Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Graphen von f(x)f(x)f(x) und g(x)g(x)g(x)?
Stelle die Scheitelpunktgleichungen auf und vergleiche diese.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Scheitelpunkt einer Parabel
Lese den Scheitelpunkt der Funktion f(x)f(x)f(x) ab:
S(1âŁ4)S(1|4)S(1âŁ4)
Verwende die Scheitelform, um die Gleichung zu ermitteln.
f(x)=afâ (xâ1)2+4f(x)=a_f\cdot(x-1)^2+4f(x)=afââ (xâ1)2+4
Setze eine Punkt mit gut ablesbaren Koordinaten ein.
Mit P(0âŁ3)P(0|3)P(0âŁ3) gilt:
f(0)=af+43=af+4âŁâ4â1=af\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f\left(0\right)&=&a_f+4 \\3&=&a_f+4&|-4\\-1&=&a_f\end{array}f(0)3â1â===âafâ+4afâ+4afâââŁâ4â
Setze afa_fafâ in die Funktion ein.
f(x)=â(xâ1)2+4f\left(x\right)=-\left(x-1\right)^2+4f(x)=â(xâ1)2+4
Lese den Scheitelpunkt der Funktion g(x)g(x)g(x) ab:
S(1âŁ2)S(1|2)S(1âŁ2)
Verwende die Scheitelform, um die Gleichung der Funktion ermitteln.
g(x)=agâ (xâ1)2+2g(x)=a_g\cdot(x-1)^2+2g(x)=agââ (xâ1)2+2
Mit P(3âŁ0)P(3|0)P(3âŁ0) gilt:
g(3)=agâ 22+20=4â ag+2âŁâ2â2=4agâŁ:4â0,5=ag\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}g\left(3\right)&=&a_g\cdot2^2+2\\0&=&4\cdot a_g +2&|-2\\-2&=&4a_g&|:4\\-0{,}5&=&a_g\end{array}g(3)0â2â0,5â====âagââ 22+24â agâ+24agâagâââŁâ2âŁ:4â
Setze aga_gagâ in die Funktion ein.
g(x)=â0,5(xâ1)2+2g\left(x\right)=-0{,}5\left(x-1\right)^2+2g(x)=â0,5(xâ1)2+2
Die Scheitelpunkte und der Streckungsfaktor sind unterschiedlich.
Die beiden Funktionen schneiden die x-Achse beide in den Punkten P1(3â ââŁâ â0)P_1\left(\left.3\;\right|\;0\right)P1â(3âŁ0) und P2(â1â ââŁâ â0)P_2\left(\left.-1\;\right|\;0\right)P2â(â1âŁ0).
Kommentiere hier đ
Lese den Scheitelpunkt SSS von f(x)f(x)f(x) ab:
S(1âŁ1)S(1|1)S(1âŁ1)
f(x)=af(xâ1)2â1f\left(x\right)=a_f\left(x-1\right)^2-1f(x)=afâ(xâ1)2â1
Setze einen Punkt ein, dessen Koordinaten man gut ablesen kann.
Mit P(0âŁ0)P(0|0)P(0âŁ0) gilt:
f(0)=afâ10=afâ1âŁâ1â1=af\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f\left(0\right)&=&a_f-1\\0&=&a_f-1&|-1\\-1&=&a_f\end{array}f(0)0â1â===âafââ1afââ1afâââŁâ1â
Setze afa_fafâ in die Gleichung ein.
f(x)=(xâ1)2â1f\left(x\right)=\left(x-1\right)^2-1f(x)=(xâ1)2â1
Lese den Scheitelpunkt von g(x)g(x)g(x) ab:
g(x)=ag(xâ1)2+1g\left(x\right)=a_g\left(x-1\right)^2+1g(x)=agâ(xâ1)2+1
WĂ€hle z.B. P(0âŁ2)P(0|2)P(0âŁ2). Mit PPP gilt:
g(0)=ag+12=ag+1âŁâ1ag=1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}g\left(0\right)&=&a_g+1\\2&=&a_g+1&|-1\\a_g&=&1\end{array}g(0)2agââ===âagâ+1agâ+11ââŁâ1â
g(x)=(xâ1)2+1g\left(x\right)=\left(x-1\right)^2+1g(x)=(xâ1)2+1
Die beiden Funktionen haben den gleichen Streckungsfaktor aaa und die gleiche x-Komponente des Scheitelpunktes.
Die Funktionen unterscheiden sich lediglich in der y-Koponente des Scheitels.
Lese den Scheitelpunkt von f(x)f(x)f(x) ab:
S(2âŁ1)S(2|1)S(2âŁ1)
f(x)=afâ (xâ2)2+1f\left(x\right)=a_f\cdot\left(x-2\right)^2+1f(x)=afââ (xâ2)2+1
Mit P(1âŁ2)P(1|2)P(1âŁ2) gilt:
f(1)=af+12=af+1âŁâ11=af\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}f\left(1\right)&=&a_f+1\\2&=&a_f+1&|-1\\1&=&a_f\end{array}f(1)21â===âafâ+1afâ+1afâââŁâ1â
f(x)=(xâ2)2+1f\left(x\right)=\left(x-2\right)^2+1f(x)=(xâ2)2+1
g(x)=agâ (xâ2)2â1g\left(x\right)=a_g\cdot\left(x-2\right)^2-1g(x)=agââ (xâ2)2â1
Mit P(1âŁâ2)P(1|-2)P(1âŁâ2) gilt:
g(1)=agâ1â2=agâ1âŁ+1â1=ag\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}g\left(1\right)&=&a_g-1\\-2&=&a_g-1&|+1\\-1&=&a_g\end{array}g(1)â2â1â===âagââ1agââ1agâââŁ+1â
Setze aga_gagâ in die Gleichung ein.
g(x)=â(xâ2)2â1g\left(x\right)=-\left(x-2\right)^2-1g(x)=â(xâ2)2â1
g(x)g(x)g(x) ist die Spiegelung von f(x)f(x)f(x) an der x-Achse.
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