Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

In einem Parkhaus befinden sich insgesamt 100 Parkplätze.

Im Parkhaus sind 20 Parkplätze frei; vier Autofahrer suchen jeweils einen Parkplatz. Formulieren Sie in diesem Sachzusammenhang zu den folgenden Termen jeweils eine Aufgabenstellung, deren Lösung sich durch den Term berechnen lässt. (3 BE)
$\ \alpha)20\cdot19\cdot18\cdot17$
β) $\def\arraystretch{1.25} \left( \begin{array}{ccc}20\\4 \end{array} \right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
$ α) $
Der Term beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten der Autofahrer, sich auf die 20 Parkplätze zu verteilen, wenn die Autofahrer unterschieden werden (Der erste Fahrer hat 20 Möglichkeiten, der zweite 19, usw.).
Die Aufgabenstellung könnte also lauten: "Berechnen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, auf die sich die Autofahrer auf die Parkplätze verteilen können, wenn zwischen den Autofahrern unterschieden wird."
$\beta )$
Der Binomialkoeffizient beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten, "4 Parkplätze aus einer Urne mit 20 Parkplätzen herauszugreifen". Hier wird also nicht zwischen den Autofahrern unterschieden, sondern es kommt nur darauf an, welche Parkplätze belegt werden.
Die Aufgabenstellung könnte lauten: "Berechnen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, auf die sich die Autofahrer auf die Parkplätze verteilen können, wenn zwischen den Autofahrern nicht unterschieden wird."
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Das Parkhaus ist nun mit 100 Autos besetzt, von denen 40 mit ESP ausgerüstet sind.
Sieben von diesen 100 Autos sind Kleinwagen und nicht mit ESP ausgerüstet, 90 sind keine Kleinwagen. Betrachtet werden folgende Ereignisse.
E: "Ein im Parkhaus zufällig ausgewähltes Auto ist mit ESP ausgerüstet."
K: "Bei einem im Parkhaus zufällig ausgewählten Auto handelt es sich um einen Kleinwagen."
Geben Sie die Bedeutung von $P_{K} (E)$ im Sachzusammenhang an und ermitteln Sie diese Wahrscheinlichhkeit. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
Zur Übersicht kannst du eine Vierfeldertafel anlegen.
Direkt aus der Aufgabenstellung kannst du folgende Informationen entnehmen:
$\;$
$K$
$\bar{K}$
$\;$
$E$
40
$\bar{E}$
7
90
100
Nun kannst du durch einfache Additionsrechnung alle anderen Werte ergänzen:
Ergebnis:
$\;$
$K$
$\bar{K}$
$\;$
$E$
3
37
40
$\bar{E}$
7
53
60
10
90
100
$P_{K} (E)$ ist die Wahrscheinlichkeit für $E$ unter der Bedingung $K$ , also im Sachzusammenhang die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kleinwagen ESP besitzt.
$P_{K} (E)$ ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit, die sich mit der Formel
$\displaystyle P_K(E)=\frac{P(K\cap E)}{P(K)}$
berechnen lässt.
Aus der Vierfeldertafel:
$P(K\cap E)=\frac{3}{100}=0{,}03$
$P(K)=\frac{10}{100}=0{,}1$
$\Longrightarrow\;\; P_K(E)=\frac{0{,}03}{0{,}1}=0{,}3$
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30 der im Parkhaus stehenden Autos werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter genau $40 %$ mit ESP ausgerüstet sind. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
Um diese Aufgabe zu lösen, musst du dir zuerst einmal überlegen, wie viele der 30 gewählten Autos ESP haben müssen, damit weiterhin $40 %$ mit ESP ausgerüstet sind.
Du rechnest also $0{,}4 \cdot 30 = 12$
Es sollen also 12 der 30 Autos ESP haben, um den Prozentsatz beizubehalten.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dies geschieht, berechnest du am besten mithilfe von Möglichkeiten. Sie entspricht nämlich dem Quotienten aus der Anzahl der Möglichkeiten, 30 Autos zu wählen, von denen 12 ESP haben, durch die Anzahl der Möglichkeiten, beliebige 30 Autos zu wählen.
Die Zahl dieser Möglichkeiten musst du nun also berechnen:
Zunächst die Anzahl der Möglichkeiten, 30 beliebige aus den 100 Autos zu wählen:
Bereits gewählte Autos können natürlich nicht nochmals gewählt werden. Es wird also ohne zurücklegen gewählt und du kannst den Binomialkoeffizienten verwenden:
$\dbinom{100}{30}$
Als nächstes die Anzahl der Möglichkeiten, 30 aus den 100 Autos zu wählen, von denen genau 12 Autos ESP haben:
Hierfür musst du dir überlegen, dass dafür in jedem Fall 12 aus den 40 Autos mit ESP und 18 aus den 60 Autos ohne ESP ausgewählt werden müssen. Die jeweilige Anzahl der Möglichkeiten ergibt sich jeweils wieder mit dem Binomialkoeffizienten.
Und die beiden Binomialkoeffizienten musst du mit einer Multiplikation verknüpfen, da jede beliebige Wahl der 12 Autos mit ESP mit jeder beliebigen Wahl der 18 Autos ohne ESP zusammentreffen kann. Es ergibt sich also:
$\dbinom{40}{12} \cdot \dbinom{60}{18}$
Damit kannst du nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:
$P("genau\ 12\ haben\ ESP") = \frac{\dbinom{40}{12} \cdot \dbinom{60}{18}}{\dbinom{100}{30}} \approx 0{,}1759$
Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 12 der 30 gewählten Autos ESP haben, beträgt also ungefähr $17{,}59\ \%$ .
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$\;$	$K$	$\bar{K}$	$\;$
$E$			40
$\bar{E}$	7
		90	100

$\;$	$K$	$\bar{K}$	$\;$
$E$	3	37	40
$\bar{E}$	7	53	60
	10	90	100

Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

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β)\beta )β)

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$ α) $

$\beta )$