Gemischte Aufgaben zu Funktionen

Berechne die Tangente an den Graphen der gegebenen Funktion $f$ zum gegebenen Punkt $P$ .

- $f: x \mapsto x^2$
- $P (? ∣ 16)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente bestimmen
Schnittpunkt bestimmen
Setze die bekannte y-Koordinate ein und löse nach x auf, um die vollständigen Koordinaten des Punktes P zu bekommen.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} 16&=&x^2 \\\Leftrightarrow \quad x&=&\pm 4 \end{array} \\\Rightarrow P(4|16), \quad P'(-4|16)$
Du siehst: Es gibt nicht nur einen, sondern sogar zwei Punkte mit y-Koordinate 16, die auf dem Graphen liegen. Du muss nun für beide Puntke die Tangente bestimmen.
Tangente an P bestimmen
Berechne die Ableitung am Punkt $P$ .
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f'(x)&=&2x\\ f'(4)&=&8 \end{array}$
Damit hast du die Steigung $m$ . Setze damit die Tangentengleichung an und löse nach $t$ auf.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}y&=&mx+t\\16&=&8\cdot 4+t\\16&=&32+t\\\Rightarrow t&=&-16\end{array}$
$\displaystyle \Rightarrow y=8x-16$
Tangente an P' bestimmen
Berechne die Ableitung am Punkt $P^{'}$ .
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f'(x)&=&2x\\ f'(-4)&=&-8 \end{array}$
Damit hast du die Steigung $m^{'}$ . Setze damit die Tangentengleichung an und löse nach $t^{'}$ auf.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}y'&=m'x+t'\\16&=-8\cdot -4+t'\\16&=32+t'\\\Rightarrow t'&=-16\end{array}$
$\displaystyle \Rightarrow y'=-8x-16$
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Du kannst hier wie folgt vorgehen:
Zuerst bestimmst du die fehlende $x$ -Koordinate des Punktes $P$
Du wirst sehen: Es gibt zwei mögliche Werte für $x$ - also zwei Punktem an denen du die Tangente bestimmen sollst.
Berechne nun die Tangente an beiden Punkten
- $f: x \mapsto \ln(x)-1$
- $P\left(e^2|?\right)$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente bestimmen
Schnittpunkt bestimmen
Setze die $x$ -Koordinate in $f$ ein und berechne so die $y$ -Koordinate.
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}y&=\ln\left(e^2\right)-1\\y&=2\ln(e)-1\\y&=2-1=1\end{array}\\\Rightarrow P\left(e^2\left|1\right)\right.$
Tangente bestimmen
Bestimme die Ableitung an der Stelle $e^{2}$ .
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}f'(x)&=&\dfrac{1}{x}\\\\f'(e^2)&=&\dfrac{1}{e^2}\end{array}$
Stelle die Tangentengleichung auf, mit der Ableitung am Punkt $P$ als Steigung und berechne $t$
$\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl} y &=& mx+t\\\\1 &=& \dfrac{1}{e^2}\cdot e^2 +t \\\\\Rightarrow t&=&0 \end{array}$
$\displaystyle y=\dfrac{1}{e^2}x$
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Du kannst hier wie folgt vorgehen:
Berechne zuerst die vollständigen Koordinaten von P
Bestimme dann die Gleichung der Tangente am Punkt P

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Schnittpunkt bestimmen

Tangente an P bestimmen

Tangente an P' bestimmen

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Schnittpunkt bestimmen

Tangente bestimmen

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