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Aufgaben mit nichtrationalen Funktionen

Bestimme eine Exponentialfunktion der Form $f (x) = a^{x} + b$ welche durch die Punkte $P_{1} (1 | 4)$ und $P_{2} (- 1 | \frac{4}{3})$ geht.

$\frac{4}{3}$ $=$ $a^{- 1} + (4 - a^{1})$ $U m f o r m e n$
↓
(Klammern weglassen)
$\frac{4}{3}$ $=$ $a^{- 1} + 4 - a^{1}$ $U m f o r m e n$
↓
Umschreiben der Potenzen
$\frac{4}{3}$ $=$ $\frac{1}{a} + 4 - a^{}$ $- 4$
$- \frac{8}{3}$ $=$ $\frac{1}{a} - a$ $\cdot a_{}$
$- \frac{8}{3} a$ $=$ $1 - a^{2}$ $+ a^{2} - 1$
$0$ $=$ $a^{2} - \frac{8}{3} a - 1$
Diese Gleichung kann man nun mit der Mitternachtsformel lösen:
$x_{1,2} = \frac{4}{3} \pm \sqrt{\frac{16}{9} + 1} = \frac{4}{3} \pm \sqrt{25 / 9}$
$x_{1} = 3$
$x_{2} = - \frac{1}{3}$ (negative Basen entfallen bei Exponentialfunktionen)
Die Lösung $x_{1} = 3$ kann man nun in die erste Funktionsgleichung einsetzen:
$4 = 3^{1} + b$ und erhält $b = 1$
Die gesuchte Funktionsgleichung ist dann also $f (x) = 3^{x} + 1$
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Setze die gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein:
$4 = a_{}^{1} + b$
$\frac{4}{3} = a^{- 1} + b$
und löse das Gleichungssystem.
Die erste Zeile kann man nach b auflösen:
$b = 4 - a^{1}$ und in die zweite Zeile einsetzen:

Gesucht ist eine Funktion der Form $f (x) = \log_{a} x$ . Die Funktion geht durch den Punkt $P (8 | 1.5)$ . Ermittle die Funktionsgleichung.

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