$\int\sin\left(12x-3\right)\;\mathrm{d}x$

Integriere zunächst die äußere Funktion $\sin\left(x\right)$.

$\int\sin\left(x\right)\;\mathrm{d}x=-\cos\left( x\right)+C$

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss (Kettenregel).

In diesem Fall ist die innere Funktion  $g\left( x\right)=\left(12 x-3\right)$. Beim Ableiten der Funktion $g$ würde sich der Faktor $12$ beim Nachdifferenzieren ergeben. 

Deshalb muss die Stammfunktion zu  $\sin\left(12 x-3\right)$ noch mit  $\frac1{12}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 12 auszugleichen.

$\int\sin\left(12x-3\right)\;\mathrm{d}x=$

$=-\cos\left(12x-3\right)\cdot \frac1{12}+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

$\int_{ }^{ }x^8\ \mathrm{d}x=\frac{1}{9}x^9+C$

$\int\left(2x-3\right)^8\;\mathrm{d}x=$

$=\frac19\left(2x-3\right)^9\;\cdot\frac12+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

$f\left(x\right)=\sin\left(3 x\right)$

Integriere zunächst $\sin(x)$.

$\int_{ }^{ }\sin(x)\ \mathrm{d}x\ =\ -\cos\left(x\right)+C$

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g\left( x\right)=\left(3x\right)$; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 3 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu $\sin\left(3x\right)$ noch mit $\frac1{3}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 3 auszugleichen.

$\int\sin\left(3x\right)\;\mathrm{d}x$

$=-\cos\left(3x\right)\cdot\frac13+ C$

$\int\sin\left(x-3\right)\;\mathrm{d}x=$

$=-\cos\left(x-3\right)\cdot1+C$

$=-\cos\left(x-3\right)+ C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

$\int_{ }^{ }\cos(x)\ \mathrm{d}x=\sin(x)+C$

$\int\cos\left(-x-13\right)\;\mathrm dx$

$=\sin\left(-x-13\right)\cdot\left(-1\right)+ C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

$f\left(x\right)=-5\sin \left(3x-2\right)$

Integriere zunächst $\sin(x)$.

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g\left( x\right)=\left(3x-2\right)$; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 3 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu $\sin\left(3x-2\right)$ noch mit $\frac1{3}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 3 auszugleichen.

$\int-5\cdot\sin\left(3x-2\right)\;\mathrm dx=$

$=5\cos\left(3x-2\right)\cdot\frac{1}{3}+ C$

$=\frac{5}{3}\cdot\cos\left(3x-2\right)+ C$

$f\left( x\right)=\frac1{16}\;\left(40 x-3{,}5\right)^3$

Berechne zuerst das Integral der äußeren Funktion $\frac{1}{16}x^3$.

$\int_{ }^{ }\frac{1}{16}x^3\ \mathrm{d}x=\frac{1}{64}x^4+C$

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g\left( x\right)=\left(40 x-3{,}5\right)$; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 40 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu $\frac{1}{16}(40x-3{,}5)^3$ noch mit $\frac1{40}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 40 auszugleichen.

$\int\frac1{16}\;\left(40 x-3{,}5\right)^3\ \mathrm{d}x=$

$=\frac1{64}(40x-3{,}5)^4\cdot\frac1{40}+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

$\int \frac{\sin(x)}{3}\mathrm{d}x=-\frac{1}{3}\cos(x)+C$

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g\left( x\right)=\left(2x\right)$; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 2 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu $\frac{\sin\left(2 x\right)}{3}$ noch mit $\frac1{2}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 2 auszugleichen.

$\int \frac{\sin\left(2 x\right)}{3}$

$=-\frac{\cos(2x)}{3}\cdot\frac{1}{2}+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

$\int e^x\ \mathrm{d}x=e^x+C$

$\int e^{3 x+7}\ \mathrm{d}x =$

$=e^{3x+7}\cdot\frac{1}{3}+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

$\int \frac{\pi}{2}e^x\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}e^x+C$

$\int \frac{\pi}2 e^{7 x}dx=$

$=\frac{\pi}2 e^{7 x}\cdot\frac{1}{7}+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist: