Gemischte Aufgaben zu Funktionen

Hier findest du gemischte Aufgaben zu Funktionen. Lerne, Graphen zu skizzieren, Funktionsterme zu bestimmen und weitere Größen von Funktionen zu berechnen!

1
Gib den Term einer Funktion $f$ an, die folgende Bedingungen erfüllt.
1. Die Funktion geht für $x \rightarrow 1$ gegen $-\infty$ ;
  der Graph der Funktion ist streng monoton steigend;
  die Funktion ist stetig.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Logarithmusfunktion
  Um es sich möglichst einfach zu machen, kann man auf eine bekannte Funktion mit ähnlichen Eigenschaften zurückgreifen. Zum Beispiel ist der natürliche Logarithmus $\ln$ stetig und streng monoton steigend. Es gilt außerdem $\lim_{x \to 0} \ln(x) = - \infty$
  Man kann den Logarithmus also verschieben, um $f(x)=\ln(x-1)$ zu erhalten. $f$ hat die gewünschten Eigenschaften.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2
Gegeben ist der Graph der Funktion $f(x)$ . Skizziere den Graphen der Funktion $g(x)$ .
1. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $g\left(x\right)=\frac12f\left(x\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  $g\left(x\right)=\frac12f\left(x\right)$
  Lese zuerst den Scheitel von $f(x)$ ab.
  $S(1;-1)$
  Schreibe die Funktion $f(x)$ in Scheitelform.
  Bemerkung: Die Scheitelform wird noch für die nächsten Teilaufgaben benötigt. Also reicht es die an dieser Stelle zu bestimmen und in den anderen Teilaufgaben auf die hier getätigten Umformungsschritte zu verweisen.
  $f\left(x\right)=\left(x-1\right)^2-1$
  Bestimme nun $g(x)$ .
  $g\left(x\right)=\frac12\cdot f(x)=\frac12\left[\left(x-1\right)^2-1\right]$
  $\phantom{g(x)}$ $=\frac12\left(x-1\right)^2-\frac12$
  Zeichne den Graphen.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $g\left(x\right)=-2\cdot f\left(x\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  $g\left(x\right)=-2\cdot f\left(x\right)$
  Lese zuerst den Scheitel von $f(x)$ ab.
  $S(1;-1)$
  Schreibe die Funktion $f(x)$ in Scheitelform.
  $f\left(x\right)=\left(x-1\right)^2-1$
  Bestimme nun $g(x)$ .
  $g\left(x\right)=-2\left[\left(x-1\right)^2-1\right]$
  $\phantom{g\left(x\right)}=-2\left(x-1\right)^2+2$
  Zeichne den Graphen.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $g\left(x\right)=f\left(x\right)+1{,}5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  $g\left(x\right)=f\left(x\right)+1{,}5$
  Mit $f\left(x\right)=\left(x-1\right)^2-1$ gilt für $g(x)$ :
  $g\left(x\right)=\left(x-1\right)^2-1+1{,}5$
  $\phantom{g(x)}$ $=\left(x-1\right)^2+0{,}5$
  Zeichne den Graphen.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  $g\left(x\right)=\left[f\left(x\right)\right]^2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynome
  $g\left(x\right)=\left[f\left(x\right)\right]^2$
  Bestimme $g(x)$ aus der Scheitelpunktsform von $f(x)=(x-1)^2-1$ .
  $g\left(x\right)=\left[\left(x-1\right)^2-1\right]^2\\\phantom{g(x)}=[x^2-2x+1-1]^2\\\phantom{g(x)}=[x^2-2x]^2\\\phantom{g(x)}=x^4-4x^3+4x^2$
  Zeichne den Graphen.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Welcher Graph gehört zu welcher Funktion? Begründe deine Entscheidung!
1. $f\left(x\right)=-\left(x+1\right)^2+3$
2. $g\left(x\right)=\frac12x^2+x+2$
3. $h\left(x\right)=\left(2-x\right)\left(x+3\right)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
Funktionsgleichung einem Graphen zuordnen
$f\left(x\right)=-\left(x+1\right)^2+3$
Da die Funktion in der Scheitelform ist, kannst du den Scheitel ablesen.
$S=(-1;3)$
Überprüfe, welcher Graph diesen Scheitel besitzt.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Funktion $f(x)$ gehört zum Graphen $B(x)$ , da dieser Graph den Scheitel $S=(-1;3)$ besitzt und da die Parabel nach unten geöffnet ist, was auf die negative Steigung der Funktion zurückzuführen ist.
$g\left(x\right)=\dfrac12x^2+x+2$
Setze $x=0$ , um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bestimmen.
$S_y=(0;2)\in g(x)$
Überprüfe, welcher Graph diesen Schnittpunkt mit der y-Achse besitzt.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Funktion $g(x)$ gehört zum Graphen $A(x)$ . Die Eindeutigkeit wird sichergestellt, da dieser Graph die y-Achse im Punkt $S_y=(0;2)$ schneidet und da diese Parabel die einzige ist, die nach oben geöffnet ist, also eine positive Steigung hat.
$h\left(x\right)=\left(2-x\right)\left(x+3\right)$
Aus dieser Form lassen sich leicht die Nullstellen ermitteln. Setze die x-Werte ein, die dazu führen, dass immer einer der beiden Faktoren 0 ist.
$P_{x_1}=(2;0)$
$P_{x_2}=(-3;0)$
Überprüfe, welche der Funktionen diese beiden Nullstellen besitzt.
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Funktion $h(x)$ gehört zum Graphen $C(x)$ , weil dieser die zwei Nullstellen $P_{x_1}=(2;0)$ und $P_{x_2}=(-3;0)$ besitzt.
Außerdem ist die Parabel nach unten geöffnet. Somit ist der Streckungsfaktor negativ.
4
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Graphen von $f(x)$ und $g(x)$ ?
Stelle die Scheitelpunktgleichungen auf und vergleiche diese.
1. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
  Bestimmung der Funktionsgleichung von $f(x)$
  Lese den Scheitelpunkt der Funktion $f(x)$ ab:
  $S(1|4)$
  Verwende die Scheitelform, um die Gleichung zu ermitteln.
  $f(x)=a_f\cdot(x-1)^2+4$
  Setze eine Punkt mit gut ablesbaren Koordinaten ein.
  Mit $P(0|3)$ gilt:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f\left(0\right)&=&a_f+4 \\3&=&a_f+4&|-4\\-1&=&a_f\end{array}$
  Setze $a_f$ in die Funktion ein.
  $f\left(x\right)=-\left(x-1\right)^2+4$
  Bestimmung der Funktionsgleichung von $g(x)$
  Lese den Scheitelpunkt der Funktion $g(x)$ ab:
  $S(1|2)$
  Verwende die Scheitelform, um die Gleichung der Funktion ermitteln.
  $g(x)=a_g\cdot(x-1)^2+2$
  Setze eine Punkt mit gut ablesbaren Koordinaten ein.
  Mit $P(3|0)$ gilt:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}g\left(3\right)&=&a_g\cdot2^2+2\\0&=&4\cdot a_g +2&|-2\\-2&=&4a_g&|:4\\-0{,}5&=&a_g\end{array}$
  Setze $a_g$ in die Funktion ein.
  $g\left(x\right)=-0{,}5\left(x-1\right)^2+2$
  Unterschiede und Gemeinsamkeiten der Funktionen
  Die Scheitelpunkte und der Streckungsfaktor sind unterschiedlich.
  Die beiden Funktionen schneiden die x-Achse beide in den Punkten $P_1\left(\left.3\;\right|\;0\right)$ und $P_2\left(\left.-1\;\right|\;0\right)$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
  Bestimmung der Funktionsgleichung von $f(x)$
  Lese den Scheitelpunkt $S$ von $f(x)$ ab:
  $S(1|1)$
  Verwende die Scheitelform, um die Gleichung zu ermitteln.
  $f\left(x\right)=a_f\left(x-1\right)^2-1$
  Setze einen Punkt ein, dessen Koordinaten man gut ablesen kann.
  Mit $P(0|0)$ gilt:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f\left(0\right)&=&a_f-1\\0&=&a_f-1&|-1\\-1&=&a_f\end{array}$
  Setze $a_f$ in die Gleichung ein.
  $f\left(x\right)=\left(x-1\right)^2-1$
  Bestimmung der Funktionsgleichung von $g(x)$
  Lese den Scheitelpunkt von $g(x)$ ab:
  $S(1|1)$
  Verwende die Scheitelform, um die Gleichung zu ermitteln.
  $g\left(x\right)=a_g\left(x-1\right)^2+1$
  Setze einen Punkt ein, dessen Koordinaten man gut ablesen kann.
  Wähle z.B. $P(0|2)$ . Mit $P$ gilt:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}g\left(0\right)&=&a_g+1\\2&=&a_g+1&|-1\\a_g&=&1\end{array}$
  Setze $a_g$ in die Funktion ein.
  $g\left(x\right)=\left(x-1\right)^2+1$
  Unterschiede und Gemeinsamkeiten der Funktionen
  Die beiden Funktionen haben den gleichen Streckungsfaktor $a$ und die gleiche x-Komponente des Scheitelpunktes.
  Die Funktionen unterscheiden sich lediglich in der y-Koponente des Scheitels.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
  Bestimmung der Funktionsgleichung von $f(x)$
  Lese den Scheitelpunkt von $f(x)$ ab:
  $S(2|1)$
  Verwende die Scheitelform, um die Gleichung zu ermitteln.
  $f\left(x\right)=a_f\cdot\left(x-2\right)^2+1$
  Setze eine Punkt mit gut ablesbaren Koordinaten ein.
  Mit $P(1|2)$ gilt:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f\left(1\right)&=&a_f+1\\2&=&a_f+1&|-1\\1&=&a_f\end{array}$
  Setze $a_f$ in die Gleichung ein.
  $f\left(x\right)=\left(x-2\right)^2+1$
  Bestimmung der Funktionsgleichung von $g(x)$
  Lese den Scheitelpunkt von $g(x)$ ab:
  $S(2|1)$
  Verwende die Scheitelform, um die Gleichung zu ermitteln.
  $g\left(x\right)=a_g\cdot\left(x-2\right)^2-1$
  Setze eine Punkt mit gut ablesbaren Koordinaten ein.
  Mit $P(1|-2)$ gilt:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}g\left(1\right)&=&a_g-1\\-2&=&a_g-1&|+1\\-1&=&a_g\end{array}$
  Setze $a_g$ in die Gleichung ein.
  $g\left(x\right)=-\left(x-2\right)^2-1$
  Unterschiede und Gemeinsamkeiten der Funktionen
  $g(x)$ ist die Spiegelung von $f(x)$ an der x-Achse.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5
Ordne jedem Funktionsgraphen einen der folgenden Funktionsterme zu.
1. $f_1\left(x\right)=x^2+1$
2. $f_2(x)=-2x^2+2x$
3. $f_3\left(x\right)=2x+1$
4. $f_4\left(x\right)=-2x^2+2x+1$
5. $f_5(x)=2-0{,}5x$
6. $f_6\left(x\right)=0{,}5\left(x+2\right)^2+1$
1. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomfunktionen
  Bestimme den Scheitel der Funktion:
  Dazu musst du den Scheitel aus dem Graphen ablesen.
  $S=\left(0{,}5;0{,}5\right)$
  Gehe nun ausgehend vom Scheitel 1 Einheit nach rechts, um den Streckungsfaktor der Parabel zu bestimmen.
  $P=\left(1{,}5;-1{,}5\right)\in Graph$
  Die Differenz der y-Werte der beiden Punkte beträgt 2 Einheiten. Da die Funktion, eine Parabel, nach unten geöffnet ist, also insbesondere die Steigung $\leq0$ ist, muss der Streckungsfaktor -2 heißen.
  Überprüfe nun, welche der Funktionen diese Eigenschaften erfüllt. Es existieren in der Funktionenauswahl zwei Parabeln mit Streckungsfaktor -2. Aber nur eine der beiden läuft durch den Punkt $P$ . Teste dies, indem du den Punkt in die Funktionsgleichung einsetzt.
  $P\in f_2$ .
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Graph entspricht der Funktion $f_2\left(x\right)=-2x^2+2x$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomfunktionen
  Lese den y-Achsenabschnitt $t$ als Funktionswert an der Stelle $x=0$ ab.
  $P_1=\left(0;1\right)$
  Der y-Achsenabschnitt $t$ entspricht 1. Bestimme nun die Steigung $m$ der Gerade. Dies gelingt, indem ein zweiten Punkt $P_2$ auf dem Graphen gewählt und der Differenzenquotient von $P_1$ und $P_2$ bestimmt wird.
  Wähle z.B. den Punkt $P_2=(1;3)$ auf der Gerade.
  $m=\frac{3-1}{1-0}=\frac21=2$
  Mittels Steigung und y-Achsenabschnitt lässt sich die Gerade eindeutig bestimmen.
  $\;\;\Rightarrow\;\;f_3\left(x\right)=2x+1$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomfunktionen
  Vorgehensweise: Bestimmte den Scheitel und den Streckungsfaktor der Parabel.
  $S=\left(-2;1\right)$
  Der Scheitel $S$ lässt sich direkt aus der Zeichnung ablesen.
  Zur Bestimmung des Streckungsfaktors lese den Funktionswert einer von der Scheitelstelle genau 1 Einheit entfernten Stelle ab. Also wähle z.B. $P=(-1;1{,}5)$ .
  Die Differenz der beiden y-Werte von $P$ und $S$ beträgt $0{,}5$ Einheiten. Also beträgt nach der Wahl von $S$ und $P$ der Streckungsfaktor $0{,}5$ .
  Überprüfe, welche Funktion diese Eigenschaften erfüllt.
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Graph entspricht dem Graphen der Funktion $f_6\left(x\right)=0{,}5\left(x+2\right)^2+1$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomfunktionen
  Bestimme den Punkt beim x-Wert 0.
  Lese diesen aus dem Graphen ab. Dadurch bestimmst du den y-Achsenabschnitt.
  $P_1=\left(0;2\right)$
  Der y-Achsenabschnitt beträgt somit $2$ . Gehe nun eine Einheit nach rechts um die Steigung des Graphen zu bestimmen.
  $P_2=\left(1;1{,}5\right)$
  Die Differenz der y-Werte der beiden Punkte beträgt 0,5. $P_2-P_1=(1;-0{,}5)$ . Somit beträgt die Steigung der Gerade- $m=0{,}5$ .
  Überprüfe, welche Funktion diese Eigenschaften erfüllt.
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Graph passt zu der Funktion $f_5\left(x\right)=2-0{,}5x$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomfunktionen
  Bestimme den Scheitel der Funktion.
  Dazu musst du den Scheitel $S$ aus dem Graphen ablesen.
  $S=\left(0{,}5;1{,}5\right)$
  Gehe nun ausgehend vom Scheitel 1 Einheit nach rechts, um den Streckungsfaktor zu bestimmen.
  $P=\left(1{,}5;-0{,}5\right)$ liegt auf dem Graphen und die x-Komponente von $P$ ist eine Einheit von der von $S$ entfernt.
  Die Differenz der beiden y-Werte beträgt 2. Da die Funktion im positiven Bereich abnimmt, ist die Steigung negativ, also -2.
  Überprüfe welche Funktion zu diesen Eigenschaften passt, also welche Funktion eine Parabel mit Streckungsfaktor -2 ist und die durch $P$ geht.
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Graph passt zu der Funktion $f_4=-2x^2+2x+1$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
6. 123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polynomfunktionen
  Vorgehensweise: Aus der Grafik lässt sich ablesen, dass es sich hier um eine quadratische Funktion handelt. Um diese eindeutig zu bestimmen, bestimme den Scheitel und Streckungsfaktor. Denn die Scheitelpunktsform einer quadratischen Funktion lautet:
  mit $a$ Streckungsfaktor $S=(d;e)$ Scheitelpunkt und $a,d,e\in\mathbb{R}$ .
  Bestimme also zunächst den Scheitel der Funktion durch Ablesen.
  $S=\left(0;1\right)$
  Gehe nun ausgehend vom Scheitel 1 Einheit nach rechts, um den Streckungsfaktor zu bestimmen.
  $P=\left(1;2\right)$ liegt auf dem Graphen.
  Der Differenzenquotient beider Punkte ist 1, also beträgt der Streckungsfaktor $a=1$ .
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Der Graph gehört also zu der Funktion $f_1\left(x\right)=x^2+1$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
6
Gibt es stetige Funktionen mit den folgenden Eigenschaften? Falls ja, gib ein Beispiel an; falls nein, begründe deine Entscheidung.
1. $f(0)=0, \quad f(1)=1, \quad f'(x) \lt 1 ~\forall x \in \mathbb{D}_f$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stetigkeit
  Nein, eine solche Funktion gibt es nicht.
  Begründung:
  Die Funktion $f: x \mapsto x$ liefert die beiden Funktionswerte $f(0)=0$ und $f(1)=1$ , hat aber Steigung 1. Hat nun eine Funktion mit $f(0)=0$ immer eine Steigung kleiner 1, wie gefordert, dann ist sie für positive $x$ immer kleiner als $f$ und erreicht nie den Punkt $(1|1)$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
2. $f(-1)=0, \quad f(1)=0, \quad f'(x) \neq 0 ~\forall x \in \mathbb{D}_f$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stetigkeit
  Nein, eine solche Funktion gibt es nicht.
  Begründung:
  Bei stetigen Funktionen liegt zwischen zwei Nullstellen immer ein Extremum, da der Funktionsgraph "umkehren" muss, um wieder die x-Achse zu erreichen. Da an der Stelle des Extremums immer $f'(x_E)=0$ gilt, sind die Bedingungen nicht erfüllt.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
3. $f'(x) \gt 0, \quad f(-x)=f(x) ~\forall x \in \mathbb{D}_f$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stetigkeit
  Nein, eine solche Funktion gibt es nicht.
  Begründung:
  Die zweite Bedingung zeigt dir, dass der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll. Dann kann der Funktionsgraph aber nicht gleichzeitig streng monoton steigen $(f'(x) \gt 0 ~\forall x \in \mathbb{D}_f)$ , wie du dir anhand einer Skize veranschaulichen kannst.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
4. $f'(x)=-f(x) ~\forall x \in \mathbb{D}_f$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stetigkeit
  Ja, eine solche Funktion existiert. Beispiel:
  $f(x)=e^{-x}$
  Bei dieser Funktion erhältst du die Ableitung $f'(x)=-e^{-x}=-f(x)$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
5. $f(x)\cdot f'(x)=1 ~\forall x \in \mathbb{D}_f$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stetigkeit
  Ja, eine solche Funktion existiert. Um das besser erkennen zu können kannst du die Gleichung umschreiben:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}&f(x)\cdot f'(x) &= &1\\\Leftrightarrow &f'(x)&= &\frac{1}{f(x)}\end{array}$
  Nun suchst du eine Funktion, die beim Ableiten selbst im Nenner auftaucht. Das gilt für die Wurzelfuntion mit $\left(\sqrt{x}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ . Den störenden Faktor $\frac{1}{2}$ wirst du nun durch das Nachdifferenzieren los, wenn du die Wurzelfunktion geeignet veränderst:
  $\displaystyle \left(\sqrt{2x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{2x}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x}}$ .
  Die gesuchte Funktion ist damit $f: x \mapsto \sqrt{2x}$ .
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
7
Berechne die Tangente an den Graphen der gegebenen Funktion $f$ zum gegebenen Punkt $P$ .
1. $f: x \mapsto x^2$
  $P( ?|16)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente bestimmen
  Schnittpunkt bestimmen
  Setze die bekannte y-Koordinate ein und löse nach x auf, um die vollständigen Koordinaten des Punktes P zu bekommen.
  Du siehst: Es gibt nicht nur einen, sondern sogar zwei Punkte mit y-Koordinate 16, die auf dem Graphen liegen. Du muss nun für beide Puntke die Tangente bestimmen.
  Tangente an P bestimmen
  Berechne die Ableitung am Punkt $P$ .
  Damit hast du die Steigung $m$ . Setze damit die Tangentengleichung an und löse nach $t$ auf.
  Tangente an P' bestimmen
  Berechne die Ableitung am Punkt $P'$ .
  Damit hast du die Steigung $m'$ . Setze damit die Tangentengleichung an und löse nach $t'$ auf.
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Du kannst hier wie folgt vorgehen:
  Zuerst bestimmst du die fehlende $x$ -Koordinate des Punktes $P$
  Du wirst sehen: Es gibt zwei mögliche Werte für $x$ - also zwei Punktem an denen du die Tangente bestimmen sollst.
  Berechne nun die Tangente an beiden Punkten
2. $f: x \mapsto \ln(x)-1$
  $P\left(e^2|?\right)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente bestimmen
  Schnittpunkt bestimmen
  Setze die $x$ -Koordinate in $f$ ein und berechne so die $y$ -Koordinate.
  Tangente bestimmen
  Bestimme die Ableitung an der Stelle $e^2$ .
  Stelle die Tangentengleichung auf, mit der Ableitung am Punkt $P$ als Steigung und berechne $t$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
  Du kannst hier wie folgt vorgehen:
  Berechne zuerst die vollständigen Koordinaten von P
  Bestimme dann die Gleichung der Tangente am Punkt P
8
Gegeben ist die Funktion $g: x \mapsto \sqrt{\dfrac{x-1}{4}}-1$ .
Erkläre, wie der Funktionsterm $g(x)$ aus $h(x)=\sqrt{x}$ entstanden ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Veränderungen von Funktionstermen
Die Start- und Zielfunktionen sind gegeben durch $h: x\mapsto \sqrt{x}$ und $g: x \mapsto \sqrt{\dfrac{x-1}{4}}-1$ .
Um die Veränderungen besser zu erkennen, schreibst du die Funktion $g$ noch etwas um:
$g(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}{4}}-1= \dfrac{1}{2}\sqrt{x-1}-1=\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{(x-1)}\right)-1$ .
Jetzt erkennst du folgendes: Die Funktion $h$ wurde
um 1 nach rechts verschoben: $\dfrac{1}{2}\sqrt{x\underline{-1}}-1$ ,
um den Faktor $\frac{1}{2}$ gestaucht: $\underline{\dfrac{1}{2}}\sqrt{x-1}-1$ und
um 1 nach unten verschoben: $\dfrac{1}{2}\sqrt{x-1}\underline{-1}$
um die Funktion $g$ zu erhalten.
9
Gib den Term einer nicht-linearen Funktion $f$ an, für die gilt: $|f(x)| \leq |x| ~~\forall x \in \mathbb{R}$ . Mache deine Wahl plausibel.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktionen
Die Eigenschaft $|f(x)| \leq |x| ~\forall x \in \mathbb{R}$ bedeutet, dass der Wert der gesuchten Funktion $f$ immer zwischen den beiden Winkelhalbierenden $y=x$ und $y=-x$ liegen muss. Insbesondere gilt das für $x=0$ . Damit weißt du: $f(0)=0$ . Um zu verhindern, dass die Funktion $f$ irgendwo den Bereich verlässt, verwendest du am besten ein Funktion, die eine Steigung hat, die kleiner ist, als die Steigung von $y=x$ (die ist 1) und größer als die Steigung von $y=-x$ (die ist -1).
Variante 1:
Eine Funktion, die immer zwischen -1 und 1 liegt, ist der Kosinus. Verwendest du den Kosinus als Steigung, dann ist die Stammfunktion des Kosinus, die durch $(0|0)$ geht, die gesuchte Funktion:
$f(x)=\sin(x)$
Variante 2:
Du kannst auch den Bereich für die Steigung noch weiter einschränken, z. B. auf $]0;1[$ . Das ist der Wertebereich der Funktion $g: x\mapsto \dfrac{1}{1+x^2}$ (Da der Nenner immer größer ist als der Zähler, wird der Funktionswert nie größer als 1 und da $x^2$ immer positiv ist, wird der Funktionswert nie kleiner als 0).
Wieder ist diejenige Stammfunktion von $g$ , die durch $(0|0)$ geht die gesuchte Funktion. Eine Stammfunktion findest du möglicherweise in einer Formelsammlung:
$f(x)=\arctan(x)$
Anschauung
10
Begründe kurz, warum folgende Aussagen gelten.
1. Ist der Graph einer in $\mathbb{R}$ definierten, integrierbaren Funktion $t$ punktsymmetrisch zum Ursprung, dann gilt für alle $a \in \mathbb{R}$ : $\displaystyle \int_{-a}^a t(x)\mathrm{d}x =0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bestimmtes Integral
  Es gilt für alle zum Ursprung punktsymmetrischen Funktionen $p$ : $\displaystyle \int_{-a}^0p(x)\mathrm{d}x= -\int_0^a p(x) \mathrm{d}x$ .
  Damit gilt für die Funktion $t$ :
  $\displaystyle \int_{-a}^a t(x)\mathrm{d}x =\int_{-a}^0 t(x)\mathrm{d}x+\int_0^a t(x)\mathrm{d}x=-\int_0^a t(x)\mathrm{d}x+\int_0^a t(x)\mathrm{d}x=0$
  Hast du eine Frage oder Feedback?
  Kommentiere hier 👉
11
Ordne die auf $[1;\infty[$ definierten Funktionen mit einer kurzen Begründung den Graphen zu.
a) $f(x)=\sqrt{(x-1)}$
b) $g(x)=\ln(x)$
c) $h(x)=\sin(0.1x-1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Begründung
$f(x)$ gehört zu Graph 3, da die Wurzelfunktion am linken Definitionsrand eine unendliche Steigung hat, wie du aus der Ableitung ablesen kannst. Ein weiterer Hinweis ist die Tatsache, dass diese Wurzelfunktion eine um 1 nach rechts verschobene Wurzelfunktion ist und damit durch (2|1) verläuft, da die Funktion $w(x)=\sqrt x$ durch (1|1) verlaufen würde.
$h(x)$ gehört zu Graph 2, da die Sinusfunktion die einzige ist, die wieder sinkt und der Graph rechts ebenfalls leicht absinkt.
$g(x)$ gehört zu Graph 1. Diese Zuordnung funktioniert am leichtesten über das Ausschlussverfahren.
Oder, als Begründung zur Zuordnung von g: Die ln-Funktion steigt langsamer als die Wurzelfunktion (deshalb muss Graph 3 die Wurzelfunktion sein), aber er fällt nicht, wie es Graph 2 tut.
12
Ordne die Funktionen $f_1, f_2, f_3$ und $f_4$ den Graphen zu und begründe deine Wahl kurz.
$\displaystyle f_1: x \mapsto \frac{1}{x^2}$
$\displaystyle f_2: x \mapsto \frac{x^2}{1+x^2}$
$\displaystyle f_3: x \mapsto \frac{1}{1+x^2}$
$\displaystyle f_4: x \mapsto \frac{1}{x^4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Polstelle
Funktionen zuordnen
Die Graphen $G_{f_1}$ und $G_{f_4}$ von $f_1$ und $f_4$ haben eine Polstelle bei $x=0$ und den Grenzwert 0 im Unendlichen. Allerdings ist - ähnlich wie bei $x^2$ und $x^4$ - $f_4 \gt f_1$ für $|x| \lt 1$ und $f_4 \lt f_1$ für $|x| \gt 1$ . $f_1$ gehört damit zum Graphen links unten und $f_4$ zum Graphen rechts unten.
Für $f_2$ gilt: $f_2(0)=0$ . Also gehört $f_2$ zum Graphen links oben. (Außerdem ist $\displaystyle \lim_{x\rightarrow\pm\infty} f_2(x)=1$ , wie du am Graphen sehen kannst).
Mit der gleichen Überlegung für $f_3$ erhältst du $f_3(0)=1$ und $\displaystyle\lim_{x \rightarrow \pm \infty}f_3(x)=0$ und damit den Graphen rechts oben.

Betrachte die Funktion $f(x) = \frac{\exp(x) -4}{\exp(x) +4}$ . Der Graph der Funktion ist $G_f$ und ihr Definitionsbereich $D_f = \mathbb{R}$ .

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $S$ von $G_f$ mit der y-Achse.

Berechne anschließend die Koordinaten des Schnittpunkts $S$ von $G_f$ mit der x-Achse.

Bestimme das Verhalten von $f(x)$ für $x \rightarrow \infty$ und $x\rightarrow - \infty$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: asymptotische Verhalten der Funktion
Hinweis: Zur Bestimmung des Grenzwerts für $x \rightarrow \infty$ kann z.B. zunächst im Zähler und im Nenner $e^x$ ausgeklammert werden.
Betrachte das asymptotische Verhalten der Funktion
Bestimme das Verhalten für $x \rightarrow \infty$ .
$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{e^x -4} {e^x+4}$
Klammere im Zähler und im Nenner je $e^x$ aus.
$\displaystyle = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{e^x\left(1 - 4 \cdot e^{-x}\right)} {e^x\left( 1 + 4\cdot e^{-x}\right)}$
Kürze $e^x$ .
$\displaystyle = \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1 - 4 \cdot e^{-x}} { 1 + 4\cdot e^{-x}}$
Führe die Grenzwertbetrachtung durch. Dabei wird $\lim \limits_{x \rightarrow \infty} e^{-x} = 0$ .
$\displaystyle = \frac{1 - 0} { 1 + 0} =1$
Bestimme das Verhalten für $x \rightarrow -\infty$ .
$\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow - \infty} \frac{e^x -4} {e^x+4}$
Führe die Grenzwertbetrachtung durch. Dabei wird $\lim \limits_{x \rightarrow - \infty} e^{x} = 0$ .
= $\displaystyle \frac{0 -4} {0+4}$
Forme um.
= $\displaystyle \frac{-4} {4} = -1$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉
Untersuche das Monotonieverhalten von $G_f$ mit Hilfe der ersten Ableitung von $f$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
Hinweis zur Kontrolle:
Die erste Ableitung lautet $\displaystyle f'(x) = 8 \cdot \frac{\exp(x)}{(\exp(x) + 4)^2}$ .
Berechne die Ableitung
Bilde die erste Ableitung der Funktion.
$\displaystyle f'(x) = \left(\frac{e^x-4}{e^x + 4}\right)'$
Wende die Quotientenregel an.
$\displaystyle = \frac{e^x(e^x+4) - e^x(e^x-4)}{(e^x+4)^2}$
Löse die Klammer im Zähler auf.
$\displaystyle = \frac{e^{2x} +4 e^x - e^{2x} + 4 e^x}{(e^x+4)^2}$
Vereinfache den Zähler.
$\displaystyle = \frac{8 e^x}{(e^x+4)^2}$
Bestimme das Monotonieverhalten
Da die erste Ableitung der Funktion $\displaystyle f'(x) = \frac{8 e^x}{(e^x+4)^2}$ für alle x-Werte größer als Null ist, ist die Funktion streng monoton steigend.
Dass $\displaystyle f'(x) = \frac{8 e^x}{(e^x+4)^2} > 0$ für alle x-Werte gilt, sieht man an der Exponentialfunktion im Zähler und dem quadratischen Ausdruck im Nenner. Beide sind stets größer als 0.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

W (ln 4 | 0) ist der einzige Wendepunkt von $G_f$ . Zeige, dass die Gerade n mit der Gleichung $y = -x + \ln 4$ durch W verläuft und auf der Wendetangente senkrecht steht.

Verschiebe $G_f$ um ln 4 nach links, um den Graphen $G_{f^*}$ zu erhalten und gib $f^*$ an. Zeige, dass $G_{f^*}$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Welche Bedeutung hat in diesem Fall der Punkt W für $G_f$ ?

Gegeben ist die Funktion $f(x)=\dfrac {ln(x^2)}{x}$ mit $D_f=D_{max}$ .

Gib die Definitionsmenge $D_f$ , die Gleichung aller Asymptoten und das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsmenge
Bei der Bestimmung der Definitionsmenge musst du hier zweierlei Sachen beachten:
Den Nenner der Funktion.
Die $\ln$ -Funktion im Zähler.
Die Definitionslücke im Nenner entspricht der Nullstelle im Nenner. In unserem Fall also:
$x=0 \Rightarrow D_f=\mathbb{R}\backslash\{0\}$
Die Definitionsmenge der $\ln$ -Funktion ist $D_{\ln}=\mathbb{R}^+$ . Da das Argument des natürlichen Logarithmus $x^2$ ist, kann es nie negativ werden. Die einzige Stelle, an der es Probleme gibt, ist die Null. Da diese bereits ausgeschlossen ist, lautet der Definitionsbereich
$D_f= \mathbb R \backslash \{0\}$
Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs
Um die Gleichung aller Asymptoten leicht angeben zu können, untersuchst du zuerst das Verhaten an den Rändern des Definitionsbereichs.Die Ränder sind
$\infty$ und $-\infty$
$0^+$ und $0^-$ (Also annähernd an die Null von rechts bzw. von links)
Die Formelsammlung oder Merkhilfe liefert $\lim_{x\rightarrow\pm\infty} \frac{\ln(x^2)}{x}=0$
Für $x\rightarrow 0$ gilt $\lim_{x\rightarrow 0}\ln(x^2)=-\infty$ , da das Quadrat innen den Verlauf des Logarithmus nicht verändert. Teilt man durch ein sehr kleines $x$ , also eine Zahl die fast 0 ist, so wird der Betrag des Ergebnisses sogar nochmal größer. Insgesamt gilt deshalb:
$\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\ln(x^2)}x=-\infty$
$\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{\ln(x^2)}x=+\infty$
Asymptotengleichungen
Die senkrechten Asymptoten lassen sich aus der Definitionsmenge ableiten, Die waagerechte Asymptote kannst du hier aus dem Verhalten im Unendlichen ableiten.
senkrechte Asymptote: $x=0$ waagerechte Asymptote: $y=0$
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👉

Untersuche die angegebene Funktion auf Symmetrie.

Untersuche die Funktion auf gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen.

Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion und gib Lage und Art aller Extremstellen an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonieverhalten bestimmen

Zur Lösung der Aufgabe musst du das Monotonieverhalten bestimmen.In dieser Aufgabe bestimmst du das Verhalten mithilfe einer Monotonietabelle,natürlich ist es auch mithilfe der 2. Ableitung möglich.

1. Ableitung bilden

Zum Ableiten benötigst du

die Quotientenregel, wegen des Bruches.
die Ableitung vom $\ln$ .
die Kettenregel, wegen des $x^2$ im $\ln$ .

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\ln\left(x^2\right)}{x}$
	↓	Wende zuerst die Quotientenregel an. ( $\Box'$ ) bedeutet die Ableitung von $\Box$ .
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(\ln\left(x^2\right)\right)´\cdot x-\left(x\right)´\cdot\ln\left(x^2\right)}{x^2}$
	↓	Die Ableitung von $x$ ist $1$ .Bide die Ableitung von $\ln(x^2)$ mithilfe der Kettenregel und der Ableitungsregel vom $\ln$ .
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\frac{1}{x^2}\cdot2x\cdot x-1\cdot\ln\left(x^2\right)}{x^2}$
	↓	Verrechne.
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2-\ln\left(x^2\right)}{x^2}$

Nullstellen der Ableitung bestimmen

Die Nullstellen der ersten Ableitung sind die Punkte, in der die Funktion die Steigung Null und somit waagerechte Tangenten besitzt. Diese Punkte sind die Kandidaten für die Extremstellen.

$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{2-\ln\left(x^2\right)}{x^2}$
	↓	Setze die Ableitung gleich 0.
$\displaystyle \frac{2-\ln\left(x^2\right)}{x^2}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot x^2$
	↓	Multipliziere mit $x^2$ , um den Nenner zu entfernen.
$\displaystyle 2-\ln\left(x^2\right)$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\ln\left(x^2\right)$
	↓	Bringe den $\ln$ isoliert auf eine Seite.
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle \ln\left(x^2\right)$	$\displaystyle e^{ }$
	↓	Verwende die Logarithmus-Rechenregel: $\ln(x^r)=r\cdot \ln(x)$
$\displaystyle e^2$	$=$	$\displaystyle x^2$	$\displaystyle \sqrt{ }$
	↓	Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm e$

Es gibt also die zwei Extremstellen-Kandidaten $e$ und $-e$ .

Monotonietabelle

In der Monotonietabelle betrachtest du jeweils die Bereiche links und rechts von deiner Extremstelle und Polstellen untersuchst, wie sich die Ableitung und somit die Steigung in diesen Bereichen verhält.

$x$	$x<-e$	$x=-e$	$-e<x<0$	$x=0$	$0<x<e$	$x=e$	$x>e$
$f'(x)$	$<0$	$0$	$>0$	/	$>0$	$0$	$<0$
$G_f$	smf	TIP	sms	POL	sms	HOP	smf

smf= streng monoton fallend sms= streng monoton steigend TIP= Tiefpunkt/Minimum HOP= Hochpunkt/Maximum POL= Polstelle der Funktion

Lage und Art der Extremstellen

Die x-Koordinate und die Art der Extremstelle ergibt sich direkt aus der Erstellung der Tabelle.

Die Nullstellen $e$ und $-e$ der Ableitung liefern jeweils einen Extrempunkt. Die Tabelle sagt dir ausßerdem, dass bei $e$ ein Hochpunkt liegt und bei $-e$ ein Tiefpunkt.

Um die Lage der Extremstelle anzugeben, muss noch die y-Koordinate berechnet werden. Setze dazu in die Funktion $f$ ein:

Hochpunkt: $f(e)= \dfrac{ln(e^2)}{e}= \dfrac 2 e$ $\Rightarrow HOP(e|\frac 2 e)$

TiefpunktDer Tiefpunkt kann auch mittels $f(-e)$ ausgerechnet werden. Du kannst aber auch die Punktsymmetrie ausnutzen: $\Rightarrow TIP(-e|-\frac 2 e)$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👉

Zeige, dass $F(x)= \frac 1 4 (ln(x^2))^2$ eine Stammfunktion von $f$ ist und bestimme den Funktionsterm derjenigen Stammfunktion, die durch den Punkt $P(1|5)$ verläuft.

$\displaystyle f\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{e^0-4}{e^0+4}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1-4}{1+4}$
	↓	Führe die Subtraktion und die Addition aus.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{5}$
	↓	Gib den Schnittpunkt an.
$\displaystyle S_y$	$=$	$\displaystyle \left(0 \left\|\right. -\frac{3}{5}\right)$

$\displaystyle W:y$	$=$	$\displaystyle m_W\cdot x+t$
	↓	Berechne die Steigung der Wendetangente über die Steigung der Funktion im Wendepunkt W (ln 4 \| 0).
$\displaystyle m_W$	$=$	$\displaystyle f´\left(\ln4\right)$
	$=$	$\displaystyle 8\cdot\frac{e^{\ln4}}{(e^{\ln4}+4)^2}$
	↓	Vereinfache indem du verwendest, dass der Logarithmus die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist.
	$=$	$\displaystyle 8\cdot\frac{4}{(4+4)^2}$
	$=$	$\displaystyle \frac{32}{64}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
	↓	Bestimme nun den y-Achsenabschnitt der Wendetangente, indem du forderst, dass diese auch durch den Wendepunkt gehen muss.

$\displaystyle F\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\left(\ln\left(x^2\right)\right)^2$
	↓	Zur Ableitung benötigst du zweimal die Kettenregel und die Ableitungsregel des $\ln$ .
$\displaystyle F´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\frac{1}{4}\left(\ln\left(x^2\right)\right)\cdot\frac{1}{x^2}\cdot2x$
	↓	Berechne.
$\displaystyle F´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\ln\left(x^2\right)}{x^2}$
	$=$	$\displaystyle f\left(x\right)$

$\displaystyle \frac{e^x-4}{e^x+4}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Multipliziere $e^x +4$ auf beiden Seiten. Da die Exponentialfunktion nie negativ wird, kannst auf beiden Seiten den Ausdruck multiplizieren.
$\displaystyle e^x-4$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Bringe 4 auf die andere Seite.
$\displaystyle e^x$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Wende den Logarithmus als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion an.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \ln4$
	↓	Die y-Koordinate der Nullstelle ist 0. Gib den Schnittpunkt an.
$\displaystyle S_x$	$=$	$\displaystyle \left(\ln 4 \left\|\right. 0\right)$
	$=$
	$=$

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\ln\left(x^2\right)}{x}$
	↓	Setze $-x$ in die Funktion ein.
$\displaystyle f\left(-x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\ln\left(\left(-x\right)^2\right)}{-x}$
	↓	Hat $-x$ einen geraden Exponenten, so kann das Minus weggelassen werden. Bei einem ungeraden Exponenten zieht man das Minus nach vorne.
	$=$	$\displaystyle -\frac{\ln\left(x^2\right)}{x}$
	↓	Vergleiche mit $f(x)$ .
	$=$	$\displaystyle -f\left(x\right)$
	↓	Insgesamt gilt also $f(-x)=-f(x)$ und damit ist die Funktion punktsymmetrisch.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze den Funktionsterm gleich 0.
$\displaystyle \frac{\ln\left(x^2\right)}{x}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot x$
	↓	keinen Nenner mehr gibt.
$\displaystyle \ln\left(x^2\right)$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot e^0$
	↓	Löse den $\ln$ mithilfe seiner Umkehrfunktion $e$ auf.
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle e^0$
	↓	Berechne $e^0$ .
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \pm\sqrt{ }$
	↓	Ziehe die Wurzel. Beachte, dass es sowohl eine positive als auch eine negative Lösung geben kann.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -1$

Gemischte Aufgaben zu Funktionen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Funktionsgleichung einem Graphen zuordnen

Bestimmung der Funktionsgleichung von f(x)f(x)f(x)

Bestimmung der Funktionsgleichung von g(x)g(x)g(x)

Unterschiede und Gemeinsamkeiten der Funktionen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimmung der Funktionsgleichung von f(x)f(x)f(x)

Bestimmung der Funktionsgleichung von g(x)g(x)g(x)

Unterschiede und Gemeinsamkeiten der Funktionen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimmung der Funktionsgleichung von f(x)f(x)f(x)

Bestimmung der Funktionsgleichung von g(x)g(x)g(x)

Unterschiede und Gemeinsamkeiten der Funktionen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Schnittpunkt bestimmen

Tangente an P bestimmen

Tangente an P' bestimmen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Schnittpunkt bestimmen

Tangente bestimmen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Veränderungen von Funktionstermen

Variante 1:

Variante 2:

Anschauung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Begründung

Funktionen zuordnen

Schnittpunkt mit der x-Achse berechnen

Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Betrachte das asymptotische Verhalten der Funktion

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechne die Ableitung

Bestimme das Monotonieverhalten

Hast du eine Frage oder Feedback?

Zeige, dass die Gerade n durch W verläuft

Bestimme die Wendetangente

Zeige, dass die Wendetangente senkrecht auf der Geraden n steht

Hast du eine Frage oder Feedback?

Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs

Asymptotengleichungen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Schnittpunkt mit der y-Achse

Schnittpunkte mit der x-Achse

Hast du eine Frage oder Feedback?

1. Ableitung bilden

Nullstellen der Ableitung bestimmen

Monotonietabelle

Lage und Art der Extremstellen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bestimmung der Funktionsgleichung von $f(x)$

Bestimmung der Funktionsgleichung von $g(x)$

Bestimmung der Funktionsgleichung von $f(x)$

Bestimmung der Funktionsgleichung von $g(x)$

Bestimmung der Funktionsgleichung von $f(x)$

Bestimmung der Funktionsgleichung von $g(x)$