Die Eigenschaft $|f(x)|\le |x|\forall x\in ℝ$ bedeutet, dass der Wert der gesuchten Funktion $f$ immer zwischen den beiden Winkelhalbierenden $y=x$ und $y=-x$ liegen muss. Insbesondere gilt das für $x=0$. Damit weißt du: $f(0)=0$. Um zu verhindern, dass die Funktion $f$ irgendwo den Bereich verlässt, verwendest du am besten ein Funktion, die eine Steigung hat, die kleiner ist, als die Steigung von $y=x$ (die ist 1) und größer als die Steigung von $y=-x$ (die ist -1).

Variante 1:

Eine Funktion, die immer zwischen -1 und 1 liegt, ist der Kosinus. Verwendest du den Kosinus als Steigung, dann ist die Stammfunktion des Kosinus, die durch $(0|0)$ geht, die gesuchte Funktion:

$f(x)=\sin (x)$

Variante 2:

Du kannst auch den Bereich für die Steigung noch weiter einschränken, z. B. auf $]0;1[$. Das ist der Wertebereich der Funktion $g:x\mapsto {\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$ (Da der Nenner immer größer ist als der Zähler, wird der Funktionswert nie größer als 1 und da $x^2$ immer positiv ist, wird der Funktionswert nie kleiner als 0).

Wieder ist diejenige Stammfunktion von $g$, die durch $(0|0)$ geht die gesuchte Funktion. Eine Stammfunktion findest du möglicherweise in einer Formelsammlung:

$f(x)=\arctan (x)$

Anschauung