Aufgaben zu den Steigungen orthogonaler Geraden

Gegeben ist die Gerade $g$ . Berechne die Steigung einer zu $g$ orthogonalen (senkrechten) Geraden $h$ .

$g:\ y=2\cdot x-4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

Betrachte zwei Geraden, die durch die beiden folgenden Gleichungen gegeben sind:

Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y= m_1\cdot x+t_1$

Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y= m_2\cdot x+t_2$

Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ der beiden Geraden gilt:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

Dabei ist $m_{1}$ die Steigung der gegebenen Geraden $g$ und $m_{2}$ die Steigung der zu $g$ orthogonalen Geraden $h$ .

Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y=\textcolor{ff6600}{2} \cdot x-4$ .

Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $\textcolor{ff6600}{m_1=2}$ . Setze $m_{1}$ in Gleichung $\;\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $m_{2}$ auf.

$\displaystyle m_1\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_{1} = 2$ einsetzen
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{2}\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{2}$

Antwort: Die Gerade $h$ muss eine Steigung von $-\dfrac{1}{2}$ haben, damit $h$ senkrecht auf $g$ steht.

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)

Gegeben ist die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige Gerade g:\;\;}}$

$\textcolor{ff6600}{y=2\cdot x-4}$

Orthogonal (senkrecht) zu $g$ ist z.B. die

$\textcolor{660099}{\text{lilafarbige Gerade h:\;\;}y=-\dfrac{1}{2}\cdot x+2}$ .

Jede andere Gerade mit der Steigung $m=-\dfrac{1}{2}$ ist auch senkrecht zu $g$ .

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$g:\ y=-\frac{3}{4}\cdot x+2{,}5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

Betrachte zwei Geraden, die durch die beiden folgenden Gleichungen gegeben sind:

Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y= m_1\cdot x+t_1$

Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y= m_2\cdot x+t_2$

Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ der beiden Geraden gilt:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

Dabei ist $m_{1}$ die Steigung der gegebenen Geraden $g$ und $m_{2}$ die Steigung der zu $g$ orthogonalen Geraden $h$ .

Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y=\textcolor{ff6600}{-\dfrac{3}{4}}\cdot x+2{,}5$ .

Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $\textcolor{ff6600}{m_1=-\dfrac{3}{4} }$ . Setze $m_{1}$ in Gleichung $\;\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $m_{2}$ auf.

$\displaystyle m_1\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_1=-\frac{3}{4}$ einsetzen
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{-\dfrac{3}{4} }\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :\left(-\dfrac{3}{4}\right)$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{\left(-\dfrac{3}{4}\right)}$
	↓	rechte Seite mit dem Kehrbruch multiplizieren
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -1\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}$

Antwort: Die Gerade $h$ muss eine Steigung von $\dfrac{4}{3}$ haben, damit $h$ senkrecht auf $g$ steht.

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)

Gegeben ist die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige Gerade g:\;\;}}$

$\textcolor{ff6600}{y=-\dfrac{3}{4}\cdot x+2{,}5}$

Orthogonal (senkrecht) zu $g$ ist z.B. die $\textcolor{660099}{\text{lilafarbige Gerade h:\;\;}y=\dfrac{4}{3}\cdot x-1}$ .

Jede andere Gerade mit der Steigung $m=\dfrac{4}{3}$ ist auch senkrecht zu $g$ .

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$g:\ y=-3\cdot x+3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

Betrachte zwei Geraden, die durch die beiden folgenden Gleichungen gegeben sind:

Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y= m_1\cdot x+t_1$

Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y= m_2\cdot x+t_2$

Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ der beiden Geraden gilt:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

Dabei ist $m_{1}$ die Steigung der gegebenen Geraden $g$ und $m_{2}$ die Steigung der zu $g$ orthogonalen Geraden $h$ .

Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y=\textcolor{ff6600}{-3 }\cdot x+3$ .

Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $\textcolor{ff6600}{m_1=-3}$ . Setze $m_{1}$ in Gleichung $\;\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $m_{2}$ auf.

$\displaystyle m_1 \cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_{1} = - 3$ einsetzen
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{-3 }\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :(-3)$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{(-3)}$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}$

Antwort: Die Gerade $h$ muss eine Steigung von $\dfrac{1}{3}$ haben, damit $h$ senkrecht auf $g$ steht.

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)

Gegeben ist die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige Gerade g:\;\;}}$

$\textcolor{ff6600}{y=-3\cdot x+3}$

Orthogonal (senkrecht) zu $g$ ist z.B. die $\textcolor{660099}{\text{lilafarbige Gerade h:\;\;}y=\dfrac{1}{3}\cdot x+1}$ .

Jede andere Gerade mit der Steigung $m=\dfrac{1}{3}$ ist auch senkrecht zu $g$ .

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$g:\ y=\frac{2}{7}\cdot x-2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden

Betrachte zwei Geraden, die durch die beiden folgenden Gleichungen gegeben sind:

Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y= m_1\cdot x+t_1$

Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y= m_2\cdot x+t_2$

Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ der beiden Geraden gilt:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

Dabei ist $m_{1}$ die Steigung der gegebenen Geraden $g$ und $m_{2}$ die Steigung der zu $g$ orthogonalen Geraden $h$ .

Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y=\textcolor{ff6600}{\dfrac{2}{7} }\cdot x-2$ .

Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $\textcolor{ff6600}{m_1=\dfrac{2}{7}}$ . Setze $m_{1}$ in Gleichung $\;\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $m_{2}$ auf.

$\displaystyle m_1\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_1=\dfrac{2}{7}$ einsetzen
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{\dfrac{2}{7}}\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :\left(\dfrac{2}{7}\right)$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{\left(\dfrac{2}{7}\right)}$
	↓	rechte Seite mit Kehrbruch multiplizieren
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -1\cdot\dfrac{7}{2}$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{7}{2}$

Antwort: Die Gerade $h$ muss eine Steigung von $-\dfrac{7}{2}$ haben, damit $h$ senkrecht auf $g$ steht.

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)

Gegeben ist die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige Gerade g:\;\;}}$

$\textcolor{ff6600}{y=\dfrac{2}{7}\cdot x-2}$

Orthogonal (senkrecht) zu $g$ ist z.B. die

$\textcolor{660099}{\text{lilafarbige Gerade h:\;\;}y=-\frac{7}{2}\cdot x+2}$ .

Jede andere Gerade mit der Steigung $m=-\dfrac{7}{2}$ ist auch senkrecht zu $g$ .

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Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden hhh

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

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Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

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