Gemischte Aufgaben zu Funktionen

Um es sich möglichst einfach zu machen, kann man auf eine bekannte Funktion mit ähnlichen Eigenschaften zurückgreifen. Zum Beispiel ist der natürliche Logarithmus $\ln$ stetig und streng monoton steigend. Es gilt außerdem ${\lim }_{x\to 0}\ln (x)=-\infty$

Man kann den Logarithmus also verschieben, um $f(x)=\ln (x-1)$ zu erhalten. $f$ hat die gewünschten Eigenschaften.

Zeichne den Graphen.

Zeichne den Graphen.

Zeichne den Graphen.

Zeichne den Graphen.

Lese den Scheitelpunkt der Funktion $g(x)$ ab:

Unterschiede und Gemeinsamkeiten der Funktionen

• Die Scheitelpunkte und der Streckungsfaktor sind unterschiedlich.

• Die beiden Funktionen schneiden die x-Achse beide in den Punkten $P_1\left(3|0\right)$ und $P_2\left(-1|0\right)$.

Lese den Scheitelpunkt von $g(x)$ ab:

Unterschiede und Gemeinsamkeiten der Funktionen

• Die beiden Funktionen haben den gleichen Streckungsfaktor $a$ und die gleiche x-Komponente des Scheitelpunktes.

• Die Funktionen unterscheiden sich lediglich in der y-Koponente des Scheitels.

Lese den Scheitelpunkt von $g(x)$ ab:

Unterschiede und Gemeinsamkeiten der Funktionen

$g(x)$ ist die Spiegelung von $f(x)$ an der x-Achse.

Bestimme den Scheitel der Funktion:

Dazu musst du den Scheitel aus dem Graphen ablesen.

Überprüfe nun, welche der Funktionen diese Eigenschaften erfüllt. Es existieren in der Funktionenauswahl zwei Parabeln mit Streckungsfaktor -2. Aber nur eine der beiden läuft durch den Punkt $P$. Teste dies, indem du den Punkt in die Funktionsgleichung einsetzt.

$P\in f_2$.

$\Rightarrow$ Der Graph entspricht der Funktion $f_2\left(x\right)=-2x^2+2x$.

Lese den y-Achsenabschnitt $t$ als Funktionswert an der Stelle $x=0$ ab.

Vorgehensweise: Bestimmte den Scheitel und den Streckungsfaktor der Parabel.

Zur Bestimmung des Streckungsfaktors lese den Funktionswert einer von der Scheitelstelle genau 1 Einheit entfernten Stelle ab. Also wähle z.B. $P=(-1;\mathrm{1,5})$.

Die Differenz der beiden y-Werte von $P$ und $S$ beträgt $\mathrm{0,5}$ Einheiten. Also beträgt nach der Wahl von $S$ und $P$ der Streckungsfaktor $\mathrm{0,5}$.

Überprüfe, welche Funktion diese Eigenschaften erfüllt.

$\Rightarrow$ Der Graph entspricht dem Graphen der Funktion $f_6\left(x\right)=\mathrm{0,5}{(x+2)}^2+1$

$\Rightarrow$ Der Graph passt zu der Funktion $f_5\left(x\right)=2-\mathrm{0,5}x$.

Bestimme den Scheitel der Funktion.

Dazu musst du den Scheitel $S$ aus dem Graphen ablesen.

$\Rightarrow$ Der Graph passt zu der Funktion $f_4=-2x^2+2x+1$

Vorgehensweise: Aus der Grafik lässt sich ablesen, dass es sich hier um eine quadratische Funktion handelt. Um diese eindeutig zu bestimmen, bestimme den Scheitel und Streckungsfaktor. Denn die Scheitelpunktsform einer quadratischen Funktion lautet:

mit $a$ Streckungsfaktor $S=(d;e)$ Scheitelpunkt und $a,d,e\in ℝ$.

Bestimme also zunächst den Scheitel der Funktion durch Ablesen.

$\Rightarrow$ Der Graph gehört also zu der Funktion $f_1\left(x\right)=x^2+1$.

Nein, eine solche Funktion gibt es nicht.

Begründung:

Die Funktion $f:x\mapsto x$ liefert die beiden Funktionswerte $f(0)=0$ und $f(1)=1$, hat aber Steigung 1. Hat nun eine Funktion mit $f(0)=0$ immer eine Steigung kleiner 1, wie gefordert, dann ist sie für positive $x$ immer kleiner als $f$ und erreicht nie den Punkt $(1|1)$.

Nein, eine solche Funktion gibt es nicht.

Begründung:

Bei stetigen Funktionen liegt zwischen zwei Nullstellen immer ein Extremum, da der Funktionsgraph "umkehren" muss, um wieder die x-Achse zu erreichen. Da an der Stelle des Extremums immer $f^{\prime }(x_E)=0$ gilt, sind die Bedingungen nicht erfüllt.

Nein, eine solche Funktion gibt es nicht.

Begründung:

Die zweite Bedingung zeigt dir, dass der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll. Dann kann der Funktionsgraph aber nicht gleichzeitig streng monoton steigen $(f^{\prime }(x)>0\forall x\in {𝔻}_f)$, wie du dir anhand einer Skize veranschaulichen kannst.

Ja, eine solche Funktion existiert. Beispiel:

$f(x)=e^{-x}$

Bei dieser Funktion erhältst du die Ableitung $f^{\prime }(x)=-e^{-x}=-f(x)$

Ja, eine solche Funktion existiert. Um das besser erkennen zu können kannst du die Gleichung umschreiben:

$\begin{array}{rcll}& f(x)\cdot f^{\prime }(x)& =& 1\\ \iff & f^{\prime }(x)& =& \frac{1}{f(x)}\end{array}$

Nun suchst du eine Funktion, die beim Ableiten selbst im Nenner auftaucht. Das gilt für die Wurzelfuntion mit ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$. Den störenden Faktor $\frac{1}{2}$ wirst du nun durch das Nachdifferenzieren los, wenn du die Wurzelfunktion geeignet veränderst:

$${\displaystyle {\left(\sqrt{2x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{2x}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x}}}$$.

Die gesuchte Funktion ist damit $f:x\mapsto \sqrt{2x}$.

Schnittpunkt bestimmen

Setze die bekannte y-Koordinate ein und löse nach x auf, um die vollständigen Koordinaten des Punktes P zu bekommen.

Du siehst: Es gibt nicht nur einen, sondern sogar zwei Punkte mit y-Koordinate 16, die auf dem Graphen liegen. Du muss nun für beide Puntke die Tangente bestimmen.

Tangente an P bestimmen

Berechne die Ableitung am Punkt $P$.

Tangente an P' bestimmen

Berechne die Ableitung am Punkt $P^{\prime }$.

Schnittpunkt bestimmen

Setze die $x$-Koordinate in $f$ ein und berechne so die $y$-Koordinate.

Tangente bestimmen

Bestimme die Ableitung an der Stelle $e^2$.

Es gilt für alle zum Ursprung punktsymmetrischen Funktionen $p$: $${\displaystyle {\int }_{-a}^{0}p(x)\mathrm{d}x=-{\int }_0^{a}p(x)\mathrm{d}x}$$.

Damit gilt für die Funktion $t$:

$${\displaystyle {\int }_{-a}^{a}t(x)\mathrm{d}x={\int }_{-a}^{0}t(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{a}t(x)\mathrm{d}x=-{\int }_0^{a}t(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{a}t(x)\mathrm{d}x=0}$$

Schnittpunkt mit der x-Achse berechnen

Um den Schnittpunkt des Graphen $G_f$ mit der x-Achse zu berechnen, berechne die Nullstelle der Funktion.

Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen

Um den Schnittpunkt des Graphen $G_f$ mit der y-Achse zu berechnen, setze $x=0$ in die Funktion ein.

Hinweis: Zur Bestimmung des Grenzwerts für $x\to \infty$ kann z.B. zunächst im Zähler und im Nenner $e^x$ ausgeklammert werden.

Betrachte das asymptotische Verhalten der Funktion

Bestimme das Verhalten für $x\to \infty$.

$${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^x-4}{e^x+4}}$$

Klammere im Zähler und im Nenner je $e^x$ aus.

$${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^x(1-4\cdot e^{-x})}{e^x(1+4\cdot e^{-x})}}$$

Kürze $e^x$.

$${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1-4\cdot e^{-x}}{1+4\cdot e^{-x}}}$$

Führe die Grenzwertbetrachtung durch. Dabei wird $\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{-x}=0$.

$${\displaystyle =\frac{1-0}{1+0}=1}$$

Bestimme das Verhalten für $x\to -\infty$.

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{e^x-4}{e^x+4}}$$

Führe die Grenzwertbetrachtung durch. Dabei wird $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$.

= $${\displaystyle \frac{0-4}{0+4}}$$

Forme um.

= $${\displaystyle \frac{-4}{4}=-1}$$

Hinweis zur Kontrolle:

Die erste Ableitung lautet $${\displaystyle f^{\prime }(x)=8\cdot \frac{\exp (x)}{(\exp (x)+4{)}^2}}$$.

Berechne die Ableitung

Bilde die erste Ableitung der Funktion.

$${\displaystyle f^{\prime }(x)={\left(\frac{e^x-4}{e^x+4}\right)}^{\prime }}$$

Wende die Quotientenregel an.

$${\displaystyle =\frac{e^x(e^x+4)-e^x(e^x-4)}{(e^x+4{)}^2}}$$

Löse die Klammer im Zähler auf.

$${\displaystyle =\frac{e^{2x}+4e^x-e^{2x}+4e^x}{(e^x+4{)}^2}}$$

Vereinfache den Zähler.

$${\displaystyle =\frac{8e^x}{(e^x+4{)}^2}}$$

Bestimme das Monotonieverhalten

Da die erste Ableitung der Funktion $${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{8e^x}{(e^x+4{)}^2}}$$ für alle x-Werte größer als Null ist, ist die Funktion streng monoton steigend.

Dass $${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{8e^x}{(e^x+4{)}^2}>0}$$ für alle x-Werte gilt, sieht man an der Exponentialfunktion im Zähler und dem quadratischen Ausdruck im Nenner. Beide sind stets größer als 0.

Zeige, dass die Gerade n durch W verläuft

Um zu zeigen, dass die Gerade $n:-x+\ln 4$ durch den Punkt W (ln 4 | 0) verläuft, setze den x-Wert in Geradengleichung ein.

Da der Funktionswert der Geraden n an der Stelle der x-Koordinate des Punkts W mit der y-Koordinate des Punkts W übereinstimmt, liegt W auf der Geraden n.

Bestimme die Wendetangente

Stelle für die Wendetangente zunächst eine allgemeine Geradengleichung auf.

Zeige, dass die Wendetangente senkrecht auf der Geraden n steht

Bei der Bestimmung der Definitionsmenge musst du hier zweierlei Sachen beachten:

• Den Nenner der Funktion.

• Die $\ln$-Funktion im Zähler.

Die Definitionslücke im Nenner entspricht der Nullstelle im Nenner. In unserem Fall also:

$x=0\Rightarrow D_f=ℝ\backslash \{0\}$

Die Definitionsmenge der $\ln$-Funktion ist $D_{\ln }={ℝ}^{+}$. Da das Argument des natürlichen Logarithmus $x^2$ ist, kann es nie negativ werden. Die einzige Stelle, an der es Probleme gibt, ist die Null. Da diese bereits ausgeschlossen ist, lautet der Definitionsbereich

$D_f=ℝ\backslash \{0\}$

Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs

Um die Gleichung aller Asymptoten leicht angeben zu können, untersuchst du zuerst das Verhaten an den Rändern des Definitionsbereichs.Die Ränder sind

• $\infty$ und $-\infty$

• $0^{+}$ und $0^{-}$ (Also annähernd an die Null von rechts bzw. von links)

Die Formelsammlung oder Merkhilfe liefert ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{\ln (x^2)}{x}=0$

Für $x\to 0$ gilt ${\lim }_{x\to 0}\ln (x^2)=-\infty$, da das Quadrat innen den Verlauf des Logarithmus nicht verändert. Teilt man durch ein sehr kleines $x$, also eine Zahl die fast 0 ist, so wird der Betrag des Ergebnisses sogar nochmal größer. Insgesamt gilt deshalb:

${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\ln (x^2)}{x}=-\infty$

${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{\ln (x^2)}{x}=+\infty$

Asymptotengleichungen

Die senkrechten Asymptoten lassen sich aus der Definitionsmenge ableiten, Die waagerechte Asymptote kannst du hier aus dem Verhalten im Unendlichen ableiten.

senkrechte Asymptote: $x=0$ waagerechte Asymptote: $y=0$

Um diese Aufgabe zu lösen, brauchst du Wissen zur Symmetrie von Graphen.

Um diese Aufgabe zu lösen, musst du wissen, wie man die Schnittpunkte mit beiden Koordinatenachsen berechnet.

Schnittpunkt mit der y-Achse

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist dort, wo der x-Wert 0 ist. Er hat die Form $T(0|t)$ und wird berechnet, indem man $0$ einsetzt.

$f(0)={\displaystyle \frac{\ln 0^2}{0}}$

Da man weder durch $0$ teilen darf, noch $0$ in den $\ln$ einsetzen darf, gibt es diesen Funktionswert nicht. Es gibt also keinen Schnittpunkt mit der y-Achse.

Schnittpunkte mit der x-Achse

Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind die Nullstellen. Sie haben die Form $N(x_N|0)$ Berechne sie, indem du die Funktion mit 0 gleichsetzt.

Die zwei Schnittpunkte mit der x-Achse sind $N_1(1|0)$ und $N_2(-1|0)$.

Zur Lösung der Aufgabe musst du das Monotonieverhalten bestimmen.In dieser Aufgabe bestimmst du das Verhalten mithilfe einer Monotonietabelle,natürlich ist es auch mithilfe der 2. Ableitung möglich.

1. Ableitung bilden

Zum Ableiten benötigst du

• die Quotientenregel, wegen des Bruches.

• die Ableitung vom $\ln$.

• die Kettenregel, wegen des $x^2$ im $\ln$.

Nullstellen der Ableitung bestimmen

Die Nullstellen der ersten Ableitung sind die Punkte, in der die Funktion die Steigung Null und somit waagerechte Tangenten besitzt. Diese Punkte sind die Kandidaten für die Extremstellen.