Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Das elektronische Stabilitätsprogramm (ESP) eines Autos kann Schleuderbewegungen und damit Unfälle verhindern.

Gehen Sie bei den folgenden Aufgaben davon aus, dass 40% aller Autos mit ESP ausgerüstet sind.

200 Autos werden nacheinander zufällig ausgewählt; die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der ausgewählten Autos mit ESP.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den ausgewählten Autos mindestens 70 mit ESP ausgerüstet sind. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette
Es handelt sich in der Aufgabe um eine Bernoulli-Kette der Länge 200, da es nur zwei Ergebnisse (ESP oder kein ESP) gibt und das Experiment 200-mal in voneinander unabhängigen Durchgängen durchgeführt wird.
Die Wahrscheinlichkeit $P(X\ge 70)$ kann umgeschrieben werden als $1-P(X\le 69)$ . Den Wert für $P(X\le 69)$ kannst du dem Tafelwerk der Stochastik entnehmen.
$\displaystyle P(X≥70)$ $=$ $\displaystyle 1-P(X≤69)$
$=$ $\displaystyle 1−0{,}0639$
$=$ $\displaystyle 0{,}9361$
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Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse.

A: "Das fünfte ausgewählte Auto ist das erste mit ESP."

B: "Die Zufallsgröße $X$ nimmt einen Wert an, der von ihrem Erwartungswert höchstens um eine Standardabweichung abweicht." (7 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette

Du benötigst außerdem folgendes Grundwissen: Gegenwahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Standardabweichung.

P(A)

Hier handelt es sich nicht um eine Bernoulli-Kette, weil es auf die Reihenfolge, in der die Autos ausgewählt werden, ankommt. $P(A)$ berechnest du, indem du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Elemente miteinander multiplizierst.

Die ersten vier Autos dürfen kein ESP besitzen, für jedes einzelne davon beträgt die Wahrscheinlichkeit $1-0{,}4=0{,}6$ (Gegenwahrscheinlichkeit von "das Auto besitzt ESP"). Das fünfte Auto hat hingegen die Wahrscheinlichkeit $0{,}4$ zugeordnet, weil es ESP besitzen muss.

$\displaystyle P(A)$	$=$	$\displaystyle 0{,}6⋅0{,}6⋅0{,}6⋅0{,}6⋅0{,}4$
	$=$	$\displaystyle 0{,}6^4\cdot0{,}4$
	$=$	$\displaystyle 0{,}05184$

Das Ergebnis ist $P(A)=5{,}2\ \%$

P(B)

Berechne zunächst den Erwartungswert und die Standardabweichung der Bernoulli-Kette.

Erwartungswert:

$\displaystyle μ$	$=$	$\displaystyle n⋅p$
	$=$	$\displaystyle 200⋅0{,}4$
	$=$	$\displaystyle 80$

Standardabweichung:

$\displaystyle σ$	$=$	$\displaystyle \sqrt{n\cdot{p}\cdot(1-p)}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{200\cdot0{,}4\cdot0{,}6}$
	$≈$	$\displaystyle 6{,}9$

Nun soll die Zufallsgröße $X$ höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen, also: $\mu -\sigma\le X\le\mu +\sigma$ . Beachte, dass du bei $X\le$ (also die rechte Zahl) auf die nächstkleinere ganze Zahl abrunden musst, um den Wert im Tafelwerk nachsehen zu können. Bei $\le X$ (die linke Zahl) musst du hingegen auf die nächste ganze Zahl aufrunden, weil $X$ größer sein soll.

$\displaystyle P(B)$	$=$	$\displaystyle P(μ−σ\le X\leμ+σ)$
	$=$	$\displaystyle P(73{,}1\le X\le86{,}9)$
	$=$	$\displaystyle P(74\le X\le86)$

Durch Umformungen erhältst du Formeln, die du im Tafelwerk nachschlagen kannst.

$\displaystyle P(74\le X\le86)$	$=$	$\displaystyle P(X\le86)−P(X\le73)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}8261−0{,}1742$
	$=$	$\displaystyle 0{,}6519$

Das Ergebnis ist $P(B)=65\ \%$

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2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
In einem Parkhaus befinden sich insgesamt 100 Parkplätze.
1. Im Parkhaus sind 20 Parkplätze frei; vier Autofahrer suchen jeweils einen Parkplatz. Formulieren Sie in diesem Sachzusammenhang zu den folgenden Termen jeweils eine Aufgabenstellung, deren Lösung sich durch den Term berechnen lässt. (3 BE)
  $\ \alpha)20\cdot19\cdot18\cdot17$
  β) $\def\arraystretch{1.25} \left( \begin{array}{ccc}20\\4 \end{array} \right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
  $α)$
  Der Term beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten der Autofahrer, sich auf die 20 Parkplätze zu verteilen, wenn die Autofahrer unterschieden werden (Der erste Fahrer hat 20 Möglichkeiten, der zweite 19, usw.).
  Die Aufgabenstellung könnte also lauten: "Berechnen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, auf die sich die Autofahrer auf die Parkplätze verteilen können, wenn zwischen den Autofahrern unterschieden wird."
  $\beta )$
  Der Binomialkoeffizient beschreibt die Anzahl der Möglichkeiten, "4 Parkplätze aus einer Urne mit 20 Parkplätzen herauszugreifen". Hier wird also nicht zwischen den Autofahrern unterschieden, sondern es kommt nur darauf an, welche Parkplätze belegt werden.
  Die Aufgabenstellung könnte lauten: "Berechnen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, auf die sich die Autofahrer auf die Parkplätze verteilen können, wenn zwischen den Autofahrern nicht unterschieden wird."
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2. Das Parkhaus ist nun mit 100 Autos besetzt, von denen 40 mit ESP ausgerüstet sind.
  Sieben von diesen 100 Autos sind Kleinwagen und nicht mit ESP ausgerüstet, 90 sind keine Kleinwagen. Betrachtet werden folgende Ereignisse.
  E: "Ein im Parkhaus zufällig ausgewähltes Auto ist mit ESP ausgerüstet."
  K: "Bei einem im Parkhaus zufällig ausgewählten Auto handelt es sich um einen Kleinwagen."
  Geben Sie die Bedeutung von $P_K(E)$ im Sachzusammenhang an und ermitteln Sie diese Wahrscheinlichhkeit. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vierfeldertafel
  Zur Übersicht kannst du eine Vierfeldertafel anlegen.
  Direkt aus der Aufgabenstellung kannst du folgende Informationen entnehmen:
  $\;$
  $K$
  $\bar{K}$
  $\;$
  $E$
  40
  $\bar{E}$
  7
  90
  100
  Nun kannst du durch einfache Additionsrechnung alle anderen Werte ergänzen:
  Ergebnis:
  $\;$
  $K$
  $\bar{K}$
  $\;$
  $E$
  3
  37
  40
  $\bar{E}$
  7
  53
  60
  10
  90
  100
  $P_K(E)$ ist die Wahrscheinlichkeit für $E$ unter der Bedingung $K$ , also im Sachzusammenhang die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kleinwagen ESP besitzt.
  $P_K(E)$ ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit, die sich mit der Formel
  berechnen lässt.
  Aus der Vierfeldertafel:
  $P(K\cap E)=\frac{3}{100}=0{,}03$
  $P(K)=\frac{10}{100}=0{,}1$
  $\Longrightarrow\;\; P_K(E)=\frac{0{,}03}{0{,}1}=0{,}3$
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3. 30 der im Parkhaus stehenden Autos werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter genau $40\ \%$ mit ESP ausgerüstet sind. (4 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialkoeffizient
  Um diese Aufgabe zu lösen, musst du dir zuerst einmal überlegen, wie viele der 30 gewählten Autos ESP haben müssen, damit weiterhin $40\ \%$ mit ESP ausgerüstet sind.
  Du rechnest also $0{,}4 \cdot 30 = 12$
  Es sollen also 12 der 30 Autos ESP haben, um den Prozentsatz beizubehalten.
  Die Wahrscheinlichkeit, dass dies geschieht, berechnest du am besten mithilfe von Möglichkeiten. Sie entspricht nämlich dem Quotienten aus der Anzahl der Möglichkeiten, 30 Autos zu wählen, von denen 12 ESP haben, durch die Anzahl der Möglichkeiten, beliebige 30 Autos zu wählen.
  Die Zahl dieser Möglichkeiten musst du nun also berechnen:
  Zunächst die Anzahl der Möglichkeiten, 30 beliebige aus den 100 Autos zu wählen:
  Bereits gewählte Autos können natürlich nicht nochmals gewählt werden. Es wird also ohne zurücklegen gewählt und du kannst den Binomialkoeffizienten verwenden:
  $\dbinom{100}{30}$
  Als nächstes die Anzahl der Möglichkeiten, 30 aus den 100 Autos zu wählen, von denen genau 12 Autos ESP haben:
  Hierfür musst du dir überlegen, dass dafür in jedem Fall 12 aus den 40 Autos mit ESP und 18 aus den 60 Autos ohne ESP ausgewählt werden müssen. Die jeweilige Anzahl der Möglichkeiten ergibt sich jeweils wieder mit dem Binomialkoeffizienten.
  Und die beiden Binomialkoeffizienten musst du mit einer Multiplikation verknüpfen, da jede beliebige Wahl der 12 Autos mit ESP mit jeder beliebigen Wahl der 18 Autos ohne ESP zusammentreffen kann. Es ergibt sich also:
  $\dbinom{40}{12} \cdot \dbinom{60}{18}$
  Damit kannst du nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen:
  $P("genau\ 12\ haben\ ESP") = \frac{\dbinom{40}{12} \cdot \dbinom{60}{18}}{\dbinom{100}{30}} \approx 0{,}1759$
  Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 12 der 30 gewählten Autos ESP haben, beträgt also ungefähr $17{,}59\ \%$ .
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$\;$	$K$	$\bar{K}$	$\;$
$E$			40
$\bar{E}$	7
		90	100

$\;$	$K$	$\bar{K}$	$\;$
$E$	3	37	40
$\bar{E}$	7	53	60
	10	90	100

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle P(X≥70)$	$=$	$\displaystyle 1-P(X≤69)$
	$=$	$\displaystyle 1−0{,}0639$
	$=$	$\displaystyle 0{,}9361$

Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

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P(A)

P(B)

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﻿α)﻿﻿α)﻿ ﻿α)﻿

β)\beta )β)

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$α)$

$\beta )$