Aufgaben zur Kugelgleichung

1

Wie lautet die Gleichung einer Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M (1 ∣ 3 ∣ 2)$ und dem Radius $r = 3$ ?

2

Gegeben ist eine Kugel mit Mittelpunkt $M$ und Radius $r$ .

Prüfe, ob der jeweilige Punkt

in der Kugel,
auf der Kugel oder
außerhalb der Kugel

liegt.

Punkt $A (- 3 ∣ 2 ∣ 4)$ , $M (- 1 ∣ 2 ∣ 4)$ , $r = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Aufstellen der Kugelgleichung
Punkt $A (- 3 ∣ 2 ∣ 4)$ , $M (- 1 ∣ 2 ∣ 4)$ , $r = 2$
$K:\ (\vec{x}-\vec{m})^2=r^2$
$K:\ \left(\vec x-\begin{pmatrix}-1\\2\\4\end{pmatrix}\right)^2=2^2=4$
Punkt $A$ in $K$ einsetzen
Überprüfe, ob der Punkt $A$ die Kugelgleichung erfüllt. Wenn $A$ auf der Kugel liegt, ist die folgende Gleichung richtig:
$\left(\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\2\\4\end{pmatrix}\right)^2\stackrel{?}{=}4$
Rechne die linke Seite der Gleichung nach: Berechne die Differenz der beiden Vektoren und bilde dann das Skalarprodukt.
$\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}=(-2)\cdot (-2)+0+0=4$
Antwort: Der Punkt $A$ erfüllt die Kugelgleichung $K$ , d.h. er liegt auf der Kugel.
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Stelle die Kugelgleichung $K$ in vektorieller Form auf und setze den Punkt $A$ in die Gleichung $K$ ein.
Punkt $B (1 ∣ 2 ∣ 2)$ , $M (1 ∣ 0 ∣ 1)$ , $r = 3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Aufstellen der Kugelgleichung
Punkt $B (1 ∣ 2 ∣ 2)$ , $M (1 ∣ 0 ∣ 1)$ , $r = 3$
$K:\ (\vec{x}-\vec{m})^2=r^2$
$K:\ \left(\vec x-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right)^2=3^2=9$
Punkt $B$ in $K$ einsetzen
Überprüfe, ob der Punkt $B$ die Kugelgleichung erfüllt. Wenn $B$ auf der Kugel liegt, ist die folgende Gleichung richtig:
$\left(\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\right)^2\stackrel{?}{=}9$
Rechne die linke Seite der Gleichungs nach: Berechne die Differenz der beiden Vektoren und bilde dann das Skalarprodukt.
$\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}=0+2\cdot 2+1\cdot 1 =4+1=5<9$
Antwort: Der Punkt $B$ erfüllt die Kugelgleichung $K$ nicht.
Da $5 < 9$ ist, liegt der Punkt $B$ innerhalb der Kugel $K$ .
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Stelle die Kugelgleichung $K$ in vektorieller Form auf und setze den Punkt $B$ in die Gleichung $K$ ein.
Punkt $C (3 ∣ 3 ∣ 4)$ , $M (2 ∣ - 1 ∣ 3)$ , $r = 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Aufstellen der Kugelgleichung
Punkt $C (3 ∣ 3 ∣ 4)$ , $M (2 ∣ - 1 ∣ 3)$ , $r = 4$
$K:\ (\vec{x}-\vec{m})^2=r^2$
$K:\ \left(\vec x-\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\right)^2=4^2=16$
Punkt $C$ in $K$ einsetzen
Überprüfe, ob der Punkt $C$ die Kugelgleichung erfüllt. Wenn $C$ auf der Kugel liegt, ist die folgende Gleichung richtig:
$\left(\begin{pmatrix}3\\3\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\right)^2\stackrel{?}{=}16$
Rechne die linke Seite der Gleichung nach: Berechne die Differenz der beiden Vektoren und bilde dann das Skalarprodukt.
$\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}=1 \cdot 1+4\cdot 4+1\cdot 1 =1+16+1=18>16$
Antwort: Der Punkt $C$ erfüllt die Kugelgleichung $K$ nicht.
Da $18 > 16$ ist, liegt der Punkt $C$ außerhalb der Kugel $K$ .
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Stelle die Kugelgleichung $K$ in vektorieller Form auf und setze den Punkt $C$ in die Gleichung $K$ ein.

3

Gesucht ist die Vektorgleichung einer Kugel $K$ mit folgenden Eigenschaften:

der Kugelmittelpunkt ist $M (1 ∣ 2 ∣ 1)$
die Kugel geht durch den Punkt $P (2 ∣ 5 ∣ 3)$ .

4

Die gegebene quadratische Gleichung stellt eine Kugel $K$ dar. Bestimme den Mittelpunkt $M$ und den Radius $r$ der Kugel.

$K:\ x_1^2+x_2^2+x_3^2-4x_1+8x_3=-11$

5

Gegeben ist eine Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M (4 ∣ - 1 ∣ z)$ und dem Radius $r = 3$ . Bestimme $z$ so, dass der Punkt $P (6 ∣ 1 ∣ 3)$ auf der Kugel $K$ liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung

Stelle die Kugelgleichung auf:

$K:\ \left(\vec x-\begin{pmatrix}4\\-1\\z\end{pmatrix}\right)^2=3^2=9$

Setze die Punktkoordinaten von $P$ für den Vektor $\vec x$ in $K$ ein.

$\displaystyle \left(\vec x-\begin{pmatrix}4\\-1\\z\end{pmatrix}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Den Punkt $P$ einsetzen.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}6\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\-1\\z\end{pmatrix}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Die linke Seite vereinfachen.
$\displaystyle \begin{pmatrix}6-4\\1-(-1)\\3-z\end{pmatrix}^2$	$=$	$\displaystyle 9$
$\displaystyle \begin{pmatrix}2\\2\\3-z\end{pmatrix}^2$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle 2^2+2^2+(3-z)^2$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Vereinfache und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
$\displaystyle 4+4+9-6z+z^2$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$\displaystyle z^2-6z+17$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle -9$
$\displaystyle z^2-6z+8$	$=$	$\displaystyle 0$

Du hast eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten $z$ erhalten. Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = - 6$ , $q = 8$

$\displaystyle z_{1{,}2}=$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze die Werte für $p$ und $q$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-6)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2-8}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 3\pm\sqrt{9-8}$
	$=$	$\displaystyle 3\pm\sqrt{1}$
	$=$	$\displaystyle 3\pm1$
$\displaystyle z_1$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle z_2$	$=$	$\displaystyle 4$

Antwort: Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{2;4\}$ .

Da es für $z$ zwei Lösungen gibt, existieren auch zwei verschiedene Mittelpunkte. Es gibt demnach zwei Kugeln mit dem Radius $r = 3$ , auf denen der Punkt $P$ liegt.

$z_1=2\;\; \Rightarrow\;\ M_1(4|-1|2)$

$z_2=4\;\; \Rightarrow\;\ M_1(4|-1|4)$

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$\displaystyle (\vec{x}-\vec{m})^2$	$=$	$\displaystyle r^2$
	↓	Setze $M (1 ∣ 3 ∣ 2)$ und $r = 3$ ein.
$\displaystyle \left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 3^2$
$\displaystyle \left(\vec{x}-\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 9$

$\displaystyle (\vec x-\vec m)^2$	$=$	$\displaystyle r^2$
	↓	Setze $M$ ein.
$\displaystyle \left(\vec x-\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\right)^2$	$=$	$\displaystyle r^2$
	↓	Setze $P$ ein.
$\displaystyle \left( \begin{pmatrix}2\\5\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\right)^2$	$=$	$\displaystyle r^2$
	↓	vereinfache
$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}^2$	$=$	$\displaystyle r^2$
	↓	Rechne das Skalarprodukt aus
$\displaystyle 1\cdot1+3\cdot3+2\cdot2$	$=$	$\displaystyle r^2$
	↓	vereinfache
$\displaystyle 14$	$=$	$\displaystyle r^2$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Der Radius ist positiv, daher entfällt die negative Wurzel.
$\displaystyle \sqrt{14}$	$=$	$\displaystyle r$

$\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2-4x_1+8x_3$	$=$	$\displaystyle -11$
	↓	linke Seite sortieren
$\displaystyle x_1^2-4x_1+x_2^2+x_3^2+8x_3$	$=$	$\displaystyle -11$
	↓	quadratische Ergänzung anwenden
$\displaystyle (x_1^2-4x_1+4-4)+x_2^2+(x_3^2+8x_3+16-16)$	$=$	$\displaystyle -11$
	↓	binomische Formel anwenden
$\displaystyle (x_1-2)^2-4+(x_2-0)^2+(x_3+4)^2-16$	$=$	$\displaystyle -11$
	↓	linke Seite vereinfachen
$\displaystyle (x_1-2)^2+(x_2-0)^2+(x_3+4)^2-20$	$=$	$\displaystyle -11$	$\displaystyle +20$
$\displaystyle (x_1-2)^2+(x_2-0)^2+(x_3+4)^2$	$=$	$\displaystyle 9$

Aufgaben zur Kugelgleichung

Aufstellen der Kugelgleichung

Punkt AAA in KKK einsetzen

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Aufstellen der Kugelgleichung

Punkt BBB in KKK einsetzen

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Aufstellen der Kugelgleichung

Punkt CCC in KKK einsetzen

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Kugelgleichung

Stelle die Kugelgleichung auf:

K: (x⃗−(4−1z))2=32=9K:\ \left(\vec x-\begin{pmatrix}4\\-1\\z\end{pmatrix}\right)^2=3^2=9K: ​x−​4−1z​​​2=32=9

Setze die Punktkoordinaten von PP P für den Vektor x⃗\vec x x in KKK ein.

Punkt $A$ in $K$ einsetzen

Punkt $B$ in $K$ einsetzen

Punkt $C$ in $K$ einsetzen

$K:\ \left(\vec x-\begin{pmatrix}4\\-1\\z\end{pmatrix}\right)^2=3^2=9$

Setze die Punktkoordinaten von $P$ für den Vektor $\vec x$ in $K$ ein.