$\int \sin (12x-3)\mathrm{d}x$

Integriere zunächst die äußere Funktion $\sin \left(x\right)$.

$\int \sin \left(x\right)\mathrm{d}x=-\cos \left(x\right)+C$

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss (Kettenregel).

In diesem Fall ist die innere Funktion  $g\left(x\right)=(12x-3)$. Beim Ableiten der Funktion $g$ würde sich der Faktor $12$ beim Nachdifferenzieren ergeben. 

Deshalb muss die Stammfunktion zu  $\sin (12x-3)$ noch mit  $\frac{1}{12}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 12 auszugleichen.

$\int \sin (12x-3)\mathrm{d}x=$

$=-\cos (12x-3)\cdot \frac{1}{12}+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

${\int }_{}^{}{x}^8\mathrm{d}x=\frac{1}{9}{x}^9+C$

$\int {(2x-3)}^8\mathrm{d}x=$

$=\frac{1}{9}{(2x-3)}^9\cdot \frac{1}{2}+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

$f\left(x\right)=\sin \left(3x\right)$

Integriere zunächst $\sin (x)$.

${\int }_{}^{}\sin (x)\mathrm{d}x=-\cos \left(x\right)+C$

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g\left(x\right)=\left(3x\right)$; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 3 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu $\sin \left(3x\right)$ noch mit $\frac{1}{3}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 3 auszugleichen.

$\int \sin \left(3x\right)\mathrm{d}x$

$=-\cos \left(3x\right)\cdot \frac{1}{3}+C$

$\int \sin (x-3)\mathrm{d}x=$

$=-\cos (x-3)\cdot 1+C$

$=-\cos (x-3)+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

${\int }_{}^{}\cos (x)\mathrm{d}x=\sin (x)+C$

$\int \cos (-x-13)\mathrm{d}x$

$=\sin (-x-13)\cdot (-1)+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

$f\left(x\right)=-5\sin (3x-2)$

Integriere zunächst $\sin (x)$.

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g\left(x\right)=(3x-2)$; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 3 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu $\sin (3x-2)$ noch mit $\frac{1}{3}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 3 auszugleichen.

$\int -5\cdot \sin (3x-2)\mathrm{d}x=$

$=5\cos (3x-2)\cdot \frac{1}{3}+C$

$=\frac{5}{3}\cdot \cos (3x-2)+C$

$f\left(x\right)=\frac{1}{16}{(40x-\mathrm{3,5})}^3$

Berechne zuerst das Integral der äußeren Funktion $\frac{1}{16}{x}^3$.

${\int }_{}^{}\frac{1}{16}{x}^3\mathrm{d}x=\frac{1}{64}{x}^4+C$

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g\left(x\right)=(40x-\mathrm{3,5})$; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 40 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu $\frac{1}{16}(40x-\mathrm{3,5}{)}^3$ noch mit $\frac{1}{40}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 40 auszugleichen.

$\int \frac{1}{16}{(40x-\mathrm{3,5})}^3\mathrm{d}x=$

$=\frac{1}{64}(40x-\mathrm{3,5}{)}^4\cdot \frac{1}{40}+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

$\int \frac{\sin (x)}{3}\mathrm{d}x=-\frac{1}{3}\cos (x)+C$

Beim Integrieren darfst du jedoch nicht außer Acht lassen, dass man beim Ableiten einer verketteten Funktion nachdifferenzieren muss. In diesem Fall ist die innere Funktion $g\left(x\right)=\left(2x\right)$; beim Ableiten dieser Funktion würde sich der Faktor 2 beim Nachdifferenzieren ergeben.

Deshalb muss die Stammfunktion zu $\frac{\sin \left(2x\right)}{3}$ noch mit $\frac{1}{2}$ multipliziert werden, um den beim Nachdifferenzieren entstehenden Faktor 2 auszugleichen.

$\int \frac{\sin \left(2x\right)}{3}$

$=-\frac{\cos (2x)}{3}\cdot \frac{1}{2}+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

$\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C$

$\int e^{3x+7}\mathrm{d}x=$

$=e^{3x+7}\cdot \frac{1}{3}+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist:

$\int \frac{\pi }{2}{e}^x\mathrm{d}x=\frac{\pi }{2}{e}^x+C$

$\int \frac{\pi }{2}{e}^{7x}dx=$

$=\frac{\pi }{2}{e}^{7x}\cdot \frac{1}{7}+C$

Ergebnis: Die Stammfunktion ist: