Aufgaben zu den Steigungen orthogonaler Geraden

1
Gegeben ist die Gerade $g$ . Berechne die Steigung einer zu $g$ orthogonalen (senkrechten) Geraden $h$ .
1. $g : y = 2 \cdot x - 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden
  Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$
  Betrachte zwei Geraden, die durch die beiden folgenden Gleichungen gegeben sind:
  Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y = m_{1} \cdot x + t_{1}$
  Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y = m_{2} \cdot x + t_{2}$
  Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ der beiden Geraden gilt:
  $m_{1} \cdot m_{2} = - 1 (I)$
  Dabei ist $m_{1}$ die Steigung der gegebenen Geraden $g$ und $m_{2}$ die Steigung der zu $g$ orthogonalen Geraden $h$ .
  Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y = 2 \cdot x - 4$ .
  Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $m_{1} = 2$ . Setze $m_{1}$ in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $m_{2}$ auf.
  $m_{1} \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$
  ↓
  $m_{1} = 2$ einsetzen
  $2 \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$ $: 2$
  $m_{2}$ $=$ $- \frac{1}{2}$
  Antwort: Die Gerade $h$ muss eine Steigung von $- \frac{1}{2}$ haben, damit $h$ senkrecht auf $g$ steht.
  Zusätzliche graphische Veranschaulichung
  (nicht in der Aufgabenstellung gefordert)
  Gegeben ist die $orangefarbige Gerade g:$
  $y = 2 \cdot x - 4$
  Orthogonal (senkrecht) zu $g$ ist z.B. die
  $lilafarbige Gerade h: y = - \frac{1}{2} \cdot x + 2$ .
  Jede andere Gerade mit der Steigung $m = - \frac{1}{2}$ ist auch senkrecht zu $g$ .
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2. $g : y = - \frac{3}{4} \cdot x + 2,5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden
  Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$
  Betrachte zwei Geraden, die durch die beiden folgenden Gleichungen gegeben sind:
  Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y = m_{1} \cdot x + t_{1}$
  Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y = m_{2} \cdot x + t_{2}$
  Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ der beiden Geraden gilt:
  $m_{1} \cdot m_{2} = - 1 (I)$
  Dabei ist $m_{1}$ die Steigung der gegebenen Geraden $g$ und $m_{2}$ die Steigung der zu $g$ orthogonalen Geraden $h$ .
  Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y = - \frac{3}{4} \cdot x + 2,5$ .
  Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $m_{1} = - \frac{3}{4}$ . Setze $m_{1}$ in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $m_{2}$ auf.
  $m_{1} \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$
  ↓
  $m_{1} = - \frac{3}{4}$ einsetzen
  $- \frac{3}{4} \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$ $: (- \frac{3}{4})$
  $m_{2}$ $=$ $- \frac{1}{(- \frac{3}{4})}$
  ↓
  rechte Seite mit dem Kehrbruch multiplizieren
  $m_{2}$ $=$ $- 1 \cdot (- \frac{4}{3})$
  $m_{2}$ $=$ $\frac{4}{3}$
  Antwort: Die Gerade $h$ muss eine Steigung von $\frac{4}{3}$ haben, damit $h$ senkrecht auf $g$ steht.
  Zusätzliche graphische Veranschaulichung
  (nicht in der Aufgabenstellung gefordert)
  Gegeben ist die $orangefarbige Gerade g:$
  $y = - \frac{3}{4} \cdot x + 2,5$
  Orthogonal (senkrecht) zu $g$ ist z.B. die $lilafarbige Gerade h: y = \frac{4}{3} \cdot x - 1$ .
  Jede andere Gerade mit der Steigung $m = \frac{4}{3}$ ist auch senkrecht zu $g$ .
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3. $g : y = - 3 \cdot x + 3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden
  Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$
  Betrachte zwei Geraden, die durch die beiden folgenden Gleichungen gegeben sind:
  Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y = m_{1} \cdot x + t_{1}$
  Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y = m_{2} \cdot x + t_{2}$
  Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ der beiden Geraden gilt:
  $m_{1} \cdot m_{2} = - 1 (I)$
  Dabei ist $m_{1}$ die Steigung der gegebenen Geraden $g$ und $m_{2}$ die Steigung der zu $g$ orthogonalen Geraden $h$ .
  Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y = - 3 \cdot x + 3$ .
  Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $m_{1} = - 3$ . Setze $m_{1}$ in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $m_{2}$ auf.
  $m_{1} \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$
  ↓
  $m_{1} = - 3$ einsetzen
  $- 3 \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$ $: (- 3)$
  $m_{2}$ $=$ $- \frac{1}{(- 3)}$
  $m_{2}$ $=$ $\frac{1}{3}$
  Antwort: Die Gerade $h$ muss eine Steigung von $\frac{1}{3}$ haben, damit $h$ senkrecht auf $g$ steht.
  Zusätzliche graphische Veranschaulichung
  (nicht in der Aufgabenstellung gefordert)
  Gegeben ist die $orangefarbige Gerade g:$
  $y = - 3 \cdot x + 3$
  Orthogonal (senkrecht) zu $g$ ist z.B. die $lilafarbige Gerade h: y = \frac{1}{3} \cdot x + 1$ .
  Jede andere Gerade mit der Steigung $m = \frac{1}{3}$ ist auch senkrecht zu $g$ .
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4. $g : y = \frac{2}{7} \cdot x - 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden
  Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden
  Betrachte zwei Geraden, die durch die beiden folgenden Gleichungen gegeben sind:
  Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y = m_{1} \cdot x + t_{1}$
  Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y = m_{2} \cdot x + t_{2}$
  Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ der beiden Geraden gilt:
  $m_{1} \cdot m_{2} = - 1 (I)$
  Dabei ist $m_{1}$ die Steigung der gegebenen Geraden $g$ und $m_{2}$ die Steigung der zu $g$ orthogonalen Geraden $h$ .
  Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y = \frac{2}{7} \cdot x - 2$ .
  Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $m_{1} = \frac{2}{7}$ . Setze $m_{1}$ in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $m_{2}$ auf.
  $m_{1} \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$
  ↓
  $m_{1} = \frac{2}{7}$ einsetzen
  $\frac{2}{7} \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$ $: (\frac{2}{7})$
  $m_{2}$ $=$ $- \frac{1}{(\frac{2}{7})}$
  ↓
  rechte Seite mit Kehrbruch multiplizieren
  $m_{2}$ $=$ $- 1 \cdot \frac{7}{2}$
  $m_{2}$ $=$ $- \frac{7}{2}$
  Antwort: Die Gerade $h$ muss eine Steigung von $- \frac{7}{2}$ haben, damit $h$ senkrecht auf $g$ steht.
  Zusätzliche graphische Veranschaulichung
  (nicht in der Aufgabenstellung gefordert)
  Gegeben ist die $orangefarbige Gerade g:$
  $y = \frac{2}{7} \cdot x - 2$
  Orthogonal (senkrecht) zu $g$ ist z.B. die
  $lilafarbige Gerade h: y = - \frac{7}{2} \cdot x + 2$ .
  Jede andere Gerade mit der Steigung $m = - \frac{7}{2}$ ist auch senkrecht zu $g$ .
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2
Berechne die Gleichung einer zu $g$ orthogonalen (senkrechten) Geraden $h$ , die durch den Punkt $P$ verläuft.
1. Gegeben: Gerade $g : y = - 3 \cdot x + 4$ und $P (6 | 7)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden
  Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y = m_{1} \cdot x + t_{1}$
  Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y = m_{2} \cdot x + t_{2}$
  Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ der beiden Geraden gilt:
  $m_{1} \cdot m_{2} = - 1 (I)$
  1. Berechnung der Steigung $m_{2}$ der Geraden $h$
  Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y = - 3 \cdot x + 4$ .
  Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $m_{1} = - 3$ . Setze $m_{1}$ in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $m_{2}$ auf.
  $m_{1} \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$
  ↓
  $m_{1} = - 3$ einsetzen
  $- 3 \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$ $: (- 3)$
  $m_{2}$ $=$ $\frac{- 1}{- 3}$
  $m_{2}$ $=$ $\frac{1}{3}$
  Antwort: Die gesuchte Steigung der Geraden $h$ lautet: $m_{2} = \frac{1}{3}$ .
  2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $t_{2}$ der Geraden $h$
  Die Steigung der Geraden $h$ ist $m_{2} = \frac{1}{3}$ . Für die Gleichung der Geraden $h$ kannst du nun ansetzen:
  $y = \frac{1}{3} \cdot x + t_{2} (I I)$
  Setze die Koordinaten des Punktes $P (6 | 7)$ in Gleichung $(I I)$ ein und löse nach $t_{2}$ auf.
  $y$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot x + t_{2}$
  ↓
  $P (x | y) = (6 | 7)$ einsetzen $\Rightarrow x = 6; y = 7$
  $7$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot 6 + t_{2}$
  $7$ $=$ $2 + t_{2}$ $- 2$
  $t_{2}$ $=$ $5$
  Antwort: Der gesuchte y-Achsenabschnitt der Geraden $h$ lautet: $t_{2} = 5$ . Somit ergibt sich für die Gleichung der Geraden $h : y = \frac{1}{3} \cdot x + 5$ .
  Zusätzliche graphische Veranschaulichung
  (nicht in der Aufgabenstellung gefordert)
  Gegeben ist die $orangefarbige Gerade g:$
  $y = - 3 \cdot x + 4$
  Orthogonal (senkrecht) zu $g$ und durch den Punkt $P (6 | 7)$ verläuft die
  $lilafarbige Gerade h : y = \frac{1}{3} \cdot x + 5$ .
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2. Gegeben: Gerade $g : y = \frac{1}{4} \cdot x - 2$ und $P (0,75 | 2,5)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden
  Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y = m_{1} \cdot x + t_{1}$
  Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y = m_{2} \cdot x + t_{2}$
  Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ der beiden Geraden gilt:
  $m_{1} \cdot m_{2} = - 1 (I)$
  1. Berechnung der Steigung $m_{2}$ der Geraden $h$
  Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y = \frac{1}{4} \cdot x - 2$ .
  Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $m_{1} = \frac{1}{4}$ . Setze $m_{1}$ in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $m_{2}$ auf.
  $m_{1} \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$
  ↓
  $m_{1} = \frac{1}{4}$ einsetzen
  $\frac{1}{4} \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$ $: (\frac{1}{4})$
  $m_{2}$ $=$ $\frac{- 1}{(\frac{1}{4})}$
  ↓
  Mit Kehrbruch multiplizieren
  $m_{2}$ $=$ $- 4$
  Antwort: Die gesuchte Steigung der Geraden $h$ lautet: $m_{2} = - 4$ .
  2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $t_{2}$ der Geraden $h$
  Die Steigung der Geraden $h$ ist $m_{2} = - 4$ . Für die Gleichung der Geraden $h$ kannst du nun ansetzen:
  $y = - 4 \cdot x + t_{2} (I I)$
  Setze die Koordinaten des Punktes $P (0,75 | 2,5)$ in Gleichung $(I I)$ ein und löse nach $t_{2}$ auf.
  $y$ $=$ $- 4 \cdot x + t_{2}$
  ↓
  $P (x | y) = P (0,75 | 2,5)$ einsetzen $\Rightarrow x = 0,75; y = 2,5$
  $2,5$ $=$ $- 4 \cdot 0,75 + t_{2}$
  $2,5$ $=$ $- 3 + t_{2}$ $+ 3$
  $t_{2}$ $=$ $5,5$
  Antwort: Der gesuchte y-Achsenabschnitt der Geraden $h$ lautet: $t_{2} = 5,5$ . Somit ergibt sich für die Gleichung der Geraden $h : y = - 4 \cdot x + 5,5$ .
  Zusätzliche graphische Veranschaulichung
  (nicht in der Aufgabenstellung gefordert)
  Gegeben ist die $orangefarbige Gerade g:$
  $y = \frac{1}{4} \cdot x - 2$
  Orthogonal (senkrecht) zu $g$ und durch den Punkt $P (0,75 | 2,5)$ verläuft die
  $lilafarbige Gerade h : y = - 4 \cdot x + 5,5$ .
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3. Gegeben: Gerade $g : y = 2,5 \cdot x - 3$ und $P (1 | 3,6)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden
  Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y = m_{1} \cdot x + t_{1}$
  Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y = m_{2} \cdot x + t_{2}$
  Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_{1}$ und $m_{2}$ der beiden Geraden gilt:
  $m_{1} \cdot m_{2} = - 1 (I)$
  1. Berechnung der Steigung $m_{2}$ der Geraden $h$
  Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y = 2,5 \cdot x - 3$ .
  Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $m_{1} = 2,5$ . Setze $m_{1}$ in Gleichung $(I)$ ein und löse nach $m_{2}$ auf.
  $m_{1} \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$
  ↓
  $m_{1} = 2,5$ einsetzen
  $2,5 \cdot m_{2}$ $=$ $- 1$ $: 2,5$
  $m_{2}$ $=$ $\frac{- 1}{2,5}$
  $m_{2}$ $=$ $- 0,4$
  Antwort: Die gesuchte Steigung der Geraden $h$ lautet: $m_{2} = - 0,4$ .
  2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $t_{2}$ der Geraden $h$
  Die Steigung der Geraden $h$ ist $m_{2} = - 0,4$ . Für die Gleichung der Geraden $h$ kannst du nun ansetzen:
  $y = - 0,4 \cdot x + t_{2} (I I)$
  Setze die Koordinaten des Punktes $P (1 | 3,6)$ in Gleichung $(I I)$ ein und löse nach $t_{2}$ auf.
  $y$ $=$ $\frac{1}{3} \cdot x + t_{2}$
  ↓
  $P (x | y) = P (1 | 3,6)$ einsetzen $\Rightarrow x = 1; y = 3,6$
  $3,6$ $=$ $- 0,4 \cdot 1 + t_{2}$
  $3,6$ $=$ $- 0,4 + t_{2}$ $+ 0,4$
  $t_{2}$ $=$ $4$
  Antwort: Der gesuchte y-Achsenabschnitt der Geraden $h$ lautet: $t_{2} = 4$ . Somit ergibt sich für die Gleichung der Geraden $h : y = - 0,4 \cdot x + 4$ .
  Zusätzliche graphische Veranschaulichung
  (nicht in der Aufgabenstellung gefordert)
  Gegeben ist die $orangefarbige Gerade g:$
  $y = 2,5 \cdot x - 3$
  Orthogonal (senkrecht) zu $g$ und durch den Punkt $P (1 | 3,6)$ verläuft die
  $lilafarbige Gerade h : y = - 0,4 \cdot x + 4$ .
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$m_{1} \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$
	↓	$m_{1} = 2$ einsetzen
$2 \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$	$: 2$
$m_{2}$	$=$	$- \frac{1}{2}$

$m_{1} \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$
	↓	$m_{1} = - \frac{3}{4}$ einsetzen
$- \frac{3}{4} \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$	$: (- \frac{3}{4})$
$m_{2}$	$=$	$- \frac{1}{(- \frac{3}{4})}$
	↓	rechte Seite mit dem Kehrbruch multiplizieren
$m_{2}$	$=$	$- 1 \cdot (- \frac{4}{3})$
$m_{2}$	$=$	$\frac{4}{3}$

$m_{1} \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$
	↓	$m_{1} = - 3$ einsetzen
$- 3 \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$	$: (- 3)$
$m_{2}$	$=$	$- \frac{1}{(- 3)}$
$m_{2}$	$=$	$\frac{1}{3}$

$m_{1} \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$
	↓	$m_{1} = \frac{2}{7}$ einsetzen
$\frac{2}{7} \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$	$: (\frac{2}{7})$
$m_{2}$	$=$	$- \frac{1}{(\frac{2}{7})}$
	↓	rechte Seite mit Kehrbruch multiplizieren
$m_{2}$	$=$	$- 1 \cdot \frac{7}{2}$
$m_{2}$	$=$	$- \frac{7}{2}$

$y$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot x + t_{2}$
	↓	$P (x \| y) = (6 \| 7)$ einsetzen $\Rightarrow x = 6; y = 7$
$7$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot 6 + t_{2}$
$7$	$=$	$2 + t_{2}$	$- 2$
$t_{2}$	$=$	$5$

$m_{1} \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$
	↓	$m_{1} = \frac{1}{4}$ einsetzen
$\frac{1}{4} \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$	$: (\frac{1}{4})$
$m_{2}$	$=$	$\frac{- 1}{(\frac{1}{4})}$
	↓	Mit Kehrbruch multiplizieren
$m_{2}$	$=$	$- 4$

$y$	$=$	$- 4 \cdot x + t_{2}$
	↓	$P (x \| y) = P (0,75 \| 2,5)$ einsetzen $\Rightarrow x = 0,75; y = 2,5$
$2,5$	$=$	$- 4 \cdot 0,75 + t_{2}$
$2,5$	$=$	$- 3 + t_{2}$	$+ 3$
$t_{2}$	$=$	$5,5$

$m_{1} \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$
	↓	$m_{1} = 2,5$ einsetzen
$2,5 \cdot m_{2}$	$=$	$- 1$	$: 2,5$
$m_{2}$	$=$	$\frac{- 1}{2,5}$
$m_{2}$	$=$	$- 0,4$

$y$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot x + t_{2}$
	↓	$P (x \| y) = P (1 \| 3,6)$ einsetzen $\Rightarrow x = 1; y = 3,6$
$3,6$	$=$	$- 0,4 \cdot 1 + t_{2}$
$3,6$	$=$	$- 0,4 + t_{2}$	$+ 0,4$
$t_{2}$	$=$	$4$

Aufgaben zu den Steigungen orthogonaler Geraden

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden h

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

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Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden h

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Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden

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1. Berechnung der Steigung m2 der Geraden h

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts t2 der Geraden h

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1. Berechnung der Steigung m2 der Geraden h

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts t2 der Geraden h

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1. Berechnung der Steigung m2 der Geraden h

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts t2 der Geraden h

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Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

1. Berechnung der Steigung $m_{2}$ der Geraden $h$

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $t_{2}$ der Geraden $h$

1. Berechnung der Steigung $m_{2}$ der Geraden $h$

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $t_{2}$ der Geraden $h$

1. Berechnung der Steigung $m_{2}$ der Geraden $h$

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $t_{2}$ der Geraden $h$