Für die Bestimmung des Abstandes zweier Punkte ist der Betrag des Differenzvektors zu berechnen - Stichwort: Pythagoras!

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} d(B,F) &= \\ &= \left|\overrightarrow{BF}\right| \\ &= \left|\vec{f}-\vec{b}\right| \end{aligned}$

Spätestens jetzt müssen die Koordinaten von $F$ geklärt werden: Da es sich um eine gerades Prisma handelt, befindet sich der Punkt $F$ 4 Längeneinheiten in $x_3$-Richtung über Punkt $C$, daher sind die Koordinaten von $F$: $(0|8|4)$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} d(B,F) &= \left|\begin{pmatrix}0\\8\\4\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}8\\0\\0\end{pmatrix}\right| \\ &= \left|\begin{pmatrix}-8\\8\\4\end{pmatrix}\right| \\ &= \sqrt{(-8)^2+8^2+4^2} =\sqrt{144}\\ &= 12\end{aligned}$

Rechtwinkligkeit zwischen zwei Vektoren, weist man am einfachsten nach, in dem man zeigt, dass das entsprechende Skalarprodukt den Wert 0 hat!

Die beiden Schenkel $\overrightarrow{MK}$ und $\overrightarrow{MP}$ werden wie schon in Teilaufgabe a) als Differenvektoren berechnet. Somit ist nun also der Ansatz:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} \begin{pmatrix}0-0\\y_k-0\\4-2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4-0\\4-0\\0-2\end{pmatrix} &= 0 \\ \begin{pmatrix}0-0\\y_k-0\\4-2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4-0\\4-0\\0-2\end{pmatrix} &= 0 \\ \begin{pmatrix}0\\y_k\\2\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}4\\4\\-2\end{pmatrix} &= 0 \\ 4y_k-4&=0 \\ y_k&=1\end{aligned}$

Wenn der Punkt $K$ die Koordinaten $(0|1|4)$ hat, hat das Dreieck $KMP$ bei $M$ einen rechten Winkel!