Nein, eine solche Funktion gibt es nicht.

Begründung:

Die Funktion $f:x\mapsto xf:\; x\; \backslash mapsto\; x$ liefert die beiden Funktionswerte $f(0)=0f(0)=0$ und $f(1)=1f(1)=1$, hat aber Steigung 1. Hat nun eine Funktion mit $f(0)=0f(0)=0$ immer eine Steigung kleiner 1, wie gefordert, dann ist sie für positive $xx$ immer kleiner als $ff$ und erreicht nie den Punkt $(1\mathrm{\mid }1)(1|1)$.

Nein, eine solche Funktion gibt es nicht.

Begründung:

Bei stetigen Funktionen liegt zwischen zwei Nullstellen immer ein Extremum, da der Funktionsgraph "umkehren" muss, um wieder die x-Achse zu erreichen. Da an der Stelle des Extremums immer $f^{\mathrm{\prime }}(x_E)=0f\text{'}(x\_E)=0$ gilt, sind die Bedingungen nicht erfüllt.

Nein, eine solche Funktion gibt es nicht.

Begründung:

Die zweite Bedingung zeigt dir, dass der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll. Dann kann der Funktionsgraph aber nicht gleichzeitig streng monoton steigen $(f^{\mathrm{\prime }}(x)>0\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{D}}_f)(f\text{'}(x)\; \backslash gt\; 0\; ~\backslash forall\; x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{D\}\_f)$, wie du dir anhand einer Skize veranschaulichen kannst.

Ja, eine solche Funktion existiert. Beispiel:

$f(x)=e^{-x}f(x)=e^\{-x\}$

Bei dieser Funktion erhältst du die Ableitung $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^{-x}=-f(x)f\text{'}(x)=-e^\{-x\}=-f(x)$

Ja, eine solche Funktion existiert. Um das besser erkennen zu können kannst du die Gleichung umschreiben:

Nun suchst du eine Funktion, die beim Ableiten selbst im Nenner auftaucht. Das gilt für die Wurzelfuntion mit ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}\backslash left(\backslash sqrt\{x\}\backslash right)\text{'}=\backslash dfrac\{1\}\{2\backslash sqrt\{x\}\}$. Den störenden Faktor $\frac{1}{2}\backslash frac\{1\}\{2\}$ wirst du nun durch das Nachdifferenzieren los, wenn du die Wurzelfunktion geeignet veränderst:

${\displaystyle {\left(\sqrt{2x}\right)}^{\mathrm{\prime }}=\frac{1}{2\sqrt{2x}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x}}}\backslash displaystyle\; \backslash left(\backslash sqrt\{2x\}\backslash right)\text{'}=\backslash frac\{1\}\{2\backslash sqrt\{2x\}\}\backslash cdot\; 2=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2x\}\}$.

Die gesuchte Funktion ist damit $f:x\mapsto \sqrt{2x}f:\; x\; \backslash mapsto\; \backslash sqrt\{2x\}$.