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Die Diagonalen [AC][AC] und [BD][BD] des Drachenvierecks ABCDABCD schneiden sich im Punkt KK. Das Drachenviereck ABCDABCD ist die Grundfläche des geraden Prismas ABCDEFGHABCDEFGH. Der Punkt EE liegt senkrecht über dem Punkt AA. Es gilt: AC=12cm;  BD=10cm;  AK=4cm;  AE=6cm\overline{AC}=12 \, \text{cm}; \; \overline{BD}=10 \, \text{cm}; \; \overline{AK} = 4 \, \text{cm}; \; \overline{AE} = 6 \, \text{cm}.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

  1. Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas ABCDEFGHABCDEFGH wobei [AC][AC] auf der Schrägbildachse und der Punkt AA links vom Punkt CC liegen soll. Für die Zeichnung: q=12;  ω=45q = \frac{1}{2}; \; \omega =45^{\circ} Die Strecken [EG][EG] und [FH][FH] schneiden sich im Punkt LL. Berechnen Sie das Maß des Winkels LCKLCK. [Ergebnis: LCK=36,87\sphericalangle LCK = 36{,}87^{\circ}]

    (3 Punkte)

  2. Punkte PnP_n liegen auf der Strecke [LC][LC]. Die Winkel CKPnCKP_n haben das Maß φ\varphi mit φ]0;90[\varphi \in ] 0^{\circ}; 90^{\circ} [. Die Punkte PnP_n sind zusammen mit den Punkten BB und DD die Eckpunkte gleichschenkliger Dreiecke BDPnBDP_n mit der Basis [BD][BD]. Zeichnen Sie das Dreieck BDP1BDP_1 sowie die Strecke [KP1][KP_1] für φ=78\varphi = 78^{\circ} in das Schrägbild zu B 2.1 ein. Begründen Sie sodann, dass keines der Dreiecke BDPnBDP_n gleichseitig ist.

    (3 Punkte)

  3. Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken [KPn][KP_n] in Abhängigkeit von φ\varphi gilt:

    KPn(φ)=4,80sin(φ+36,87)cm\overline{KP_n}(\varphi) = \dfrac{4{,}80}{\text{sin} (\varphi+36{,}87^{\circ})} \, \text{cm}

    Die Länge der Strecke [KP0][KP_0] ist minimal. Geben Sie den zugehörigen Wert für φ\varphi an.

    (3 Punkte)

  4. Die Punkte PnP_n sind die Spitzen von Pyramiden ABCDPnABCDP_n mit der Grundfläche ABCDABCD und den Höhen [PnQn][P_nQ_n]. Die Punkte QnQ_n liegen auf der Strecke [KC][KC]. Zeichnen Sie die Pyramide ABCDP1ABCDP_1 und die Höhe [P1Q1][P_1Q_1] in das Schrägbild zu B 2.1 ein. Ermitteln Sie sodann durch Rechnung das Volumen VVder Pyramiden ABCDPnABCDP_n in Abhängigkeit von φ\varphi.

    [Ergebnis: V(φ)=96sinφsin(φ+36,87)]\left[ \text{Ergebnis: } V(\varphi)= \dfrac{96 \cdot \text{sin}\varphi}{\text{sin}(\varphi + 36{,}87^{\circ})}\right]

    (3 Punkte)

  5. Das Volumen der Pyramide ABCDP2ABCDP_2 beträgt 96cm396 \, \text{cm}^3. Berechnen Sie das zugehörige Maß für φ\varphi.

    (3 Punkte)

  6. Begründen Sie, dass die Volumina der Pyramiden ABDPnABDP_n mit der Grundfläche ABDABD und der Pyramiden BCDPnBCDP_n mit der Grundfläche BCDBCD stets im Verhältnis 1:21:2 stehen.

    (2 Punkte)