Aufgaben zur Kugelgleichung
Hier findest du Aufgaben rund um die Kugelgleichung. Lerne, die Kugelgleichung aufzustellen, Punktproben durchzuführen und vieles mehr!
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Wie lautet die Gleichung einer Kugel K mit dem Mittelpunkt M(1∣3∣2) und dem Radius r=3 ?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Setze die gegebenen Werte M(1∣3∣2) und r=3 in die Kugelgleichung ein:
(x−m)2 = r2 ↓Setze M(1∣3∣2) und r=3 ein.
x−1322 = 32 x−1322 = 9 Die Kugelgleichung in Vektorform lautet K: x−1322=9.
Diese Gleichung kann auch folgendermaßen geschrieben werden:
K: x−132∘x−132=9.
Als Koordinatengleichung erhältst du:
K: (x1−1)2+(x2−3)2+(x3−2)2=9
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Gegeben ist eine Kugel mit Mittelpunkt M und Radius r.
Prüfe, ob der jeweilige Punkt
in der Kugel,
auf der Kugel oder
außerhalb der Kugel
liegt.
Punkt A(−3∣2∣4), M(−1∣2∣4), r=2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Aufstellen der Kugelgleichung
Punkt A(−3∣2∣4), M(−1∣2∣4), r=2
K: (x−m)2=r2
K: x−−1242=22=4
Punkt A in K einsetzen
Überprüfe, ob der Punkt A die Kugelgleichung erfüllt. Wenn A auf der Kugel liegt, ist die folgende Gleichung richtig:
−324−−1242=?4
Rechne die linke Seite der Gleichung nach: Berechne die Differenz der beiden Vektoren und bilde dann das Skalarprodukt.
−2002=−200∘−200=(−2)⋅(−2)+0+0=4
Antwort: Der Punkt A erfüllt die Kugelgleichung K, d.h. er liegt auf der Kugel.
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Stelle die Kugelgleichung K in vektorieller Form auf und setze den Punkt A in die Gleichung K ein.
Punkt B(1∣2∣2), M(1∣0∣1), r=3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Aufstellen der Kugelgleichung
Punkt B(1∣2∣2), M(1∣0∣1), r=3
K: (x−m)2=r2
K: x−1012=32=9
Punkt B in K einsetzen
Überprüfe, ob der Punkt B die Kugelgleichung erfüllt. Wenn B auf der Kugel liegt, ist die folgende Gleichung richtig:
122−1012=?9
Rechne die linke Seite der Gleichungs nach: Berechne die Differenz der beiden Vektoren und bilde dann das Skalarprodukt.
0212=021∘021=0+2⋅2+1⋅1=4+1=5<9
Antwort: Der Punkt B erfüllt die Kugelgleichung K nicht.
Da 5<9 ist, liegt der Punkt B innerhalb der Kugel K.
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Stelle die Kugelgleichung K in vektorieller Form auf und setze den Punkt B in die Gleichung K ein.
Punkt C(3∣3∣4), M(2∣−1∣3), r=4
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Aufstellen der Kugelgleichung
Punkt C(3∣3∣4), M(2∣−1∣3), r=4
K: (x−m)2=r2
K: x−2−132=42=16
Punkt C in K einsetzen
Überprüfe, ob der Punkt C die Kugelgleichung erfüllt. Wenn C auf der Kugel liegt, ist die folgende Gleichung richtig:
334−2−132=?16
Rechne die linke Seite der Gleichung nach: Berechne die Differenz der beiden Vektoren und bilde dann das Skalarprodukt.
1412=141∘141=1⋅1+4⋅4+1⋅1=1+16+1=18>16
Antwort: Der Punkt C erfüllt die Kugelgleichung K nicht.
Da 18>16 ist, liegt der Punkt C außerhalb der Kugel K.
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Stelle die Kugelgleichung K in vektorieller Form auf und setze den Punkt C in die Gleichung K ein.
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Gesucht ist die Vektorgleichung einer Kugel K mit folgenden Eigenschaften:
der Kugelmittelpunkt ist M(1∣2∣1)
die Kugel geht durch den Punkt P(2∣5∣3).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Kugelgleichung
(x−m)2 = r2 ↓Setze M ein.
x−1212 = r2 ↓Setze P ein.
253−1212 = r2 ↓vereinfache
1322 = r2 ↓Rechne das Skalarprodukt aus
1⋅1+3⋅3+2⋅2 = r2 ↓vereinfache
14 = r2 ↓Der Radius ist positiv, daher entfällt die negative Wurzel.
14 = r Setze den gefundenen Radius r=14 in die Kugelgleichung ein.
x−1212=(14)2=14
Antwort: Die Kugel mit der Gleichung K: x−1212=14 hat die beiden geforderten Eigenschaften.
Erstelle die Kugelgleichung mit unbekanntem Radius r. Setze dann die Koordinaten des Punktes P für den Vektor x ein und rechne r aus.
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Die gegebene quadratische Gleichung stellt eine Kugel K dar. Bestimme den Mittelpunkt M und den Radius r der Kugel.
K: x12+x22+x32−4x1+8x3=−11
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
x12+x22+x32−4x1+8x3 = −11 ↓linke Seite sortieren
x12−4x1+x22+x32+8x3 = −11 ↓quadratische Ergänzung anwenden
(x12−4x1+4−4)+x22+(x32+8x3+16−16) = −11 ↓binomische Formel anwenden
(x1−2)2−4+(x2−0)2+(x3+4)2−16 = −11 ↓linke Seite vereinfachen
(x1−2)2+(x2−0)2+(x3+4)2−20 = −11 +20 (x1−2)2+(x2−0)2+(x3+4)2 = 9 Die allgemeine Koordinatenform lautet:
K: (x1−m1)2+(x2−m2)2+(x3−m3)2=r2
Vergleichst du die erhaltene quadratische Gleichung mit der allgemeinen Form, so kannst du die Mittelpunktskoordinaten und den Radius ablesen: M(2∣0∣−4)
Da r2=9 ist, hat die Kugel einen Radius von r=3.
Antwort: Der Kugelmittelpunkt hat die Koordinaten M(2∣0∣−4) und der Radius ist r=3.
Sortiere die linke Seite der quadratischen Gleichung so, dass du mit Hilfe der quadratischen Ergänzung jeweils ein quadriertes Binom entsteht. Aus der dann erhaltenen Gleichung kannst du die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius ablesen.
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Gegeben ist eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M(4∣−1∣z) und dem Radius r=3. Bestimme z so, dass der Punkt P(6∣1∣3) auf der Kugel K liegt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Stelle die Kugelgleichung auf:
K: x−4−1z2=32=9
Setze die Punktkoordinaten von P für den Vektor x in K ein.
x−4−1z2 = 9 ↓Den Punkt P einsetzen.
613−4−1z2 = 9 ↓Die linke Seite vereinfachen.
6−41−(−1)3−z2 = 9 223−z2 = 9 ↓Berechne das Skalarprodukt.
22+22+(3−z)2 = 9 ↓Vereinfache und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
4+4+9−6z+z2 = 9 ↓Fasse die linke Seite zusammen.
z2−6z+17 = 9 −9 z2−6z+8 = 0 Du hast eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten z erhalten. Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für p und q ab: p=−6, q=8
z1,2= = −2p±(2p)2−q ↓Setze die Werte für p und q ein.
= −2(−6)±(2−6)2−8 ↓Vereinfache.
= 3±9−8 = 3±1 = 3±1 z1 = 2 z2 = 4 Antwort: Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge L={2;4}.
Da es für z zwei Lösungen gibt, existieren auch zwei verschiedene Mittelpunkte. Es gibt demnach zwei Kugeln mit dem Radius r=3, auf denen der Punkt P liegt.
z1=2⇒ M1(4∣−1∣2)
z2=4⇒ M1(4∣−1∣4)
Stelle die Kugelgleichung K auf. Setze die Punktkoordinaten von P für den Vektor x ein und berechne das Skalarprodukt. Löse die erhaltene quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel oder der pq-Formel.
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