Nein, eine solche Funktion gibt es nicht.

Begründung:

Die Funktion $f:x\mapsto x$ liefert die beiden Funktionswerte $f(0)=0$ und $f(1)=1$, hat aber Steigung 1. Hat nun eine Funktion mit $f(0)=0$ immer eine Steigung kleiner 1, wie gefordert, dann ist sie für positive $x$ immer kleiner als $f$ und erreicht nie den Punkt $(1|1)$.

Nein, eine solche Funktion gibt es nicht.

Begründung:

Bei stetigen Funktionen liegt zwischen zwei Nullstellen immer ein Extremum, da der Funktionsgraph "umkehren" muss, um wieder die x-Achse zu erreichen. Da an der Stelle des Extremums immer $f^{\prime }(x_E)=0$ gilt, sind die Bedingungen nicht erfüllt.

Nein, eine solche Funktion gibt es nicht.

Begründung:

Die zweite Bedingung zeigt dir, dass der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll. Dann kann der Funktionsgraph aber nicht gleichzeitig streng monoton steigen $(f^{\prime }(x)>0\forall x\in {𝔻}_f)$, wie du dir anhand einer Skize veranschaulichen kannst.

Ja, eine solche Funktion existiert. Beispiel:

$f(x)=e^{-x}$

Bei dieser Funktion erhältst du die Ableitung $f^{\prime }(x)=-e^{-x}=-f(x)$

Ja, eine solche Funktion existiert. Um das besser erkennen zu können kannst du die Gleichung umschreiben:

$\begin{array}{rcll}& f(x)\cdot f^{\prime }(x)& =& 1\\ \iff & f^{\prime }(x)& =& \frac{1}{f(x)}\end{array}$

Nun suchst du eine Funktion, die beim Ableiten selbst im Nenner auftaucht. Das gilt für die Wurzelfuntion mit ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$. Den störenden Faktor $\frac{1}{2}$ wirst du nun durch das Nachdifferenzieren los, wenn du die Wurzelfunktion geeignet veränderst:

$${\displaystyle {\left(\sqrt{2x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{2x}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x}}}$$.

Die gesuchte Funktion ist damit $f:x\mapsto \sqrt{2x}$.