Aufgaben zu den Steigungen orthogonaler Geraden

Gegeben ist die Gerade $g$ . Berechne die Steigung einer zu $g$ orthogonalen (senkrechten) Geraden $h$ .

$g : y = 2 \cdot x - 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden
Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$
Betrachte zwei Geraden, die durch die beiden folgenden Gleichungen gegeben sind:
Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y = m_{1} \cdot x + t_{1}$
Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y = m_{2} \cdot x + t_{2}$
Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ der beiden Geraden gilt:
$m_{1} \cdot m_{2} = - 1 (I)$
Dabei ist $m_{1}$ die Steigung der gegebenen Geraden $g$ und $m_{2}$ die Steigung der zu $g$ orthogonalen Geraden $h$ .
Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y = 2 \cdot x - 4$ .
Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $m_{1} = 2$ . Setze $m_{1}$ in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $m_{2}$ auf.
$m_{1} \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$
↓
$m_{1} = 2$ einsetzen
$2 \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$ $: 2$
$m_{2}$ $=$ $- \frac{1}{2}$
Antwort: Die Gerade $h$ muss eine Steigung von $- \frac{1}{2}$ haben, damit $h$ senkrecht auf $g$ steht.
Zusätzliche graphische Veranschaulichung
(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)
Gegeben ist die $orangefarbige Gerade g:$
$y = 2 \cdot x - 4$
Orthogonal (senkrecht) zu $g$ ist z.B. die
$lilafarbige Gerade h: y = - \frac{1}{2} \cdot x + 2$ .
Jede andere Gerade mit der Steigung $m = - \frac{1}{2}$ ist auch senkrecht zu $g$ .
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$g : y = - \frac{3}{4} \cdot x + 2,5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden
Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$
Betrachte zwei Geraden, die durch die beiden folgenden Gleichungen gegeben sind:
Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y = m_{1} \cdot x + t_{1}$
Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y = m_{2} \cdot x + t_{2}$
Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ der beiden Geraden gilt:
$m_{1} \cdot m_{2} = - 1 (I)$
Dabei ist $m_{1}$ die Steigung der gegebenen Geraden $g$ und $m_{2}$ die Steigung der zu $g$ orthogonalen Geraden $h$ .
Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y = - \frac{3}{4} \cdot x + 2,5$ .
Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $m_{1} = - \frac{3}{4}$ . Setze $m_{1}$ in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $m_{2}$ auf.
$m_{1} \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$
↓
$m_{1} = - \frac{3}{4}$ einsetzen
$- \frac{3}{4} \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$ $: (- \frac{3}{4})$
$m_{2}$ $=$ $- \frac{1}{(- \frac{3}{4})}$
↓
rechte Seite mit dem Kehrbruch multiplizieren
$m_{2}$ $=$ $- 1 \cdot (- \frac{4}{3})$
$m_{2}$ $=$ $\frac{4}{3}$
Antwort: Die Gerade $h$ muss eine Steigung von $\frac{4}{3}$ haben, damit $h$ senkrecht auf $g$ steht.
Zusätzliche graphische Veranschaulichung
(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)
Gegeben ist die $orangefarbige Gerade g:$
$y = - \frac{3}{4} \cdot x + 2,5$
Orthogonal (senkrecht) zu $g$ ist z.B. die $lilafarbige Gerade h: y = \frac{4}{3} \cdot x - 1$ .
Jede andere Gerade mit der Steigung $m = \frac{4}{3}$ ist auch senkrecht zu $g$ .
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$g : y = - 3 \cdot x + 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden
Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$
Betrachte zwei Geraden, die durch die beiden folgenden Gleichungen gegeben sind:
Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y = m_{1} \cdot x + t_{1}$
Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y = m_{2} \cdot x + t_{2}$
Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ der beiden Geraden gilt:
$m_{1} \cdot m_{2} = - 1 (I)$
Dabei ist $m_{1}$ die Steigung der gegebenen Geraden $g$ und $m_{2}$ die Steigung der zu $g$ orthogonalen Geraden $h$ .
Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y = - 3 \cdot x + 3$ .
Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $m_{1} = - 3$ . Setze $m_{1}$ in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $m_{2}$ auf.
$m_{1} \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$
↓
$m_{1} = - 3$ einsetzen
$- 3 \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$ $: (- 3)$
$m_{2}$ $=$ $- \frac{1}{(- 3)}$
$m_{2}$ $=$ $\frac{1}{3}$
Antwort: Die Gerade $h$ muss eine Steigung von $\frac{1}{3}$ haben, damit $h$ senkrecht auf $g$ steht.
Zusätzliche graphische Veranschaulichung
(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)
Gegeben ist die $orangefarbige Gerade g:$
$y = - 3 \cdot x + 3$
Orthogonal (senkrecht) zu $g$ ist z.B. die $lilafarbige Gerade h: y = \frac{1}{3} \cdot x + 1$ .
Jede andere Gerade mit der Steigung $m = \frac{1}{3}$ ist auch senkrecht zu $g$ .
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$g : y = \frac{2}{7} \cdot x - 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden
Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden
Betrachte zwei Geraden, die durch die beiden folgenden Gleichungen gegeben sind:
Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y = m_{1} \cdot x + t_{1}$
Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y = m_{2} \cdot x + t_{2}$
Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ der beiden Geraden gilt:
$m_{1} \cdot m_{2} = - 1 (I)$
Dabei ist $m_{1}$ die Steigung der gegebenen Geraden $g$ und $m_{2}$ die Steigung der zu $g$ orthogonalen Geraden $h$ .
Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y = \frac{2}{7} \cdot x - 2$ .
Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $m_{1} = \frac{2}{7}$ . Setze $m_{1}$ in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $m_{2}$ auf.
$m_{1} \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$
↓
$m_{1} = \frac{2}{7}$ einsetzen
$\frac{2}{7} \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$ $: (\frac{2}{7})$
$m_{2}$ $=$ $- \frac{1}{(\frac{2}{7})}$
↓
rechte Seite mit Kehrbruch multiplizieren
$m_{2}$ $=$ $- 1 \cdot \frac{7}{2}$
$m_{2}$ $=$ $- \frac{7}{2}$
Antwort: Die Gerade $h$ muss eine Steigung von $- \frac{7}{2}$ haben, damit $h$ senkrecht auf $g$ steht.
Zusätzliche graphische Veranschaulichung
(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)
Gegeben ist die $orangefarbige Gerade g:$
$y = \frac{2}{7} \cdot x - 2$
Orthogonal (senkrecht) zu $g$ ist z.B. die
$lilafarbige Gerade h: y = - \frac{7}{2} \cdot x + 2$ .
Jede andere Gerade mit der Steigung $m = - \frac{7}{2}$ ist auch senkrecht zu $g$ .
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$m_{1} \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$
	↓	$m_{1} = 2$ einsetzen
$2 \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$	$: 2$
$m_{2}$	$=$	$- \frac{1}{2}$

$m_{1} \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$
	↓	$m_{1} = - \frac{3}{4}$ einsetzen
$- \frac{3}{4} \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$	$: (- \frac{3}{4})$
$m_{2}$	$=$	$- \frac{1}{(- \frac{3}{4})}$
	↓	rechte Seite mit dem Kehrbruch multiplizieren
$m_{2}$	$=$	$- 1 \cdot (- \frac{4}{3})$
$m_{2}$	$=$	$\frac{4}{3}$

$m_{1} \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$
	↓	$m_{1} = - 3$ einsetzen
$- 3 \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$	$: (- 3)$
$m_{2}$	$=$	$- \frac{1}{(- 3)}$
$m_{2}$	$=$	$\frac{1}{3}$

$m_{1} \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$
	↓	$m_{1} = \frac{2}{7}$ einsetzen
$\frac{2}{7} \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$	$: (\frac{2}{7})$
$m_{2}$	$=$	$- \frac{1}{(\frac{2}{7})}$
	↓	rechte Seite mit Kehrbruch multiplizieren
$m_{2}$	$=$	$- 1 \cdot \frac{7}{2}$
$m_{2}$	$=$	$- \frac{7}{2}$

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden h

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

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Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden h

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

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Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden h

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

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Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

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Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$