Schwierigere und weiterführende Aufgaben

Setze für die gegebenen Scharfunktionen die Parameter ein und rechne die Summe aus.

$\begin{array}{rcl}{g}_{0;0}& =& {\sum }_{k=0}^0\frac{(x-0{)}^k{f}^{(k)}(0)}{k!}\\ & =& \frac{\stackrel{=1}{\overbrace{x^0}}\cdot \stackrel{=0}{\overbrace{f(0)}}}{\underset{=1}{\underbrace{0!}}}\\ & =& 0\end{array}$

$\begin{array}{rcl}{g}_{1;0}& =& {\sum }_{k=0}^1\frac{(x-0{)}^k{f}^{(k)}(0)}{k!}\\ & =& \frac{\stackrel{=1}{\overbrace{x^0}}\cdot \stackrel{=0}{\overbrace{f(0)}}}{\underset{=1}{\underbrace{0!}}}+\frac{\stackrel{=x}{\overbrace{x^1}}\cdot \stackrel{=\cos (0)=1}{\overbrace{f^{\prime }(0)}}}{\underset{=1}{\underbrace{1!}}}\\ & =& 0+x\end{array}$

$\begin{array}{rcl}{g}_{2;0}& =& {\sum }_{k=0}^2\frac{(x-0{)}^k{f}^{(k)}(0)}{k!}\\ & =& 0+x+\frac{x^2\cdot \stackrel{=-\sin (0)=0}{\overbrace{f^{\prime \prime }(0)}}}{\underset{=2}{\underbrace{2!}}}\\ & =& 0+x+0\end{array}$

$\begin{array}{rcl}{g}_{3;0}& =& {\sum }_{k=0}^3\frac{(x-0{)}^k{f}^{(k)}(0)}{k!}\\ & =& 0+x+\frac{x^3\cdot \stackrel{=-\cos (0)=-1}{\overbrace{f^{\prime \prime \prime }(0)}}}{\underset{=3\cdot 2\cdot 1=6}{\underbrace{3!}}}\\ & =& 0+x-\frac{x^3}{6}\end{array}$

Die Funktionsterme stimmen überein.

Für den Funktionsterm von $g_{5;0}$ benötigst du zusätzlich zu den Term von $g_{3;0}$ noch die Summanden für $k=4$ und $k=5$. Für die gilt:

$\begin{array}{ll}k=4:& {\displaystyle \frac{x^4\cdot \stackrel{=\sin (0)=0}{\overbrace{f^{(4)}(0)}}}{4!}}=0\\ & \\ k=5:& {\displaystyle \frac{x^5\cdot \stackrel{=\cos (0)=1}{\overbrace{f^{(5)}(0)}}}{\underset{=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120}{\underbrace{5!}}}}={\displaystyle \frac{x^5}{120}}\end{array}$

damit erhältst du für den gesuchten Term

$g_{5;0}(x)=x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}+{\displaystyle \frac{x^5}{120}}$

Für wachsende $n$ schmiegen sich die Graphen von $g_{n;0}$ in einem immer größer werdenden Intervall um die 0 an den Graph von $f$ an. Du kannst vermuten, dass für $n\to \infty$ die Taylorreihe $g_{\infty ;0}$ mit der Funktion $f$ identisch ist.

Nutze die Formel aus Teilaufgabe a) für die ersten Summanden:

$\begin{array}{rcl}{T}_{n}e(x;0)& =& {\sum }_{k=0}^n\frac{(x-0{)}^k{f}^{(k)}(0)}{k!}\\ & =& \frac{x^0\cdot \stackrel{=1}{\overbrace{e^0}}}{0!}+\frac{x^1\cdot e^0}{1!}+\frac{x^2\cdot e^0}{2!}+\frac{x^3\cdot e^0}{3!}+\dots \end{array}$

$${\displaystyle T_{n}e(x;0)=\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}}$$

Das $n$-te Taylorpolynom ist eine Summe von aufsteigenden $x$-Potenzen, jeweils dividiert durch die Fakultät des Exponenten.

Nutze wieder die Formel aus Teilaufgabe a):

$\begin{array}{rcl}{T}_{n}p(x;0)& =& {\sum }_{k=0}^n\frac{(x-0{)}^k{f}^{(k)}(0)}{k!}\\ & =& \frac{x^0\cdot 0^2}{0!}+\frac{x^1\cdot (2\cdot 0)}{1!}+\frac{x^2\cdot 2}{2!}+\frac{x^3\cdot 0}{3!}+\frac{x^4\cdot 0}{4!}+\dots \end{array}$

Da ab $k=3$ alle $k$-ten Ableitungen gleich 0 sind folgen nur noch Nuller als Summanden. Du erhältst als Lösung:

$${\displaystyle T_{n}p(x;0)=\frac{2x^2}{2}=x^2}$$

Die Taylorreihe ist also identisch mit der Ausgangsfunktion!

Die Volumenformel lautet "Länge mal Breite mal Höhe". Hier

$A_V={\int }_0^{4}2d{x}_2={\left[2x_2\right]}_0^4=8$

$V_Q=\left|{\int }_0^{-2}{A}_{V}d{x}_1\right|=\left|{\int }_0^{-2}8d{x}_1\right|=\left|{\left[8x_1\right]}_0^{-2}\right|=16$

Schritt 1: Der innere Teil $2s\pi$ ist die Formel für den Umfang eines Kreises mit Radius $\pi$. Bei der Integration über den Radius $s$ zeichnest du dann anschaulich für alle Radien $0\le s\le r$ einen Kreis. Mit diesen Kreisen füllst du nach und nach die komplette Fläche des Kreises mit Radius $r$ aus. Das innere Integral ${\int }_0^{r}2s\pi \mathrm{d}s$ gibt dir damit den Flächeninhalt der Zylindergrundfläche.

Schritt 2: Die erhaltene Kreisfläche legst du dann so oft übereinander, bis der ganze Zylinder ausgefüllt ist. Das entspricht dem Integral von $0$ bis $h$ über die Kreisfläche. Du erhältst das Zylindervolumen.

$V_K={\int }_{-r}^r{\int }_x^{r}2s\pi dsdx={\int }_{-r}^r{r}^2\pi -x^2\pi dx={[r^{2}x\pi -\frac{1}{3}{x}^3\pi ]}_{-r}^r$

$=r^3\pi -\frac{1}{3}{r}^3\pi -(-r^3\pi +\frac{1}{3}{r}^3\pi )=2r^3\pi -\frac{2}{3}{r}^3\pi =\frac{4}{3}{r}^3\pi$

$\Rightarrow$ Die Formel berechnet das Volumen einer Kugel.

Bemerkung: Sich das Ausfüllen der Kugel vorzustellen ist schwieriger, da nicht die normale Kugel ausgefüllt wird, sondern eine zwei Halbkugeln, die sich an im Ursprung an den Polen berühren und dann nach oben bzw. unten offen sind.

$V_{K;r=1}={\int }_{-1}^1{\int }_x^{1}2s\pi dsdx={\int }_{-1}^1\pi -x^2\pi dx={[\pi x-\frac{1}{3}{x}^3\pi ]}_{-1}^1$

$=\pi -\frac{1}{3}\pi +\pi -\frac{1}{3}\pi =\frac{4}{3}\pi$

$V_{K;r=2}={\int }_{-2}^2{\int }_x^{2}2s\pi dsdx={\int }_{-2}^{2}4\pi -x^2\pi dx={[4\pi x-\frac{1}{3}{x}^3\pi ]}_{-2}^2$

$=8\pi -\frac{8}{3}\pi +8\pi -\frac{8}{3}\pi =\frac{32}{3}\pi =\frac{4}{3}\cdot 2^3\pi$