Setze $x=0$ in $f_a(x)$ ein.

$${\displaystyle f_a(0)=e^{-a\cdot 0}+e^{a\cdot 0}=2}$$

Also liegt der Punkt $P(0|2)$ unabhängig von $a$ immer auf dem Graphen von $f_a$.

Aus den Graphen erkennst du Folgendes:

• Die $e$- Funktion ist stets positiv,

• Für positive $x$ ist $e^{ax}>1$,

• Die Differenz $(e^{ax}-1)-(e^{a(-x)}-1)\ge 0$, da $e^{ax}$ für größere $x$ immer stärker ansteigt (Der Abstand zur gestrichelten Linie ist rechts größer als links).

Damit ist $${\displaystyle f\_a(x)=2+e^{ax}-1+e^{-ax}-1=2+\underbrace{(e^{ax}-1)-(e^{-ax}-1)}\_\ge 0+\underbrace{2e^{-ax}}\_\ge 0\ge 2}$$ und der Punkt $P$ hat den kleinstmöglichen y-Wert ($y=2$) und ist damit ein globales Minimum.

Beim Spiegeln an der x-Achse setzt du vor die Funktion ein Minus. Betrachte jetzt den Punkt $P$.

Beim Spiegeln an der Achse $y=2$ bleibt er an Ort und Stelle. Spiegelst du ihn aber an der x-Achse, lautet der Spiegelpunkt $P^{\prime }(0|-2)$. Um die Koordinaten wieder anzupassen, musst du den Punkt um 4 in positive y-Richtung verschieben. Das funktioniert auch mit der ganzen Funktion.

Als Funktionenschar $g\_a$ erhältst du $${\displaystyle g_a(x)=-(e^{-ax}+e^{ax})+4}$$

Anschauung