Aufgaben zu den Steigungen orthogonaler Geraden

Gegeben ist die Gerade $g$ . Berechne die Steigung einer zu $g$ orthogonalen (senkrechten) Geraden $h$ .

$g:\ y=2\cdot x-4$

$g:\ y=-\frac{3}{4}\cdot x+2{,}5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

Betrachte zwei Geraden, die durch die beiden folgenden Gleichungen gegeben sind:

Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y= m_1\cdot x+t_1$

Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y= m_2\cdot x+t_2$

Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ der beiden Geraden gilt:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

Dabei ist $m_1$ die Steigung der gegebenen Geraden $g$ und $m_2$ die Steigung der zu $g$ orthogonalen Geraden $h$ .

Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y=\textcolor{ff6600}{-\dfrac{3}{4}}\cdot x+2{,}5$ .

Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $\textcolor{ff6600}{m_1=-\dfrac{3}{4} }$ . Setze $m_1$ in Gleichung $\;\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $m_2$ auf.

$\displaystyle m_1\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_1=-\frac{3}{4}$ einsetzen
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{-\dfrac{3}{4} }\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :\left(-\dfrac{3}{4}\right)$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{\left(-\dfrac{3}{4}\right)}$
	↓	rechte Seite mit dem Kehrbruch multiplizieren
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -1\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}$

Antwort: Die Gerade $h$ muss eine Steigung von $\dfrac{4}{3}$ haben, damit $h$ senkrecht auf $g$ steht.

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)

Gegeben ist die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige Gerade g:\;\;}}$

$\textcolor{ff6600}{y=-\dfrac{3}{4}\cdot x+2{,}5}$

Orthogonal (senkrecht) zu $g$ ist z.B. die $\textcolor{660099}{\text{lilafarbige Gerade h:\;\;}y=\dfrac{4}{3}\cdot x-1}$ .

Jede andere Gerade mit der Steigung $m=\dfrac{4}{3}$ ist auch senkrecht zu $g$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

$g:\ y=-3\cdot x+3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

Betrachte zwei Geraden, die durch die beiden folgenden Gleichungen gegeben sind:

Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y= m_1\cdot x+t_1$

Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y= m_2\cdot x+t_2$

Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ der beiden Geraden gilt:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

Dabei ist $m_1$ die Steigung der gegebenen Geraden $g$ und $m_2$ die Steigung der zu $g$ orthogonalen Geraden $h$ .

Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y=\textcolor{ff6600}{-3 }\cdot x+3$ .

Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $\textcolor{ff6600}{m_1=-3}$ . Setze $m_1$ in Gleichung $\;\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $m_2$ auf.

$\displaystyle m_1 \cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_1=-3$ einsetzen
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{-3 }\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :(-3)$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{(-3)}$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}$

Antwort: Die Gerade $h$ muss eine Steigung von $\dfrac{1}{3}$ haben, damit $h$ senkrecht auf $g$ steht.

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)

Gegeben ist die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige Gerade g:\;\;}}$

$\textcolor{ff6600}{y=-3\cdot x+3}$

Orthogonal (senkrecht) zu $g$ ist z.B. die $\textcolor{660099}{\text{lilafarbige Gerade h:\;\;}y=\dfrac{1}{3}\cdot x+1}$ .

Jede andere Gerade mit der Steigung $m=\dfrac{1}{3}$ ist auch senkrecht zu $g$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

$g:\ y=\frac{2}{7}\cdot x-2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden

Betrachte zwei Geraden, die durch die beiden folgenden Gleichungen gegeben sind:

Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y= m_1\cdot x+t_1$

Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y= m_2\cdot x+t_2$

Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ der beiden Geraden gilt:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

Dabei ist $m_1$ die Steigung der gegebenen Geraden $g$ und $m_2$ die Steigung der zu $g$ orthogonalen Geraden $h$ .

Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y=\textcolor{ff6600}{\dfrac{2}{7} }\cdot x-2$ .

Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $\textcolor{ff6600}{m_1=\dfrac{2}{7}}$ . Setze $m_1$ in Gleichung $\;\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $m_2$ auf.

$\displaystyle m_1\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_1=\dfrac{2}{7}$ einsetzen
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{\dfrac{2}{7}}\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :\left(\dfrac{2}{7}\right)$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{\left(\dfrac{2}{7}\right)}$
	↓	rechte Seite mit Kehrbruch multiplizieren
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -1\cdot\dfrac{7}{2}$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{7}{2}$

Antwort: Die Gerade $h$ muss eine Steigung von $-\dfrac{7}{2}$ haben, damit $h$ senkrecht auf $g$ steht.

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)

Gegeben ist die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige Gerade g:\;\;}}$

$\textcolor{ff6600}{y=\dfrac{2}{7}\cdot x-2}$

Orthogonal (senkrecht) zu $g$ ist z.B. die

$\textcolor{660099}{\text{lilafarbige Gerade h:\;\;}y=-\frac{7}{2}\cdot x+2}$ .

Jede andere Gerade mit der Steigung $m=-\dfrac{7}{2}$ ist auch senkrecht zu $g$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

Berechne die Gleichung einer zu $g$ orthogonalen (senkrechten) Geraden $h$ , die durch den Punkt $P$ verläuft.

Gegeben: Gerade $g:\ y=-3\cdot x+4$ und $P\left(6\vert 7\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden

Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y= m_1\cdot x+t_1$

Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y= m_2\cdot x+t_2$

Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ der beiden Geraden gilt:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

1. Berechnung der Steigung $m_2$ der Geraden $h$

Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y=\textcolor{ff6600}{-3}\cdot x+4$ .

Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $\textcolor{ff6600}{m_1=-3 }$ . Setze $m_1$ in Gleichung $\;\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $m_2$ auf.

$\displaystyle m_1 \cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_1=-3$ einsetzen
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{-3} \cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :(-3)$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1}{-3}$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}$

Antwort: Die gesuchte Steigung der Geraden $h$ lautet: $m_2 =\dfrac{1}{3}$ .

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $t_2$ der Geraden $h$

Die Steigung der Geraden $h$ ist $m_2 =\dfrac{1}{3}$ . Für die Gleichung der Geraden $h$ kannst du nun ansetzen:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

Setze die Koordinaten des Punktes $P\left(6\vert 7\right)$ in Gleichung $\mathrm{(II)}$ ein und löse nach $t_2$ auf.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3} \cdot x+t_2$
	↓	$P\left(x\|y\right)=\left(6\|7\right)$ einsetzen $\Rightarrow x=6;\ y=7$
$\displaystyle 7$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3} \cdot 6+t_2$
$\displaystyle 7$	$=$	$\displaystyle 2+t_2$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle t_2$	$=$	$\displaystyle 5$

Antwort: Der gesuchte y-Achsenabschnitt der Geraden $h$ lautet: $t_2 =5$ . Somit ergibt sich für die Gleichung der Geraden $h:\ y=\frac{1}{3}\cdot x+5$ .

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)

Zwei senkrechte Geraden mit Punkt P(6/7)

Gegeben ist die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige Gerade g:\;\;}}$

$\textcolor{ff6600}{y=-3\cdot x+4}$

Orthogonal (senkrecht) zu $g$ und durch den Punkt $P \left(6\vert 7\right)$ verläuft die

$\textcolor{660099}{\text{lilafarbige Gerade}\ h:\ }\textcolor{660099}{y=\frac{1}{3}\cdot x+5}$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

Gegeben: Gerade $g:\ y=\frac{1}{4}\cdot x-2$ und $P\left(0{,}75\vert 2{,}5\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden

Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y= m_1\cdot x+t_1$

Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y= m_2\cdot x+t_2$

Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ der beiden Geraden gilt:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

1. Berechnung der Steigung $m_2$ der Geraden $h$

Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y=\textcolor{ff6600}{\dfrac{1}{4}}\cdot x-2$ .

Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $\textcolor{ff6600}{m_1=\dfrac{1}{4}}$ . Setze $m_1$ in Gleichung $\;\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $m_2$ auf.

$\displaystyle m_1\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_1=\frac{1}{4}$ einsetzen
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{\dfrac{1}{4}}\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :\left(\frac{1}{4}\right)$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1}{\left(\frac{1}{4}\right)}$
	↓	Mit Kehrbruch multiplizieren
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -4$

Antwort: Die gesuchte Steigung der Geraden $h$ lautet: $m_2 =-4$ .

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $t_2$ der Geraden $h$

Die Steigung der Geraden $h$ ist $m_2 =-4$ . Für die Gleichung der Geraden $h$ kannst du nun ansetzen:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

Setze die Koordinaten des Punktes $P\left(0{,}75\vert 2{,}5\right)$ in Gleichung $\mathrm{(II)}$ ein und löse nach $t_2$ auf.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -4 \cdot x+t_2$
	↓	$P\left(x\|y\right)=P\left(0{,}75\|2{,}5\right)$ einsetzen $\Rightarrow x=0{,}75;\ y=2{,}5$
$\displaystyle 2{,}5$	$=$	$\displaystyle -4\cdot 0{,}75+t_2$
$\displaystyle 2{,}5$	$=$	$\displaystyle -3+t_2$	$\displaystyle +3$
$\displaystyle t_2$	$=$	$\displaystyle 5{,}5$

Antwort: Der gesuchte y-Achsenabschnitt der Geraden $h$ lautet: $t_2 =5{,}5$ . Somit ergibt sich für die Gleichung der Geraden $h:\ y=-4\cdot x+5{,}5$ .

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)

Gegeben ist die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige Gerade g:\;\;}}$

$\textcolor{ff6600}{y=\dfrac{1}{4}\cdot x-2}$

Orthogonal (senkrecht) zu $g$ und durch den Punkt $P \left(0{,}75\vert 2{,}5\right)$ verläuft die

$\textcolor{660099}{\text{lilafarbige Gerade}\ }\textcolor{660099}{h:\ y=-4\cdot x+5{,}5}$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

Gegeben: Gerade $g:\ y=2{,}5\cdot x-3$ und $P\left(1|3{,}6\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden

Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y= m_1\cdot x+t_1$

Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y= m_2\cdot x+t_2$

Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ der beiden Geraden gilt:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

1. Berechnung der Steigung $m_2$ der Geraden $h$

Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y=\textcolor{ff6600}{2{,}5}\cdot x-3$ .

Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $\textcolor{ff6600}{m_1=2{,}5}$ . Setze $m_1$ in Gleichung $\;\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $m_2$ auf.

$\displaystyle m_1 \cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_1=2{,}5$ einsetzen
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{2{,}5} \cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :2{,}5$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1}{2{,}5}$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -0{,}4$

Antwort: Die gesuchte Steigung der Geraden $h$ lautet: $m_2 =-0{,}4$ .

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $t_2$ der Geraden $h$

Die Steigung der Geraden $h$ ist $m_2 =-0{,}4$ . Für die Gleichung der Geraden $h$ kannst du nun ansetzen:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

Setze die Koordinaten des Punktes $P\left(1|3{,}6\right)$ in Gleichung $\mathrm{(II)}$ ein und löse nach $t_2$ auf.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3} \cdot x+t_2$
	↓	$P\left(x\|y\right)=P\left(1\|3{,}6\right)$ einsetzen $\Rightarrow x=1;\ y=3{,}6$
$\displaystyle 3{,}6$	$=$	$\displaystyle -0{,}4\cdot1+t_2$
$\displaystyle 3{,}6$	$=$	$\displaystyle -0{,}4+t_2$	$\displaystyle +0{,}4$
$\displaystyle t_2$	$=$	$\displaystyle 4$

Antwort: Der gesuchte y-Achsenabschnitt der Geraden $h$ lautet: $t_2=4$ . Somit ergibt sich für die Gleichung der Geraden $h:\ y=-0{,}4\cdot x+4$ .

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)

Zwei senkrechte Geraden und Punkt P(1/3,6)

Gegeben ist die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige Gerade g:\;\;}}$

$\textcolor{ff6600}{y=2{,}5\cdot x-3}$

Orthogonal (senkrecht) zu $g$ und durch den Punkt $P \left(1\vert 3{,}6\right)$ verläuft die

$\textcolor{660099}{\text{lilafarbige Gerade}\ }\textcolor{660099}{h:\ y=-0{,}4\cdot x+4}$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle m_1\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_1=2$ einsetzen
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{2}\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{2}$

Aufgaben zu den Steigungen orthogonaler Geraden

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden hhh

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden h hh

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden hhh

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Berechnung der Steigung m2m_2m2​ der Geraden hhh

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts t2t_2t2​ der Geraden hhh

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Berechnung der Steigung m2m_2m2​ der Geraden hhh

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts t2t_2t2​ der Geraden hhh

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Berechnung der Steigung m2m_2m2​ der Geraden hhh

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts t2t_2t2​ der Geraden hhh

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

1. Berechnung der Steigung $m_2$ der Geraden $h$

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $t_2$ der Geraden $h$

1. Berechnung der Steigung $m_2$ der Geraden $h$

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $t_2$ der Geraden $h$

1. Berechnung der Steigung $m_2$ der Geraden $h$

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $t_2$ der Geraden $h$