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Schwierigere und weiterführende Aufgaben

Du willst dich herausfordern? Hier findest du schwierigere und weiterführende Aufgaben zur Taylorentwicklung und Volumenberechnung mit Integralen.

  1. 1

    Taylorentwicklung

    Im Gegensatz zur Schulmathematik, bei der meist nur die ersten drei Ableitungen nützlich sind, gibt es auch Anwendungsgebiete in der Mathematik, bei denen du beliebig viele Ableitungen brauchen kannst. Eine solche Anwendung ist die sogenannte Taylorentwicklung von Funktionen, die du in dieser Aufgabe kennenlernst.

    Sei eine Funktion f:xsin(x)f: x\mapsto \sin(x), sowie eine Funktionenschar gn;0 n=0;1;2;g_{n;0} ~n =0;1;2;\ldots mit maximalen Definitionsbereichen gegeben. Außerdem seien die folgenden Funktionen der Schar bekannt:

    • g0;0:x0g_{0;0}: x \mapsto 0

    • g1;0:x0+x1g_{1;0}: x \mapsto 0+ x \cdot 1

    • g2;0:x0+x1g_{2;0}: x \mapsto 0 + x \cdot 1

    • g3;0:x0+x1+x3(1)6g_{3;0}:x\mapsto0+x\cdot1+\frac{x^3\cdot(-1)}{6}

    1. Zeige, dass für die gegebenen Scharfunktionen

      gilt, wobei f(k)(a)f^{(k)}(a) die kk-te Ableitung am Punkt aa ist und k!k! die Fakultät von kk angibt.

      Die Funktion gn;ag_{n;a} wird auch das nn-te Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle aa genannt und man schreibt gn;a(x)=Tnf(x;a)g_{n;a}(x)=T_nf(x;a).

    2. Gib den Funktionsterm von g5;0g_{5;0} an.

    3. In der folgenden Abbildung siehst du die Graphen der Funktionen f,g5;0,g9;0f, g_{5;0}, g_{9;0} und g20;0g_{20;0}. Beschreibe die Abbildung und erläutere das Verhalten der Taylorpolynome für nn \rightarrow \infty.

      Taylor
    4. Wie sieht die Taylorentwicklung an der Entwicklungsstelle a=0a=0 für die Funktion e:xexe: x \mapsto e^x aus? Gib den Term des nn-ten Taylorpolynoms an oder beschreibe dessen Aussehen.

    5. Gib die Taylorentwicklung der Funktion p:xx2p: x \mapsto x^2 an der Entwicklungsstelle a=0a=0 konkret an.

  2. 2

    Volumenberechnungen mit Integralen

    In der Schule lernst du das Berechnen von Flächen mittels Integralen kennen. Das Gleiche funktioniert aber auch eine Dimension höher. In Abbildung 1 siehst du einen Quader in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. Es gilt für die Koordinaten:

    A=(000),G=(242)A=(0|0|0), G=(-2|4|2).

    Image Title
    1. Berechne das Volumen des Quaders mit der Volumenformel.

      Betrachte nun in Abbildung 2 die Vorderseite des Quaders. Die Seite [EF][EF] ist der Graph der auf [0;4][0;4] definierten Funktion s:x22s: x_2 \mapsto 2.

      Bild
    2. Bestimme die Fläche der Quadervorderseite AVA_V durch integrieren.

      Nun wird das Bild "gedreht". In Abbildung 3 siehst du eine seitliche Ansicht des Quaders.

      Bild

      Die Vorstellung bei der Integration ist das schrittweise Ausfüllen der Fläche unter einem Graphen mit Strichen / Balken. Das Gleiche machst du jetzt mit der in die Zeichnung hineingehenden Fläche AVA_V, um den Quader "auszufüllen".

    3. Bestimme das Volumen VQV_Q des Quaders durch Integration mit dem Integranden AVA_V.

      Ausgehend vom Anfang ist die Volumenformel damit ein doppeltes Integral.

      Die Volumenformel für einen Zylinder mit Höhe hh und Grundflächenradius rr lautet VZ=0h0r2sπdsdxV_Z=\displaystyle \int_0^h \int_0^r2s\pi\operatorname{d}s\operatorname{d}x.

    4. Erkläre, warum diese Formel richtig ist. (Hinweis: Überlege dir, wie der Zylinder nach und nach durch Strecken, Kreise, Flächen o. ä. ausgefüllt wird)

      Betrachte jetzt die Volumenformel VK=rrxr2sπdsdx\displaystyle V_K= \int_{-r}^r\int_x^r2s\pi\operatorname{d}s\operatorname{d}x

    5. Das Volumen welchen Körpers KK wird mit dieser Formel berechnet?

    6. Zeige, dass VKV_K die richtigen Ergebnisse liefert, indem du VKV_K für r=1r=1 und r=2r=2 berechnest und mit dem Ergebnis der Volumenformel aus der Geometrie vergleichst.


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