Für die Bestimmung des Abstandes zweier Punkte ist der Betrag des Differenzvektors zu berechnen - Stichwort: Pythagoras!

$\begin{array}{rl}d(B,F)& =\\ & =\left|\overrightarrow{BF}\right|\\ & =|\overrightarrow{f}-\overrightarrow{b}|\end{array}$

Spätestens jetzt müssen die Koordinaten von $F$ geklärt werden: Da es sich um eine gerades Prisma handelt, befindet sich der Punkt $F$ 4 Längeneinheiten in $x_3$-Richtung über Punkt $C$, daher sind die Koordinaten von $F$: $(0|8|4)$.

$\begin{array}{rl}d(B,F)& =|\left(\begin{array}{c}0\\ 8\\ 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}8\\ 0\\ 0\end{array}\right)|\\ & =\left|\left(\begin{array}{c}-8\\ 8\\ 4\end{array}\right)\right|\\ & =\sqrt{(-8{)}^2+8^2+4^2}=\sqrt{144}\\ & =12\end{array}$

Rechtwinkligkeit zwischen zwei Vektoren, weist man am einfachsten nach, in dem man zeigt, dass das entsprechende Skalarprodukt den Wert 0 hat!

Die beiden Schenkel $\overrightarrow{MK}$ und $\overrightarrow{MP}$ werden wie schon in Teilaufgabe a) als Differenvektoren berechnet. Somit ist nun also der Ansatz:

$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}0-0\\ y_k-0\\ 4-2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}4-0\\ 4-0\\ 0-2\end{array}\right)& =0\\ \left(\begin{array}{c}0-0\\ y_k-0\\ 4-2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}4-0\\ 4-0\\ 0-2\end{array}\right)& =0\\ \left(\begin{array}{c}0\\ y_k\\ 2\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ -2\end{array}\right)& =0\\ 4y_k-4& =0\\ y_k& =1\end{array}$

Wenn der Punkt $K$ die Koordinaten $(0|1|4)$ hat, hat das Dreieck $KMP$ bei $M$ einen rechten Winkel!