslash right)\text{'}\backslash quad\; 16\; a+2\; b=-5$

${\left(2\right)}^{\mathrm{\prime }}+{\left(1\right)}^{\mathrm{\prime }}\cdot (-1)\backslash left(2\backslash right)\text{'}+\backslash left(1\backslash right)\text{'}\backslash cdot\backslash left(-1\backslash right)$:  $8a=-88\; a=-8$

$\mid :8\backslash left|:8\backslash right.$

$a=-1a=-1$

Setze $aa$ in ${\left(1\right)}^{\mathrm{\prime }}\backslash left(1\backslash right)\text{'}$   ein.

$-8+2b=3-8+2\; b=3$

$\mid +8\backslash left|+8\backslash right.$

$2b=112\; b=11$

$\mid :2\backslash left|:2\backslash right.$

$b=\frac{11}{2}b=\backslash frac\{11\}2$

Setze $aa$ und $bb$ in  $\left(1\right)\backslash left(1\backslash right)$  ein.

$-1+\mathrm{5,5}+c=1-1+5\{,\}5+\; c=1$

$\mid -\mathrm{4,5}\backslash left|-4\{,\}5\backslash right.$

$c=-\mathrm{3,5}c=-3\{,\}5$

$\Rightarrow f\left(x\right)=-x^2+\mathrm{5,5}x-\mathrm{3,5}\backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;\; f\backslash left(\; x\backslash right)=-\; x^2+5\{,\}5\; x-3\{,\}5$

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

Da die gesuchte Funktion quadratisch ist, handelt es sich bei der doppelten Nullstelle bei $x=3x=3$ um den Scheitel der Parabel. Damit ist $ff$ von der Form $f(x)=a\cdot (x-3{)}^{2}f(x)=a\backslash cdot(x-3)^2$. Der Parameter $aa$ lässt sich nun durch Einsetzen des Punktes $PP$ bestimmen:

$\mathrm{0,3}=a\cdot (2-3{)}^2=a0\{,\}3=a\backslash cdot(2-3)^2=a$

$\Rightarrow f(x)=\mathrm{0,3}\cdot (x-3{)}^2\backslash Rightarrow\; f(x)=0\{,\}3\backslash cdot(x-3)^2$

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

Die Normalparabel ist um zwei Einheiten nach rechts und um sechs Einheiten nach oben verschoben. Zudem ist sie nach unten geöffnet. Damit gilt:

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

$f\left(x\right)=a{(x-b)}^2+cf\backslash left(x\backslash right)=a\backslash left(x-b\backslash right)^2+c$

Bestimme $bb$ und $cc$ durch den Scheitel $S(0\mathrm{\mid }-3)S\backslash left(0|-3\backslash right)$ .

$f\left(\mathrm{x}\right)=a{x}^2-3f\backslash left(\backslash mathrm\; x\backslash right)=ax^2-3$

Setze P in die Funktion ein.

$2=a{\left(\mathrm{1,5}\right)}^2-32=a\backslash left(1\{,\}5\backslash right)^2-3$

$\mid +3\backslash left|+3\backslash right.$

$a{\left(\mathrm{1,5}\right)}^2=5a\backslash left(1\{,\}5\backslash right)^2=5$

Quadriere $\mathrm{1,5}1\{,\}5$

$a=\frac{5}{{\mathrm{1,5}}^2}=\frac{5\cdot 4}{9}=\frac{20}{9}a=\backslash frac5\{1\{,\}5^2\}=\backslash frac\{5\backslash cdot4\}9=\backslash frac\{20\}9$

Setze $aa$ in die Funktion ein.

$\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{20}{9}{x}^2-3\backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;f\backslash left(x\backslash right)=\backslash frac\{20\}9x^2-3$

Aufstellen einer quadratischen Funktion

Mit ausreichend gegebenen Eigenschaften lassen sich quadratische Funktionen aufstellen.

Hier solltest du wissen, wie du eine Parabel durch drei gegebene Punkte legst. Außerdem brauchst du das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen.

$A(2\mathrm{\mid }4),B(3\mathrm{\mid }5),C(-1\mathrm{\mid }13)A(2\backslash vert4),\backslash ;B(3\backslash vert5),\backslash ;C(-1\backslash vert13)$

Setze die gegebenen Punktepaare in die Funktionsgleichung $f(x)=a{x}^2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c$

Als erstes solltest du die Potenzen ausrechnen.

Löse das Gleichungssystem. Hier wird die Lösung mittels Einsetzungsverfahren verwendet.

Löse als erstes zum Beispiel Gleichung $(I)(I)$ nach $cc$ auf.

$(I^{\mathrm{\prime }})c=4-4a-2b(I\text{'})\; \backslash ;c=4-4a-2b$

Setze dieses Ergebnis in die beiden anderen Gleichungen ein.

$(I{I}^{\mathrm{\prime }})5=9a+3b+(4-4a-2b)(II\text{'})\backslash ;\; 5=9a+3b+(4-4a-2b)$

$(II{I}^{\mathrm{\prime }})13=a-b+(4-4a-2b)(III\text{'})\backslash ;\; 13=a-b+(4-4a-2b)$

Vereinfache die beiden Gleichungen.

$(I{I}^{\mathrm{\prime }})1=5a+b(II\text{'})\backslash ;\; 1=5a+b$

$(II{I}^{\mathrm{\prime }})9=-3a-3b(III\text{'})\backslash ;\; 9=-3a-3b$

Löse beispielsweise Gleichung $(II{I}^{\mathrm{\prime }})(III\text{'})$ nach $aa$ auf.

$(II{I}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})-3a=9+3b\mathrm{\mid }:(-3)(III\text{'}\text{'})\backslash ;\; -3a=9+3b\backslash qquad\; |:(-3)$

$(II{I}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})a=-3-b(III\text{'}\text{'})\backslash ;\; a=-3-b$

Setze $aa$ in Gleichung $(I{I}^{\mathrm{\prime }})(II\text{'})$ ein und vereinfache.

$(I{I}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})1=5(-3-b)+b)(II\text{'}\text{'})\backslash ;\; 1=5(-3-b)+b)$

$(I{I}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})1=-15-5b+b\mathrm{\mid }+15(II\text{'}\text{'})\backslash ;\; 1=-15-5b+b\backslash qquad\; |+15$

$(I{I}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})16=-4b\mathrm{\mid }:(-4)(II\text{'}\text{'})\backslash ;\; 16=-4b\backslash qquad|:(-4)$

$b=-4b=-4$

Setze das Ergebnis für $bb$ in Gleichung $(II{I}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})(III\text{'}\text{'})$ ein, also die Gleichung für $aa$ ein.

$a=-3-(-4)=-3+4=1a=-3-(-4)=-3+4=1$

Setze dein Ergebnis für $aa$ und $bb$ in die Gleichung für $cc$ (I') ein.

$c=4-4\cdot 1-2\cdot (-4)=4-4+8=8c=4-4\backslash cdot\; 1-2\backslash cdot(-4)=4-4+8=8$

Deine Ergebnisse sind:

$a=1,b=-4,c=8a=1,\backslash ;b=-4,\backslash ;c=8$

Setze in die allgemeine Funktionsgleichung ein und erhalte die Lösung.

$\Rightarrow f(x)=x^2-4x+8\backslash Rightarrow\backslash ;f(x)=x^2-4x+8$