Steckbriefaufgaben - lernen mit Serlo!

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Aufgaben mit nichtrationalen Funktionen

Bestimme eine Exponentialfunktion der Form $f\left(x\right)=a^x+b$ welche durch die Punkte $P_{1} (1 ∣ 4)$ und $P_2(-1|\ \frac{4}{3})$ geht.

Diese Gleichung kann man nun mit der Mitternachtsformel lösen:

$x_{1{,}2}=\frac{4}{3}\pm\sqrt{\frac{16}{9}+1}=\frac{4}{3}\pm\sqrt{25/9}$

$x_{1} = 3$

$x_2=-\frac{1}{3}$ (negative Basen entfallen bei Exponentialfunktionen)

Die Lösung $x_{1} = 3$ kann man nun in die erste Funktionsgleichung einsetzen:

$4 = 3^{1} + b$ und erhält $b = 1$

Die gesuchte Funktionsgleichung ist dann also $f\left(x\right)=3^x+1$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Setze die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein:

$4=a_{ }^1+b$

$\frac{4}{3}=a^{-1}+b$

und löse das Gleichungssystem.

Die erste Zeile kann man nach b auflösen:

$b = 4 - a^{1}$ und in die zweite Zeile einsetzen:

Gesucht ist eine Funktion der Form $f(x)=\log_a x$ . Die Funktion geht durch den Punkt $P (8 ∣ 1.5)$ . Ermittle die Funktionsgleichung.

$\displaystyle 1.5$	$=$	$\displaystyle \log_a8$
	↓	Das kann man nach der Definition des Logarithmus umschreiben zu:
$\displaystyle a^{1.5}$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	Den rationalen Expoenten kann man umschreiben zu:
$\displaystyle a^{\frac{3}{2}}$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	$\frac{3}{2}$ ist das Gleiche wie $3\cdot\frac{1}{2}$
$\displaystyle a^{3\cdot\frac{1}{2}}$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	Nach dem dritten Potenzgesetz kann man das wiederum schreiben als:
$\displaystyle \left(a^3\right)^{\frac{1}{2}}$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	oder als:
$\displaystyle \sqrt {a^3}$	$=$	$\displaystyle 8$
	↓	quadrieren
$\displaystyle a^3$	$=$	$\displaystyle 64$
	↓	dritte Wurzel ziehen
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 4$

Damit ist die gesuchte Basis gefunden und die Lösung ist $f(x)=\log_4 x$

Setze für x und y die gegebenen Werte des Punktes ein und löse nach a auf: