In diesem Kurs lernst du Potenzen mit negativen Exponenten kennen und wie man mit Potenzen rechnet (Potenzgesetze).

Außerdem lernst du, wie man sehr große (z. B. $470000000000470\backslash \; 000\backslash \; 000\backslash \; 000$) oder sehr kleine Zahlen (z. B. $\mathrm{0,000}000000020\{,\}000\backslash \; 000\backslash \; 000\backslash \; 02$) übersichtlicher darstellen kann.

Voraussetzungen

• Du kennst die Darstellung von Potenzen mit natürlichen Exponenten

• Du kannst Terme zusammenfassen

• Du weißt, wie man mit Dezimalzahlen rechnet

Ziele

• Du kennst die Darstellung von Zahlen mit negativen Exponenten

• Du kennst die Potenzgesetze und kannst sie anwenden

• Du kannst mit der wissenschaftlichen Schreibweise von Zahlen umgehen

Kursdauer

Die Bearbeitung des Kurses dauert etwa 90 Minuten.

Atome sind überall

Ein Heliumatom besitzt einen Durchmesser von etwa $6\cdot {10}^{-11}6\backslash cdot10^\{-11\}$ Meter, ein Wasserstoffatom wiegt etwa $\mathrm{1,7}\cdot {10}^{-27}1\{,\}7\backslash cdot10^\{-27\}$ Kilogramm.

Wie sind diese Angaben zu deuten? Welche Vorstellung können wir uns von der Größe und der Masse dieser Atome machen?

Die Masse des Jupiters beträgt etwa $\mathrm{1,899}\cdot {10}^{27}1\{,\}899\backslash cdot10^\{27\}$kg, wovon etwa $\mathrm{1,7}\cdot {10}^{27}1\{,\}7\backslash cdot10^\{27\}$kg Wasserstoff sind.

Zehnerpotenzen (mit natürlichen Zahlen im Exponenten) kennst du schon seit einigen Jahren. Sie dienen dazu, enorm große Zahlen zu veranschaulichen.

Die Frage ist: kannst du ohne Taschenrechner bestimmen, wie viele Wasserstoffatome Jupiter enthält?

Potenzen mit natürlichen Exponenten kennst du bereits, z.B.:

Du weißt auch, wie man grundsätzlich mit Potenzen rechnet.

Der Exponent gibt also an, wie oft die Basis als Faktor auftritt.

Bearbeite die folgenden Aufgaben, um dein Grundwissen wieder aufzufrischen.

Hier im Beispiel siehst du Potenzen mit der Basis 4. Die Exponenten unterscheiden sich allerdings.

$4^4=4\cdot 4\cdot 4\cdot 4=2564^\{4\backslash \; \}=4\backslash cdot4\backslash cdot4\backslash cdot4\backslash \; =\backslash \; 256$

$4^3=4\cdot 4\cdot 4=644^3=\backslash \; 4\backslash cdot4\backslash cdot4\backslash \; =\backslash \; 64$

$4^2=4\cdot 4=164^2=4\backslash cdot4\backslash \; =\backslash \; 16$

$4^1=44^1=4\backslash$

Überlege dir nun, wie man von der obersten Zeile zur zweitobersten Zeile kommt. Von der zweitobersten zur zweituntersten und von dort zur untersten.

Welche Rechenoperation muss man durchführen?

In dem folgenden Video wird erklärt, wie man von einer Zeile zur nächsten kommt - und vor allem, wie es weitergeht.

Du siehst also: Bei negativen Exponenten entsteht ein Bruch.

Im Zähler steht immer die 1, im Nenner steht die Basis und der Exponent $\cdot (-1)\backslash cdot\backslash left(-1\backslash right)$:

Die bisherigen Erkenntnisse zu Potenzen werden hier nochmal zusammengefasst

$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\cdot a}\text{n Faktoren}a^\{n\}=\backslash underbrace\{a\backslash cdot\; a\backslash cdot\; ...\; \backslash cdot\; a\}\backslash \backslash \; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash ;\backslash text\{n\; Faktoren\}$ für jede rationale Zahl a und jede natürliche Zahl n

$a^1=aa^\{1\backslash \; \}=a$ für jede rationale Zahl a

$a^0=1a^0=1\backslash$ für jede rationale Zahl a mit $a\mathrm{\ne }0a\; \backslash neq\; 0$

$a^{-n}={\displaystyle \frac{1}{a^n}}a^\{-n\}\; =\backslash dfrac\{1\}\{a^n\}$ für jede rationale Zahl a mit $a\mathrm{\ne }0a\; \backslash neq\; 0$ und jede natürliche Zahl $n\ge 1n\backslash geq\; 1$

Versuche nun, die folgenden Aufgaben zu lösen.

Teste hier dein neu gelerntes Wissen!

Besondere Bedeutung haben Potenzen und negative Potenzen bei der Basis 10. Dort werden Potenzen genutzt, um große oder kleine Zahlen abzukürzen.

Zehnerpotenzen mit positiven Exponenten

Diese kennst du bereits. Eine Million ist beispielsweise:

$1000000=\underbrace{10\cdot 10\cdot \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\cdot 10}={10}^6\text{6 mal}1\; \backslash ,000\; \backslash ,000\; =\; \backslash underbrace\{10\; \backslash cdot\; 10\; \backslash cdot\; ...\; \backslash cdot\; 10\}=10^6\; \backslash \backslash \; \backslash hspace\{2.3cm\}\; \backslash text\{6\; mal\}$

Zehnerpotenzen mit negativen Exponenten

Schreibt man die 10 mit einem negativen Exponenten, erhält man Folgendes:

${10}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{{10}^1}}={\displaystyle \frac{1}{10}}=\mathrm{0,1}10^\{-1\}=\backslash \; \backslash dfrac\{1\}\{10^1\}\backslash \; =\backslash dfrac\{1\}\{10\}=0\{,\}1$

Ein Zehntel kann man direkt als Dezimalbruch schreiben.

Die 1 steht nun an der ersten Stelle hinter dem Komma.

${10}^{-3}={\displaystyle \frac{1}{{10}^3}}={\displaystyle \frac{1}{1000}}=\mathrm{0,001}10^\{-3\}=\backslash dfrac\{1\}\{10^3\}=\backslash dfrac\{1\}\{1000\}\; =0\{,\}001$

Ein Tausendstel kann man auch direkt in einen Dezimalbruch verwandeln.

Die 1 steht nun an der dritten Stelle hinter dem Komma.

Merke: Die 1 steht also immer an der Stelle hinter dem Komma, die dem Betrag des Exponenten entspricht (z.B. im zweiten Beispiel oben an der dritten Stelle, weil die Potenz den Betrag 3 besitzt).

Beispiele

Wir können nun umgekehrt Zahlen direkt in Zehnerpotenzen umwandeln:

$\mathrm{0,01}={10}^{-2}0\{,\}01\backslash \; =\backslash \; 10^\{-2\backslash \; \}$

$100={10}^{2}100\backslash \; =10^2$

$87000000000=87\cdot 1000000000=87\cdot {10}^{9}87\backslash \; 000\backslash \; 000\backslash \; 000\backslash \; =87\backslash \; \backslash cdot\; 1\backslash \; 000\backslash \; 000\backslash \; 000\backslash \; =\backslash \; 87\backslash \; \backslash \; \backslash cdot\; 10^9$

$\mathrm{0,0045}=\mathrm{4,5}\cdot \mathrm{0,001}=\mathrm{4,5}\cdot {10}^{-3}(=45\cdot {10}^{-4})0\{,\}0045\backslash \; =\backslash \; 4\{,\}5\backslash \; \backslash cdot0\{,\}001\backslash \; =4\{,\}5\backslash \; \backslash cdot10^\{-3\}\backslash \; \backslash left(=\backslash \; 45\backslash \; \backslash cdot10^\{-4\}\backslash right)$

Auf diese Art und Weise werden viele Zahlen zum Beispiel in der Physik angegeben, um einfacher mit ihnen rechnen zu können.

Bearbeite nun die folgenden Aufgaben, um zu sehen, ob du es verstanden hast.

Beim Rechnen mit Potenzen gibt es einige Rechenregeln. Betrachten wir zunächst Potenzen mit gleicher Basis:

Multiplikation von Potenzen

Man rechnet als Ergebnis $2+3=52+3=5$ als Exponent. Allgemein kann man schreiben:

Division von Potenzen

Man rechnet als Ergebnis $3-2=13-2\; =\; 1$ als Exponent. Allgemein kann man schreiben:

Addition und Subtraktion von Potenzen

Bei der Addition und Subtraktion kann man keine Vereinfachung machen.

Beispielsweise $x+x^{3}x+x^3$ lässt sich nicht vereinfachen.

Negative Exponenten und Potenzgesetze

Definition

$a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\cdot a},\text{n Faktoren}a^n=\; \backslash underbrace\{a\backslash cdot\; a\backslash cdot\; ...\; \backslash cdot\; a\},\backslash \backslash \; \backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\backslash ;\; \backslash ;\; \backslash text\{n\; Faktoren\}$ für $a\in \mathbb{Q},n\in \mathbb{N}a\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Q\},\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$ Beispiel: $5^3=5\cdot 5\cdot 55^3\; =\; 5\backslash cdot\; 5\backslash cdot\; 5$

$aa$${}^1=a^1\; =\; a$ für $a\in \mathbb{Q}a\backslash in\; \backslash mathbb\{Q\}$ Beispiel: $5^1=55^1\; =\; 5$

$a^0=1a^\{0\backslash \; \}=\backslash \; 1$ für $a\in \mathbb{Q}a\backslash \; \backslash in\backslash mathbb\{Q\}$ Beispiel: $5^0=15^0\; =\; 1$

$a^{-n}={\displaystyle \frac{1}{a^n}}a^\{-n\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{a^n\}$ für $a\in \mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{0\},n\ge 1a\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Q\}\backslash backslash\backslash \{0\backslash \},\; \backslash ;\backslash ;n\backslash geq\; 1$ Beispiele: $5^{-3}={\displaystyle \frac{1}{5^3}}={\displaystyle \frac{1}{125}}5^\{-3\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{5^3\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{125\}$

$x^{-4}={\displaystyle \frac{1}{x^4}}x^\{-4\}\; =\; \backslash dfrac\{1\}\{x^4\}$

Beachte: $(-3{)}^2=(-3)\cdot (-3)=9,(-3)^2\; =\; (-3)\backslash cdot(-3)=9,$ aber $-3^2=-(3\cdot 3)=-9-3^2\; =\; -(3\backslash cdot3)\; =\; -9$

Große und kleine Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise

$\mathrm{7,71}\cdot {10}^7=771000007\{,\}71\backslash \; \backslash cdot10^7\backslash \; =\backslash \; 77\backslash \; 100\backslash \; 000\backslash$

10 mit positivem Exponenten$\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$das Komma rückt um 7 Stellen nach rechts

$\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-4}=\mathrm{0,00016}1\{,\}6\backslash cdot10^\{-4\}\backslash \; =\backslash \; 0\{,\}00016\backslash$

10 mit negativen Exponenten$\Rightarrow \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;$das Komma rückt um 4 Stellen nach links

Rechengesetze für Potenzen $(a,b\in \mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{0\}(a,\; b\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Q\}\backslash backslash\; \backslash \{0\backslash \}$ und $m,n\in \mathbb{Z})m,\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\})$

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}a^m\; \backslash cdot\; a^n\; =\; a^\{m+n\}$ Beispiele: $3^2\cdot 3^{-5}=3^{2+(-5)}=3^{2-5}=3^{-3}(=\frac{1}{3^3}=\frac{1}{27})3^2\backslash cdot3^\{-5\}=3^\{2+(-5)\}=3^\{2-5\}=3^\{-3\}\backslash \; \backslash left(=\backslash frac\{1\}\{3^3\}=\backslash frac\{1\}\{27\}\backslash right)$

$x^{-1}\cdot x^4=x^{-1+4}=x^{3}x^\{-1\}\backslash cdot\; x^4\; =\; x^\{-1+4\}\; =\; x^3$

$a^m:a^n=\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}a^m:a^n=\backslash frac\{a^m\}\{a^n\}=a^\{m-n\}$ Beispiele: $\frac{5^9}{5^7}=5^{9-7}=5^2(=25)\backslash frac\{5^9\}\{5^7\}=5^\{9-7\}=5^2\backslash \; \backslash left(=25\backslash right)$

$x^9:x^{-7}=x^{9-(-7)}=x^{9+7}=x^{16}x^9\; :\; x^\{-7\}\; =\; x^\{9-(-7)\}\; =\; x^\{9+7\}\; =\; x^\{16\}$

Teste dein neu gelerntes Wissen anhand dieser Aufgaben:

Löse die Aufgabe der Motivation nun mit deinem neu gelernten Wissen!