Aufgaben zu den Steigungen orthogonaler Geraden

Gegeben ist die Gerade $g$ . Berechne die Steigung einer zu $g$ orthogonalen (senkrechten) Geraden $h$ .

$g:\ y=2\cdot x-4$

$g:\ y=-\frac{3}{4}\cdot x+2{,}5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

Betrachte zwei Geraden, die durch die beiden folgenden Gleichungen gegeben sind:

Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y= m_1\cdot x+t_1$

Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y= m_2\cdot x+t_2$

Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ der beiden Geraden gilt:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

Dabei ist $m_1$ die Steigung der gegebenen Geraden $g$ und $m_2$ die Steigung der zu $g$ orthogonalen Geraden $h$ .

Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y=\textcolor{ff6600}{-\dfrac{3}{4}}\cdot x+2{,}5$ .

Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $\textcolor{ff6600}{m_1=-\dfrac{3}{4} }$ . Setze $m_1$ in Gleichung $\;\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $m_2$ auf.

$\displaystyle m_1\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_1=-\frac{3}{4}$ einsetzen
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{-\dfrac{3}{4} }\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :\left(-\dfrac{3}{4}\right)$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{\left(-\dfrac{3}{4}\right)}$
	↓	rechte Seite mit dem Kehrbruch multiplizieren
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -1\cdot\left(-\dfrac{4}{3}\right)$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}$

Antwort: Die Gerade $h$ muss eine Steigung von $\dfrac{4}{3}$ haben, damit $h$ senkrecht auf $g$ steht.

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)

Gegeben ist die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige Gerade g:\;\;}}$

$\textcolor{ff6600}{y=-\dfrac{3}{4}\cdot x+2{,}5}$

Orthogonal (senkrecht) zu $g$ ist z.B. die $\textcolor{660099}{\text{lilafarbige Gerade h:\;\;}y=\dfrac{4}{3}\cdot x-1}$ .

Jede andere Gerade mit der Steigung $m=\dfrac{4}{3}$ ist auch senkrecht zu $g$ .

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$g:\ y=-3\cdot x+3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

Betrachte zwei Geraden, die durch die beiden folgenden Gleichungen gegeben sind:

Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y= m_1\cdot x+t_1$

Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y= m_2\cdot x+t_2$

Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ der beiden Geraden gilt:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

Dabei ist $m_1$ die Steigung der gegebenen Geraden $g$ und $m_2$ die Steigung der zu $g$ orthogonalen Geraden $h$ .

Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y=\textcolor{ff6600}{-3 }\cdot x+3$ .

Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $\textcolor{ff6600}{m_1=-3}$ . Setze $m_1$ in Gleichung $\;\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $m_2$ auf.

$\displaystyle m_1 \cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_1=-3$ einsetzen
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{-3 }\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :(-3)$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{(-3)}$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}$

Antwort: Die Gerade $h$ muss eine Steigung von $\dfrac{1}{3}$ haben, damit $h$ senkrecht auf $g$ steht.

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)

Gegeben ist die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige Gerade g:\;\;}}$

$\textcolor{ff6600}{y=-3\cdot x+3}$

Orthogonal (senkrecht) zu $g$ ist z.B. die $\textcolor{660099}{\text{lilafarbige Gerade h:\;\;}y=\dfrac{1}{3}\cdot x+1}$ .

Jede andere Gerade mit der Steigung $m=\dfrac{1}{3}$ ist auch senkrecht zu $g$ .

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$g:\ y=\frac{2}{7}\cdot x-2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden

Betrachte zwei Geraden, die durch die beiden folgenden Gleichungen gegeben sind:

Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y= m_1\cdot x+t_1$

Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y= m_2\cdot x+t_2$

Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ der beiden Geraden gilt:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

Dabei ist $m_1$ die Steigung der gegebenen Geraden $g$ und $m_2$ die Steigung der zu $g$ orthogonalen Geraden $h$ .

Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y=\textcolor{ff6600}{\dfrac{2}{7} }\cdot x-2$ .

Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $\textcolor{ff6600}{m_1=\dfrac{2}{7}}$ . Setze $m_1$ in Gleichung $\;\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $m_2$ auf.

$\displaystyle m_1\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_1=\dfrac{2}{7}$ einsetzen
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{\dfrac{2}{7}}\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :\left(\dfrac{2}{7}\right)$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{\left(\dfrac{2}{7}\right)}$
	↓	rechte Seite mit Kehrbruch multiplizieren
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -1\cdot\dfrac{7}{2}$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{7}{2}$

Antwort: Die Gerade $h$ muss eine Steigung von $-\dfrac{7}{2}$ haben, damit $h$ senkrecht auf $g$ steht.

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)

Gegeben ist die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige Gerade g:\;\;}}$

$\textcolor{ff6600}{y=\dfrac{2}{7}\cdot x-2}$

Orthogonal (senkrecht) zu $g$ ist z.B. die

$\textcolor{660099}{\text{lilafarbige Gerade h:\;\;}y=-\frac{7}{2}\cdot x+2}$ .

Jede andere Gerade mit der Steigung $m=-\dfrac{7}{2}$ ist auch senkrecht zu $g$ .

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Berechne die Gleichung einer zu $g$ orthogonalen (senkrechten) Geraden $h$ , die durch den Punkt $P$ verläuft.

Gegeben: Gerade $g:\ y=-3\cdot x+4$ und $P\left(6\vert 7\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden

Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y= m_1\cdot x+t_1$

Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y= m_2\cdot x+t_2$

Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ der beiden Geraden gilt:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

1. Berechnung der Steigung $m_2$ der Geraden $h$

Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y=\textcolor{ff6600}{-3}\cdot x+4$ .

Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $\textcolor{ff6600}{m_1=-3 }$ . Setze $m_1$ in Gleichung $\;\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $m_2$ auf.

$\displaystyle m_1 \cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_1=-3$ einsetzen
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{-3} \cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :(-3)$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1}{-3}$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}$

Antwort: Die gesuchte Steigung der Geraden $h$ lautet: $m_2 =\dfrac{1}{3}$ .

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $t_2$ der Geraden $h$

Die Steigung der Geraden $h$ ist $m_2 =\dfrac{1}{3}$ . Für die Gleichung der Geraden $h$ kannst du nun ansetzen:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

Setze die Koordinaten des Punktes $P\left(6\vert 7\right)$ in Gleichung $\mathrm{(II)}$ ein und löse nach $t_2$ auf.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3} \cdot x+t_2$
	↓	$P\left(x\|y\right)=\left(6\|7\right)$ einsetzen $\Rightarrow x=6;\ y=7$
$\displaystyle 7$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3} \cdot 6+t_2$
$\displaystyle 7$	$=$	$\displaystyle 2+t_2$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle t_2$	$=$	$\displaystyle 5$

Antwort: Der gesuchte y-Achsenabschnitt der Geraden $h$ lautet: $t_2 =5$ . Somit ergibt sich für die Gleichung der Geraden $h:\ y=\frac{1}{3}\cdot x+5$ .

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)

Gegeben ist die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige Gerade g:\;\;}}$

$\textcolor{ff6600}{y=-3\cdot x+4}$

Orthogonal (senkrecht) zu $g$ und durch den Punkt $P \left(6\vert 7\right)$ verläuft die

$\textcolor{660099}{\text{lilafarbige Gerade}\ h:\ }\textcolor{660099}{y=\frac{1}{3}\cdot x+5}$ .

Zwei senkrechte Geraden mit Punkt P(6/7)

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Gegeben: Gerade $g:\ y=\frac{1}{4}\cdot x-2$ und $P\left(0{,}75\vert 2{,}5\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden

Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y= m_1\cdot x+t_1$

Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y= m_2\cdot x+t_2$

Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ der beiden Geraden gilt:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

1. Berechnung der Steigung $m_2$ der Geraden $h$

Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y=\textcolor{ff6600}{\dfrac{1}{4}}\cdot x-2$ .

Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $\textcolor{ff6600}{m_1=\dfrac{1}{4}}$ . Setze $m_1$ in Gleichung $\;\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $m_2$ auf.

$\displaystyle m_1\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_1=\frac{1}{4}$ einsetzen
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{\dfrac{1}{4}}\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :\left(\frac{1}{4}\right)$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1}{\left(\frac{1}{4}\right)}$
	↓	Mit Kehrbruch multiplizieren
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -4$

Antwort: Die gesuchte Steigung der Geraden $h$ lautet: $m_2 =-4$ .

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $t_2$ der Geraden $h$

Die Steigung der Geraden $h$ ist $m_2 =-4$ . Für die Gleichung der Geraden $h$ kannst du nun ansetzen:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

Setze die Koordinaten des Punktes $P\left(0{,}75\vert 2{,}5\right)$ in Gleichung $\mathrm{(II)}$ ein und löse nach $t_2$ auf.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -4 \cdot x+t_2$
	↓	$P\left(x\|y\right)=P\left(0{,}75\|2{,}5\right)$ einsetzen $\Rightarrow x=0{,}75;\ y=2{,}5$
$\displaystyle 2{,}5$	$=$	$\displaystyle -4\cdot 0{,}75+t_2$
$\displaystyle 2{,}5$	$=$	$\displaystyle -3+t_2$	$\displaystyle +3$
$\displaystyle t_2$	$=$	$\displaystyle 5{,}5$

Antwort: Der gesuchte y-Achsenabschnitt der Geraden $h$ lautet: $t_2 =5{,}5$ . Somit ergibt sich für die Gleichung der Geraden $h:\ y=-4\cdot x+5{,}5$ .

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)

Gegeben ist die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige Gerade g:\;\;}}$

$\textcolor{ff6600}{y=\dfrac{1}{4}\cdot x-2}$

Orthogonal (senkrecht) zu $g$ und durch den Punkt $P \left(0{,}75\vert 2{,}5\right)$ verläuft die

$\textcolor{660099}{\text{lilafarbige Gerade}\ }\textcolor{660099}{h:\ y=-4\cdot x+5{,}5}$ .

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Gegeben: Gerade $g:\ y=2{,}5\cdot x-3$ und $P\left(1|3{,}6\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Orthogonale Geraden

Für die gegebene Gerade $g$ gilt: $y= m_1\cdot x+t_1$

Für die gesuchte Gerade $h$ gilt: $y= m_2\cdot x+t_2$

Die Gerade $h$ ist orthogonal zu der Geraden $g$ , wenn für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ der beiden Geraden gilt:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

1. Berechnung der Steigung $m_2$ der Geraden $h$

Die Gleichung der gegebenen Geraden $g$ lautet: $y=\textcolor{ff6600}{2{,}5}\cdot x-3$ .

Die Gerade $g$ hat demnach die Steigung $\textcolor{ff6600}{m_1=2{,}5}$ . Setze $m_1$ in Gleichung $\;\mathrm{(I)}$ ein und löse nach $m_2$ auf.

$\displaystyle m_1 \cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_1=2{,}5$ einsetzen
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{2{,}5} \cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :2{,}5$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-1}{2{,}5}$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -0{,}4$

Antwort: Die gesuchte Steigung der Geraden $h$ lautet: $m_2 =-0{,}4$ .

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $t_2$ der Geraden $h$

Die Steigung der Geraden $h$ ist $m_2 =-0{,}4$ . Für die Gleichung der Geraden $h$ kannst du nun ansetzen:

\displaystyle m_1 \cdot m_2 =-1\;\;\mathrm{(I)}

Setze die Koordinaten des Punktes $P\left(1|3{,}6\right)$ in Gleichung $\mathrm{(II)}$ ein und löse nach $t_2$ auf.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3} \cdot x+t_2$
	↓	$P\left(x\|y\right)=P\left(1\|3{,}6\right)$ einsetzen $\Rightarrow x=1;\ y=3{,}6$
$\displaystyle 3{,}6$	$=$	$\displaystyle -0{,}4\cdot1+t_2$
$\displaystyle 3{,}6$	$=$	$\displaystyle -0{,}4+t_2$	$\displaystyle +0{,}4$
$\displaystyle t_2$	$=$	$\displaystyle 4$

Antwort: Der gesuchte y-Achsenabschnitt der Geraden $h$ lautet: $t_2=4$ . Somit ergibt sich für die Gleichung der Geraden $h:\ y=-0{,}4\cdot x+4$ .

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

(nicht in der Aufgabenstellung gefordert)

Gegeben ist die $\textcolor{ff6600}{\text{orangefarbige Gerade g:\;\;}}$

$\textcolor{ff6600}{y=2{,}5\cdot x-3}$

Orthogonal (senkrecht) zu $g$ und durch den Punkt $P \left(1\vert 3{,}6\right)$ verläuft die

$\textcolor{660099}{\text{lilafarbige Gerade}\ }\textcolor{660099}{h:\ y=-0{,}4\cdot x+4}$ .

Zwei senkrechte Geraden und Punkt P(1/3,6)

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle m_1\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$
	↓	$m_1=2$ einsetzen
$\displaystyle \textcolor{ff6600}{2}\cdot m_2$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle m_2$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{2}$

Aufgaben zu den Steigungen orthogonaler Geraden

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden hhh

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

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Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden h hh

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

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Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden hhh

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

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Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

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1. Berechnung der Steigung m2m_2m2​ der Geraden hhh

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts t2t_2t2​ der Geraden hhh

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

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1. Berechnung der Steigung m2m_2m2​ der Geraden hhh

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts t2t_2t2​ der Geraden hhh

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

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1. Berechnung der Steigung m2m_2m2​ der Geraden hhh

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts t2t_2t2​ der Geraden hhh

Zusätzliche graphische Veranschaulichung

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Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

Bestimmung der gesuchten Steigung der Geraden $h$

1. Berechnung der Steigung $m_2$ der Geraden $h$

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $t_2$ der Geraden $h$

1. Berechnung der Steigung $m_2$ der Geraden $h$

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $t_2$ der Geraden $h$

1. Berechnung der Steigung $m_2$ der Geraden $h$

2. Berechnung des y-Achsenabschnitts $t_2$ der Geraden $h$