Schnittpunkt mit der x-Achse berechnen

Um den Schnittpunkt des Graphen $G_f$ mit der x-Achse zu berechnen, berechne die Nullstelle der Funktion.

Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen

Um den Schnittpunkt des Graphen $G_f$ mit der y-Achse zu berechnen, setze $x=0$ in die Funktion ein.

Hinweis: Zur Bestimmung des Grenzwerts für $x\to \infty$ kann z.B. zunächst im Zähler und im Nenner $e^x$ ausgeklammert werden.

Betrachte das asymptotische Verhalten der Funktion

Bestimme das Verhalten für $x\to \infty$.

$${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^x-4}{e^x+4}}$$

Klammere im Zähler und im Nenner je $e^x$ aus.

$${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^x(1-4\cdot e^{-x})}{e^x(1+4\cdot e^{-x})}}$$

Kürze $e^x$.

$${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1-4\cdot e^{-x}}{1+4\cdot e^{-x}}}$$

Führe die Grenzwertbetrachtung durch. Dabei wird $\underset{x\to \infty }{\lim }{e}^{-x}=0$.

$${\displaystyle =\frac{1-0}{1+0}=1}$$

Bestimme das Verhalten für $x\to -\infty$.

$${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{e^x-4}{e^x+4}}$$

Führe die Grenzwertbetrachtung durch. Dabei wird $\underset{x\to -\infty }{\lim }{e}^x=0$.

= $${\displaystyle \frac{0-4}{0+4}}$$

Forme um.

= $${\displaystyle \frac{-4}{4}=-1}$$

Hinweis zur Kontrolle:

Die erste Ableitung lautet $${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{8e^x}{(e^x+4{)}^2}}$$.

Berechne die Ableitung

Bilde die erste Ableitung der Funktion.

$${\displaystyle f^{\prime }(x)={\left(\frac{e^x-4}{e^x+4}\right)}^{\prime }}$$

Wende die Quotientenregel an.

$${\displaystyle =\frac{e^x(e^x+4)-e^x(e^x-4)}{(e^x+4{)}^2}}$$

Löse die Klammer im Zähler auf.

$${\displaystyle =\frac{e^{2x}+4e^x-e^{2x}+4e^x}{(e^x+4{)}^2}}$$

Vereinfache den Zähler.

$${\displaystyle =\frac{8e^x}{(e^x+4{)}^2}}$$

Bestimme das Monotonieverhalten

Da die erste Ableitung der Funktion $${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{8e^x}{(e^x+4{)}^2}}$$ für alle x-Werte größer als null ist, ist die Funktion streng monoton steigend.

Dass $${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{8e^x}{(e^x+4{)}^2}>0}$$ für alle x-Werte gilt, sieht man an der Exponentialfunktion im Zähler und dem quadratischen Ausdruck im Nenner. Beide sind stets größer als $0$.

Zeige, dass die Gerade n durch W verläuft

Um zu zeigen, dass die Gerade $n:y=-2x+\ln 16$ durch den Punkt $W(\ln 4|0)$ verläuft, setze den x-Wert in die Geradengleichung ein.

$-2\cdot (\ln 4)+\ln 16=0\Rightarrow -\ln 16+\ln 16=0$

Prüfe, ob dies mit der y-Koordinate des Punkts $W$ übereinstimmt.

Da der Funktionswert der Geraden $n$ an der Stelle der x-Koordinate des Punkts $W$ mit der y-Koordinate des Punkts $W$ übereinstimmt, liegt $W$ auf der Geraden $n$.

Bestimme die Steigung der Wendetangente

Berechne die Steigung der Wendetangente über die Steigung der Funktion im Wendepunkt $W(\ln 4|0)$.

Gib $f_1$ an

$f_1(x)=f(x+\ln 4)={\displaystyle \frac{e^{x+\ln 4}-4}{e^{x+\ln 4}+4}}={\displaystyle \frac{e^x\cdot e^{\ln 4}-4}{e^x\cdot e^{\ln 4}+4}}={\displaystyle \frac{e^x\cdot 4-4}{e^x\cdot 4+4}}={\displaystyle \frac{4\cdot (e^x-1)}{4\cdot (e^x+1)}}={\displaystyle \frac{e^x-1}{e^x+1}}$

$\Rightarrow f_1(x)={\displaystyle \frac{e^x-1}{e^x+1}}$

Zeige, dass $G_{f_1}$ punktsymmetrisch zum Ursprung ist

Bei Punktsymmetrie zum Ursprung gilt: $f(-x)=-f(x)$

$f_1(-x)={\displaystyle \frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{e^x}}-1}{{\displaystyle \frac{1}{e^x}}+1}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1-e^x}{e^x}}}{{\displaystyle \frac{1+e^x}{e^x}}}}={\displaystyle \frac{1-e^x}{1+e^x}}={\displaystyle \frac{-(e^x-1)}{e^x+1}}=-{\displaystyle \frac{e^x-1}{e^x+1}}=-f_1(x)✓$

Welche Bedeutung hat in diesem Fall der Punkt $W$ für $G_{f_1}$?

$W$ ist in diesem Fall die Nullstelle von $G_{f_1}$ und ist weiterhin auch Wendepunkt.

Hinweis: Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden. Sie dient nur der Veranschaulichung.