Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas $ABCDEFGH$ wobei $[AC]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll. Für die Zeichnung: $q = \frac{1}{2}; \; \omega =45^{\circ}$ Die Strecken $[EG]$ und $[FH]$ schneiden sich im Punkt $L$. Berechnen Sie das Maß des Winkels $LCK$. [Ergebnis: $\sphericalangle LCK = 36{,}87^{\circ}$]

(3 Punkte)

Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[LC]$. Die Winkel $CKP_n$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi \in ] 0^{\circ}; 90^{\circ} [$. Die Punkte $P_n$ sind zusammen mit den Punkten $B$ und $D$ die Eckpunkte gleichschenkliger Dreiecke $BDP_n$ mit der Basis $[BD]$. Zeichnen Sie das Dreieck $BDP_1$ sowie die Strecke $[KP_1]$ für $\varphi = 78^{\circ}$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein. Begründen Sie sodann, dass keines der Dreiecke $BDP_n$ gleichseitig ist.

(3 Punkte)

Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken $[KP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt:

$\overline{KP_n}(\varphi) = \dfrac{4{,}80}{\text{sin} (\varphi+36{,}87^{\circ})} \, \text{cm}$

Die Länge der Strecke $[KP_0]$ ist minimal. Geben Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$ an.

(3 Punkte)

Die Punkte $P_n$ sind die Spitzen von Pyramiden $ABCDP_n$ mit der Grundfläche $ABCD$ und den Höhen $[P_nQ_n]$. Die Punkte $Q_n$ liegen auf der Strecke $[KC]$. Zeichnen Sie die Pyramide $ABCDP_1$ und die Höhe $[P_1Q_1]$ in das Schrägbild zu B 2.1 ein. Ermitteln Sie sodann durch Rechnung das Volumen $V$der Pyramiden $ABCDP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$.

$\left[ \text{Ergebnis: } V(\varphi)= \dfrac{96 \cdot \text{sin}\varphi}{\text{sin}(\varphi + 36{,}87^{\circ})}\right]$

(3 Punkte)

Das Volumen der Pyramide $ABCDP_2$ beträgt $96 \, \text{cm}^3$. Berechnen Sie das zugehörige Maß für $\varphi$.

(3 Punkte)

Begründen Sie, dass die Volumina der Pyramiden $ABDP_n$ mit der Grundfläche $ABD$ und der Pyramiden $BCDP_n$ mit der Grundfläche $BCD$ stets im Verhältnis $1:2$ stehen.

(2 Punkte)