Setze für die gegebenen Scharfunktionen die Parameter ein und rechne die Summe aus.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}g_{0;0}&=&\sum_{k=0}^0 \frac{(x-0)^kf^{(k)}(0)}{k!} \\&=&\frac{\overbrace{x^0}^{=1}\cdot \overbrace{f(0)}^{=0}}{\underbrace{0!}_{=1}}\\&=&0\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}g_{1;0}&=&\sum_{k=0}^1 \frac{(x-0)^kf^{(k)}(0)}{k!}\\ &=&\frac{\overbrace{x^0}^{=1}\cdot \overbrace{f(0)}^{=0}}{\underbrace{0!}_{=1}}+\frac{\overbrace{x^1}^{=x}\cdot \overbrace{f'(0)}^{=\cos(0)=1}}{\underbrace{1!}_{=1}}\\&=&0+x\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}g_{2;0}&=&\sum_{k=0}^2 \frac{(x-0)^kf^{(k)}(0)}{k!} \\&=&0+x+\frac{x^2\cdot \overbrace{f''(0)}^{=-\sin(0)=0}}{\underbrace{2!}_{=2}}\\&=&0+x+0\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}g_{3;0}&=&\sum_{k=0}^3 \frac{(x-0)^kf^{(k)}(0)}{k!} \\&=&0+x+\frac{x^3\cdot \overbrace{f'''(0)}^{=-\cos(0)=-1}}{\underbrace{3!}_{=3\cdot 2 \cdot 1=6}}\\&=&0+x-\frac{x^3}{6}\end{array}$

Die Funktionsterme stimmen überein.

Für den Funktionsterm von $g_{5;0}$ benötigst du zusätzlich zu den Term von $g_{3;0}$ noch die Summanden für $k=4$ und $k=5$. Für die gilt:

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{ll}k=4: &\dfrac{x^4\cdot \overbrace{f^{(4)}(0)}^{=\sin(0)=0}}{4!}= 0\\\\k=5: &\dfrac{x^5\cdot \overbrace{f^{(5)}(0)}^{=\cos(0)=1}}{\underbrace{5!}_{=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120}}= \dfrac{x^5}{120}\end{array}$

damit erhältst du für den gesuchten Term

$g_{5;0}(x)= x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^5}{120}$

Für wachsende $n$ schmiegen sich die Graphen von $g_{n;0}$ in einem immer größer werdenden Intervall um die 0 an den Graph von $f$ an. Du kannst vermuten, dass für $n \rightarrow \infty$ die Taylorreihe $g_{\infty;0}$ mit der Funktion $f$ identisch ist.

Nutze die Formel aus Teilaufgabe a) für die ersten Summanden:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}T_ne(x;0)&=&\sum_{k=0}^n \frac{(x-0)^k f^{(k)}(0)}{k!} \\&=&\frac{x^0 \cdot \overbrace{e^0}^{=1}}{0!}+\frac{x^1 \cdot e^0}{1!}+\frac{x^2 \cdot e^0}{2!}+\frac{x^3 \cdot e^0}{3!}+\ldots\end{array}$

$\displaystyle T_ne(x;0)=\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}$

Das $n$-te Taylorpolynom ist eine Summe von aufsteigenden $x$-Potenzen, jeweils dividiert durch die Fakultät des Exponenten.

Nutze wieder die Formel aus Teilaufgabe a):

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} T_np(x;0)&=&\sum_{k=0}^n \frac{(x-0)^k f^{(k)}(0)}{k!} \\&=&\frac{x^0 \cdot 0^2}{0!}+\frac{x^1 \cdot (2\cdot 0)}{1!}+\frac{x^2 \cdot 2}{2!}+\frac{x^3 \cdot 0}{3!}+\frac{x^4 \cdot 0}{4!}+\ldots\end{array}$

Da ab $k=3$ alle $k$-ten Ableitungen gleich 0 sind folgen nur noch Nuller als Summanden. Du erhältst als Lösung:

$\displaystyle T_np(x;0)=\frac{2x^2}{2}=x^2$

Die Taylorreihe ist also identisch mit der Ausgangsfunktion!