Schnittpunkt mit der x-Achse berechnen

Um den Schnittpunkt des Graphen $G_{f}G\_f$ mit der x-Achse zu berechnen, berechne die Nullstelle der Funktion.

Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen

Um den Schnittpunkt des Graphen $G_{f}G\_f$ mit der y-Achse zu berechnen, setze $x=0x=\; 0$ in die Funktion ein.

Hinweis: Zur Bestimmung des Grenzwerts für $x\to \mathrm{\infty }x\; \backslash rightarrow\; \backslash infty$ kann z.B. zunächst im Zähler und im Nenner $e^{x}e^x$ ausgeklammert werden.

Betrachte das asymptotische Verhalten der Funktion

Bestimme das Verhalten für $x\to \mathrm{\infty }x\; \backslash rightarrow\; \backslash infty$.

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x-4}{e^x+4}}\backslash displaystyle\; \backslash lim\; \backslash limits\_\{x\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{e^x\; -4\}\; \{e^x+4\}$

Klammere im Zähler und im Nenner je $e^{x}e^x$ aus.

${\displaystyle =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x(1-4\cdot e^{-x})}{e^x(1+4\cdot e^{-x})}}\backslash displaystyle\; =\; \backslash lim\; \backslash limits\_\{x\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{e^x\backslash left(1\; -\; 4\; \backslash cdot\; e^\{-x\}\backslash right)\}\; \{e^x\backslash left(\; 1\; +\; 4\backslash cdot\; e^\{-x\}\backslash right)\}$

Kürze $e^{x}e^x$.

${\displaystyle =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1-4\cdot e^{-x}}{1+4\cdot e^{-x}}}\backslash displaystyle\; =\; \backslash lim\; \backslash limits\_\{x\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{1\; -\; 4\; \backslash cdot\; e^\{-x\}\}\; \{\; 1\; +\; 4\backslash cdot\; e^\{-x\}\}$

Führe die Grenzwertbetrachtung durch. Dabei wird $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-x}=0\backslash lim\; \backslash limits\_\{x\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; e^\{-x\}\; =\; 0$.

${\displaystyle =\frac{1-0}{1+0}=1}\backslash displaystyle\; =\; \backslash frac\{1\; -\; 0\}\; \{\; 1\; +\; 0\}\; =1$

Bestimme das Verhalten für $x\to -\mathrm{\infty }x\; \backslash rightarrow\; -\backslash infty$.

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x-4}{e^x+4}}\backslash displaystyle\; \backslash lim\; \backslash limits\_\{x\; \backslash rightarrow\; -\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{e^x\; -4\}\; \{e^x+4\}$

Führe die Grenzwertbetrachtung durch. Dabei wird $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^x=0\backslash lim\; \backslash limits\_\{x\; \backslash rightarrow\; -\; \backslash infty\}\; e^\{x\}\; =\; 0$.

= ${\displaystyle \frac{0-4}{0+4}}\backslash displaystyle\; \backslash frac\{0\; -4\}\; \{0+4\}$

Forme um.

= ${\displaystyle \frac{-4}{4}=-1}\backslash displaystyle\; \backslash frac\{-4\}\; \{4\}\; =\; -1$

Hinweis zur Kontrolle:

Die erste Ableitung lautet ${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=8\cdot \frac{\exp (x)}{(\exp (x)+4{)}^2}}\backslash displaystyle\; f\text{'}(x)\; =\; 8\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash exp(x)\}\{(\backslash exp(x)\; +\; 4)^2\}$.

Berechne die Ableitung

Bilde die erste Ableitung der Funktion.

${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)={\left(\frac{e^x-4}{e^x+4}\right)}^{\mathrm{\prime }}}\backslash displaystyle\; f\text{'}(x)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{e^x-4\}\{e^x\; +\; 4\}\backslash right)\text{'}$

Wende die Quotientenregel an.

${\displaystyle =\frac{e^x(e^x+4)-e^x(e^x-4)}{(e^x+4{)}^2}}\backslash displaystyle\; =\; \backslash frac\{e^x(e^x+4)\; -\; e^x(e^x-4)\}\{(e^x+4)^2\}$

Löse die Klammer im Zähler auf.

${\displaystyle =\frac{e^{2x}+4e^x-e^{2x}+4e^x}{(e^x+4{)}^2}}\backslash displaystyle\; =\; \backslash frac\{e^\{2x\}\; +4\; e^x\; -\; e^\{2x\}\; +\; 4\; e^x\}\{(e^x+4)^2\}$

Vereinfache den Zähler.

${\displaystyle =\frac{8e^x}{(e^x+4{)}^2}}\backslash displaystyle\; =\; \backslash frac\{8\; e^x\}\{(e^x+4)^2\}$

Bestimme das Monotonieverhalten

Da die erste Ableitung der Funktion ${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{8e^x}{(e^x+4{)}^2}}\backslash displaystyle\; f\text{'}(x)\; =\; \backslash frac\{8\; e^x\}\{(e^x+4)^2\}$ für alle x-Werte größer als Null ist, ist die Funktion streng monoton steigend.

Dass ${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{8e^x}{(e^x+4{)}^2}>0}\backslash displaystyle\; f\text{'}(x)\; =\; \backslash frac\{8\; e^x\}\{(e^x+4)^2\}\; >\; 0$ für alle x-Werte gilt, sieht man an der Exponentialfunktion im Zähler und dem quadratischen Ausdruck im Nenner. Beide sind stets größer als 0.

Zeige, dass die Gerade n durch W verläuft

Um zu zeigen, dass die Gerade $n:-x+\ln 4n:\; -x\; +\; \backslash ln\; 4$ durch den Punkt W (ln 4 | 0) verläuft, setze den x-Wert in Geradengleichung ein.

Da der Funktionswert der Geraden n an der Stelle der x-Koordinate des Punkts W mit der y-Koordinate des Punkts W übereinstimmt, liegt W auf der Geraden n.

Bestimme die Wendetangente

Stelle für die Wendetangente zunächst eine allgemeine Geradengleichung auf.

Zeige, dass die Wendetangente senkrecht auf der Geraden n steht