Die Eigenschaft $\mathrm{\mid }f(x)\mathrm{\mid }\le \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}|f(x)|\; \backslash leq\; |x|\; ~\backslash forall\; x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ bedeutet, dass der Wert der gesuchten Funktion $ff$ immer zwischen den beiden Winkelhalbierenden $y=xy=x$ und $y=-xy=-x$ liegen muss. Insbesondere gilt das für $x=0x=0$. Damit weißt du: $f(0)=0f(0)=0$. Um zu verhindern, dass die Funktion $ff$ irgendwo den Bereich verlässt, verwendest du am besten ein Funktion, die eine Steigung hat, die kleiner ist, als die Steigung von $y=xy=x$ (die ist 1) und größer als die Steigung von $y=-xy=-x$ (die ist -1).

Variante 1:

Eine Funktion, die immer zwischen -1 und 1 liegt, ist der Kosinus. Verwendest du den Kosinus als Steigung, dann ist die Stammfunktion des Kosinus, die durch $(0\mathrm{\mid }0)(0|0)$ geht, die gesuchte Funktion:

$f(x)=\sin (x)f(x)=\backslash sin(x)$

Variante 2:

Du kannst auch den Bereich für die Steigung noch weiter einschränken, z. B. auf $]0;1[]0;1[$. Das ist der Wertebereich der Funktion $g:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}g:\; x\backslash mapsto\; \backslash dfrac\{1\}\{1+x^2\}$ (Da der Nenner immer größer ist als der Zähler, wird der Funktionswert nie größer als 1 und da $x^{2}x^2$ immer positiv ist, wird der Funktionswert nie kleiner als 0).

Wieder ist diejenige Stammfunktion von $gg$, die durch $(0\mathrm{\mid }0)(0|0)$ geht die gesuchte Funktion. Eine Stammfunktion findest du möglicherweise in einer Formelsammlung:

$f(x)=\arctan (x)f(x)=\backslash arctan(x)$

Anschauung