Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 1

Das elektronische Stabilitätsprogramm (ESP) eines Autos kann Schleuderbewegungen und damit Unfälle verhindern.

Gehen Sie bei den folgenden Aufgaben davon aus, dass 40% aller Autos mit ESP ausgerüstet sind.

200 Autos werden nacheinander zufällig ausgewählt; die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der ausgewählten Autos mit ESP.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den ausgewählten Autos mindestens 70 mit ESP ausgerüstet sind. (3 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette
Es handelt sich in der Aufgabe um eine Bernoulli-Kette der Länge 200, da es nur zwei Ergebnisse (ESP oder kein ESP) gibt und das Experiment 200-mal in voneinander unabhängigen Durchgängen durchgeführt wird.
Die Wahrscheinlichkeit $P(X\ge 70)$ kann umgeschrieben werden als $1-P(X\le 69)$ . Den Wert für $P(X\le 69)$ kannst du dem Tafelwerk der Stochastik entnehmen.
$\displaystyle P(X≥70)$ $=$ $\displaystyle 1-P(X≤69)$
$=$ $\displaystyle 1−0{,}0639$
$=$ $\displaystyle 0{,}9361$
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Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse.

A: "Das fünfte ausgewählte Auto ist das erste mit ESP."

B: "Die Zufallsgröße $X$ nimmt einen Wert an, der von ihrem Erwartungswert höchstens um eine Standardabweichung abweicht." (7 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bernoulli-Kette

Du benötigst außerdem folgendes Grundwissen: Gegenwahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Standardabweichung.

P(A)

Hier handelt es sich nicht um eine Bernoulli-Kette, weil es auf die Reihenfolge, in der die Autos ausgewählt werden, ankommt. $P(A)$ berechnest du, indem du die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Elemente miteinander multiplizierst.

Die ersten vier Autos dürfen kein ESP besitzen, für jedes einzelne davon beträgt die Wahrscheinlichkeit $1-0{,}4=0{,}6$ (Gegenwahrscheinlichkeit von "das Auto besitzt ESP"). Das fünfte Auto hat hingegen die Wahrscheinlichkeit $0{,}4$ zugeordnet, weil es ESP besitzen muss.

$\displaystyle P(A)$	$=$	$\displaystyle 0{,}6⋅0{,}6⋅0{,}6⋅0{,}6⋅0{,}4$
	$=$	$\displaystyle 0{,}6^4\cdot0{,}4$
	$=$	$\displaystyle 0{,}05184$

Das Ergebnis ist $P(A)=5{,}2\ \%$

P(B)

Berechne zunächst den Erwartungswert und die Standardabweichung der Bernoulli-Kette.

Erwartungswert:

$\displaystyle μ$	$=$	$\displaystyle n⋅p$
	$=$	$\displaystyle 200⋅0{,}4$
	$=$	$\displaystyle 80$

Standardabweichung:

$\displaystyle σ$	$=$	$\displaystyle \sqrt{n\cdot{p}\cdot(1-p)}$
	$=$	$\displaystyle \sqrt{200\cdot0{,}4\cdot0{,}6}$
	$≈$	$\displaystyle 6{,}9$

Nun soll die Zufallsgröße $X$ höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen, also: $\mu -\sigma\le X\le\mu +\sigma$ . Beachte, dass du bei $X\le$ (also die rechte Zahl) auf die nächstkleinere ganze Zahl abrunden musst, um den Wert im Tafelwerk nachsehen zu können. Bei $\le X$ (die linke Zahl) musst du hingegen auf die nächste ganze Zahl aufrunden, weil $X$ größer sein soll.

$\displaystyle P(B)$	$=$	$\displaystyle P(μ−σ\le X\leμ+σ)$
	$=$	$\displaystyle P(73{,}1\le X\le86{,}9)$
	$=$	$\displaystyle P(74\le X\le86)$

Durch Umformungen erhältst du Formeln, die du im Tafelwerk nachschlagen kannst.

$\displaystyle P(74\le X\le86)$	$=$	$\displaystyle P(X\le86)−P(X\le73)$
	$=$	$\displaystyle 0{,}8261−0{,}1742$
	$=$	$\displaystyle 0{,}6519$

Das Ergebnis ist $P(B)=65\ \%$

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$\displaystyle P(X≥70)$	$=$	$\displaystyle 1-P(X≤69)$
	$=$	$\displaystyle 1−0{,}0639$
	$=$	$\displaystyle 0{,}9361$