Setze $x=0x=0$ in $f_a(x)f\_a(x)$ ein.

${\displaystyle f_a(0)=e^{-a\cdot 0}+e^{a\cdot 0}=2}\backslash displaystyle\; f\_a(0)=e^\{-a\backslash cdot0\}+e^\{a\backslash cdot\; 0\}\; =2$

Also liegt der Punkt $P(0\mathrm{\mid }2)P(0|2)$ unabhängig von $aa$ immer auf dem Graphen von $f_{a}f\_a$.

Aus den Graphen erkennst du Folgendes:

• Die $ee$- Funktion ist stets positiv,

• Für positive $xx$ ist $e^{ax}>1e^\{ax\}\; \backslash gt\; 1$,

• Die Differenz $(e^{ax}-1)-(e^{a(-x)}-1)\ge 0\backslash left(e^\{ax\}-1\backslash right)-\backslash left(e^\{a(-x)\}-1\backslash right)\; \backslash geq\; 0$, da $e^{ax}e^\{ax\}$ für größere $xx$ immer stärker ansteigt (Der Abstand zur gestrichelten Linie ist rechts größer als links).

Damit ist ${\displaystyle f\mathrm{\_}a(x)=2+e^{ax}-1+e^{-ax}-1=2+\underbrace{(e^{ax}-1)-(e^{-ax}-1)}\mathrm{\_}\ge 0+\underbrace{2e^{-ax}}\mathrm{\_}\ge 0\ge 2}\backslash displaystyle\; f\backslash \_a(x)=2\; +\; e^\{ax\}-1\; +\; e^\{-ax\}-1\; =\; 2+\; \backslash underbrace\{\backslash left(e^\{ax\}-1\backslash right)\; -\; \backslash left(e^\{-ax\}-1\backslash right)\}\backslash \_\{\backslash geq\; 0\}\; +\; \backslash underbrace\{2e^\{-ax\}\}\backslash \_\{\backslash geq\; 0\}\; \backslash geq\; 2$ und der Punkt $PP$ hat den kleinstmöglichen y-Wert ($y=2y=2$) und ist damit ein globales Minimum.

Beim Spiegeln an der x-Achse setzt du vor die Funktion ein Minus. Betrachte jetzt den Punkt $PP$.

Beim Spiegeln an der Achse $y=2y=2$ bleibt er an Ort und Stelle. Spiegelst du ihn aber an der x-Achse, lautet der Spiegelpunkt $P^{\mathrm{\prime }}(0\mathrm{\mid }-2)P\text{'}(0|-2)$. Um die Koordinaten wieder anzupassen, musst du den Punkt um 4 in positive y-Richtung verschieben. Das funktioniert auch mit der ganzen Funktion.

Als Funktionenschar $g\mathrm{\_}ag\backslash \_a$ erhältst du ${\displaystyle g_a(x)=-(e^{-ax}+e^{ax})+4}\backslash displaystyle\; g\_a(x)=-\backslash left(e^\{-ax\}+e^\{ax\}\backslash right)\; +4$

Anschauung