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Die Diagonalen [AC] und [BD] des Drachenvierecks ABCD schneiden sich im Punkt K. Das Drachenviereck ABCD ist die Grundfläche des geraden Prismas ABCDEFGH. Der Punkt E liegt senkrecht über dem Punkt A. Es gilt: AC=12cm;BD=10cm;AK=4cm;AE=6cm.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

  1. Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas ABCDEFGH wobei [AC] auf der Schrägbildachse und der Punkt A links vom Punkt C liegen soll. Für die Zeichnung: q=12;ω=45 Die Strecken [EG] und [FH] schneiden sich im Punkt L. Berechnen Sie das Maß des Winkels LCK. [Ergebnis: LCK=36,87]

    (3 Punkte)

  2. Punkte Pn liegen auf der Strecke [LC]. Die Winkel CKPn haben das Maß φ mit φ]0;90[. Die Punkte Pn sind zusammen mit den Punkten B und D die Eckpunkte gleichschenkliger Dreiecke BDPn mit der Basis [BD]. Zeichnen Sie das Dreieck BDP1 sowie die Strecke [KP1] für φ=78 in das Schrägbild zu B 2.1 ein. Begründen Sie sodann, dass keines der Dreiecke BDPn gleichseitig ist.

    (3 Punkte)

  3. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [KPn] in Abhängigkeit von φ gilt:

    KPn(φ)=4,80sin(φ+36,87)cm

    Die Länge der Strecke [KP0] ist minimal. Geben Sie den zugehörigen Wert für φ an.

    (3 Punkte)

  4. Die Punkte Pn sind die Spitzen von Pyramiden ABCDPn mit der Grundfläche ABCD und den Höhen [PnQn]. Die Punkte Qn liegen auf der Strecke [KC]. Zeichnen Sie die Pyramide ABCDP1 und die Höhe [P1Q1] in das Schrägbild zu B 2.1 ein. Ermitteln Sie sodann durch Rechnung das Volumen Vder Pyramiden ABCDPn in Abhängigkeit von φ.

    [Ergebnis: V(φ)=96sinφsin(φ+36,87)]

    (3 Punkte)

  5. Das Volumen der Pyramide ABCDP2 beträgt 96cm3. Berechnen Sie das zugehörige Maß für φ.

    (3 Punkte)

  6. Begründen Sie, dass die Volumina der Pyramiden ABDPn mit der Grundfläche ABD und der Pyramiden BCDPn mit der Grundfläche BCD stets im Verhältnis 1:2 stehen.

    (2 Punkte)