Aufstellen der Kugelgleichung

Punkt $A(-3\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }4)A(-3|2|4)$, $M(-1\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }4)M(-1|2|4)$, $r=2r=2$

$K:(\vec{x}-\vec{m}{)}^2=r^{2}K:\backslash \; (\backslash vec\{x\}-\backslash vec\{m\})^2=r^2$

$K:{(\vec{x}-\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 4\end{array}\right))}^2=2^2=4K:\backslash \; \backslash left(\backslash vec\; x-\backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}\backslash right)^2=2^2=4$

Punkt $AA$ in $KK$ einsetzen

Überprüfe, ob der Punkt $AA$ die Kugelgleichung erfüllt. Wenn $AA$ auf der Kugel liegt, ist die folgende Gleichung richtig:

${(\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 4\end{array}\right))}^{2}4\backslash left(\backslash begin\{pmatrix\}-3\backslash \backslash 2\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}-\backslash begin\{pmatrix\}-1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}\backslash right)^2\backslash stackrel\{?\}\{=\}4$

Rechne die linke Seite der Gleichung nach: Berechne die Differenz der beiden Vektoren und bilde dann das Skalarprodukt.

${\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}-2\\ 0\\ 0\end{array}\right)=(-2)\cdot (-2)+0+0=4\backslash begin\{pmatrix\}-2\backslash \backslash 0\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}^2=\backslash begin\{pmatrix\}-2\backslash \backslash 0\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}\backslash circ\; \backslash begin\{pmatrix\}-2\backslash \backslash 0\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}=(-2)\backslash cdot\; (-2)+0+0=4$

Antwort: Der Punkt $AA$ erfüllt die Kugelgleichung $KK$, d.h. er liegt auf der Kugel.

Aufstellen der Kugelgleichung

Punkt $B(1\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }2)B(1|2|2)$, $M(1\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }1)M(1|0|1)$, $r=3r=3$

$K:(\vec{x}-\vec{m}{)}^2=r^{2}K:\backslash \; (\backslash vec\{x\}-\backslash vec\{m\})^2=r^2$

$K:{(\vec{x}-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right))}^2=3^2=9K:\backslash \; \backslash left(\backslash vec\; x-\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 0\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}\backslash right)^2=3^2=9$

Punkt $BB$ in $KK$ einsetzen

Überprüfe, ob der Punkt $BB$ die Kugelgleichung erfüllt. Wenn $BB$ auf der Kugel liegt, ist die folgende Gleichung richtig:

${(\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right))}^{2}9\backslash left(\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 2\backslash \backslash 2\backslash end\{pmatrix\}-\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 0\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}\backslash right)^2\backslash stackrel\{?\}\{=\}9$

Rechne die linke Seite der Gleichungs nach: Berechne die Differenz der beiden Vektoren und bilde dann das Skalarprodukt.

Antwort: Der Punkt $BB$ erfüllt die Kugelgleichung $KK$ nicht.

Da ist, liegt der Punkt $BB$ innerhalb der Kugel $KK$.

Aufstellen der Kugelgleichung

Punkt $C(3\mathrm{\mid }3\mathrm{\mid }4)C(3|3|4)$, $M(2\mathrm{\mid }-1\mathrm{\mid }3)M(2|-1|3)$, $r=4r=4$

$K:(\vec{x}-\vec{m}{)}^2=r^{2}K:\backslash \; (\backslash vec\{x\}-\backslash vec\{m\})^2=r^2$

$K:{(\vec{x}-\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right))}^2=4^2=16K:\backslash \; \backslash left(\backslash vec\; x-\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash -1\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}\backslash right)^2=4^2=16$

Punkt $CC$ in $KK$ einsetzen

Überprüfe, ob der Punkt $CC$ die Kugelgleichung erfüllt. Wenn $CC$ auf der Kugel liegt, ist die folgende Gleichung richtig:

${(\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right))}^{2}16\backslash left(\backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash 3\backslash \backslash 4\backslash end\{pmatrix\}-\backslash begin\{pmatrix\}2\backslash \backslash -1\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}\backslash right)^2\backslash stackrel\{?\}\{=\}16$

Rechne die linke Seite der Gleichung nach: Berechne die Differenz der beiden Vektoren und bilde dann das Skalarprodukt.

${\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right)=1\cdot 1+4\cdot 4+1\cdot 1=1+16+1=18>16\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 4\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}^2=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 4\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}\backslash circ\; \backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 4\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}=1\; \backslash cdot\; 1+4\backslash cdot\; 4+1\backslash cdot\; 1\; =1+16+1=18>16$

Antwort: Der Punkt $CC$ erfüllt die Kugelgleichung $KK$ nicht.

Da $18>1618>16$ ist, liegt der Punkt $CC$ außerhalb der Kugel $KK$.