Gemischte Aufgaben zu Funktionen

Berechne die Tangente an den Graphen der gegebenen Funktion $f$ zum gegebenen Punkt $P$ .

- $f : x \mapsto x^{2}$
- $P (? | 16)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente bestimmen
Schnittpunkt bestimmen
Setze die bekannte y-Koordinate ein und löse nach x auf, um die vollständigen Koordinaten des Punktes P zu bekommen.
$\begin{array}{rcl} 16 & = & x^{2} \\ \Leftrightarrow x & = & \pm 4 \end{array} \Rightarrow P (4 | 16), P^{'} (- 4 | 16)$
Du siehst: Es gibt nicht nur einen, sondern sogar zwei Punkte mit y-Koordinate 16, die auf dem Graphen liegen. Du muss nun für beide Puntke die Tangente bestimmen.
Tangente an P bestimmen
Berechne die Ableitung am Punkt $P$ .
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & 2 x \\ f^{'} (4) & = & 8 \end{array}$
Damit hast du die Steigung $m$ . Setze damit die Tangentengleichung an und löse nach $t$ auf.
$\begin{array}{rcl} y & = & m x + t \\ 16 & = & 8 \cdot 4 + t \\ 16 & = & 32 + t \\ \Rightarrow t & = & - 16 \end{array}$
$\Rightarrow y = 8 x - 16$
Tangente an P' bestimmen
Berechne die Ableitung am Punkt $P^{'}$ .
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & 2 x \\ f^{'} (- 4) & = & - 8 \end{array}$
Damit hast du die Steigung $m^{'}$ . Setze damit die Tangentengleichung an und löse nach $t^{'}$ auf.
$\begin{array}{rcl} y^{'} & = m^{'} x + t^{'} \\ 16 & = - 8 \cdot - 4 + t^{'} \\ 16 & = 32 + t^{'} \\ \Rightarrow t^{'} & = - 16 \end{array}$
$\Rightarrow y^{'} = - 8 x - 16$
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Du kannst hier wie folgt vorgehen:
Zuerst bestimmst du die fehlende $x$ -Koordinate des Punktes $P$
Du wirst sehen: Es gibt zwei mögliche Werte für $x$ - also zwei Punktem an denen du die Tangente bestimmen sollst.
Berechne nun die Tangente an beiden Punkten
- $f : x \mapsto \ln (x) - 1$
- $P (e^{2} | ?)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente bestimmen
Schnittpunkt bestimmen
Setze die $x$ -Koordinate in $f$ ein und berechne so die $y$ -Koordinate.
$\begin{array}{rcl} y & = \ln (e^{2}) - 1 \\ y & = 2 \ln (e) - 1 \\ y & = 2 - 1 = 1 \end{array} \Rightarrow P (e^{2} | 1)$
Tangente bestimmen
Bestimme die Ableitung an der Stelle $e^{2}$ .
$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & \frac{1}{x} \\ f^{'} (e^{2}) & = & \frac{1}{e^{2}} \end{array}$
Stelle die Tangentengleichung auf, mit der Ableitung am Punkt $P$ als Steigung und berechne $t$
$\begin{array}{rcl} y & = & m x + t \\ 1 & = & \frac{1}{e^{2}} \cdot e^{2} + t \\ \Rightarrow t & = & 0 \end{array}$
$y = \frac{1}{e^{2}} x$
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Du kannst hier wie folgt vorgehen:
Berechne zuerst die vollständigen Koordinaten von P
Bestimme dann die Gleichung der Tangente am Punkt P

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Schnittpunkt bestimmen

Tangente an P bestimmen

Tangente an P' bestimmen

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Schnittpunkt bestimmen

Tangente bestimmen

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