Ohne Ableitung

$g(x)=\frac32(x+2)^2-2,\;B(-1\vert y)$

Multipliziere mit Hilfe der binomischen Formel aus

$g(x)=\frac32x^2+6x+4$

Setze die quadratische Funktion mit der allgemeinen Tangentengleichung gleich

$\frac32x^2+6x+4=mx+t$

Bringe alles auf eine Seite

$\frac32x^2+(6-m)x+4-t=0$

Berechne die Diskriminante und setze sie gleich Null

$D=(6-m)^2-4\cdot\left(\frac32\right)\cdot(4-t)=m^2-12m+12+6t=0$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

$y=\frac32(-1)^2+6\cdot(-1)+4=-\frac12$

Setze B in die allgemeine Tangentengleichung ein

$-\frac12=-1\cdot m+t$

Löse nach t auf und setze in die Diskriminantengleichung ein

$m^2-12m+12+6(m-\frac12)=m^2-6m+9=0$

Löse nach m auf (z. B. durch Faktorisieren mit Hilfe einer binomischen Formel )

$m^2-6m+9=(m-3)^2=0\Rightarrow m=3$

Setze m und b in die allgemeine Tangentengleichung ein und löse nach t auf

$-\frac12=-1\cdot3+t\Rightarrow t=\frac52$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_B(x)=3x+\frac52$

Mit Ableitung

$g(x)=\frac32(x+2)^2-2,\;B(-1\vert y)$

Berechne die Ableitung der Parabel

$g`(x)=3(x+2)\cdot1=3x+6$

Setze den x-Wert von B ein und erhalte m

$g`(-1)=3\cdot(-1)+6=3=m$

Berechne mit Hilfe der Parabelgleichung den y-Wert von B

$y=\frac32(-1+2)^2-2=-\frac12$

Setze m und B in die Geradengleichung ein und erhalte t

$-\frac12=-1\cdot3+t\Rightarrow t=\frac52$

Stelle die Tangentengleichung auf

$t_B(x)=3x+\frac52$