Gegeben ist eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M(4âŁâ1âŁz) und dem Radius r=3. Bestimme z so, dass der Punkt P(6âŁ1âŁ3) auf der Kugel K liegt.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Stelle die Kugelgleichung auf:
K: âxââ4â1zâââ2=32=9
Setze die Punktkoordinaten von P fĂŒr den Vektor x in K ein.
âxââ4â1zâââ2 | = | 9 | |
â | Den Punkt P einsetzen. | ||
ââ613ââââ4â1zâââ2 | = | 9 | |
â | Die linke Seite vereinfachen. | ||
â6â41â(â1)3âzââ2 | = | 9 | |
â223âzââ2 | = | 9 | |
â | Berechne das Skalarprodukt. | ||
22+22+(3âz)2 | = | 9 | |
â | Vereinfache und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden. | ||
4+4+9â6z+z2 | = | 9 | |
â | Fasse die linke Seite zusammen. | ||
z2â6z+17 | = | 9 | â9 |
z2â6z+8 | = | 0 |
Du hast eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten z erhalten. Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte fĂŒr p und q ab: p=â6, q=8
z1,2â= | = | â2pâ±(2pâ)2âqâ | |
â | Setze die Werte fĂŒr p und q ein. | ||
= | â2(â6)â±(2â6â)2â8â | ||
â | Vereinfache. | ||
= | 3±9â8â | ||
= | 3±1â | ||
= | 3±1 | ||
z1â | = | 2 | |
z2â | = | 4 |
Antwort: Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge L={2;4}.
Da es fĂŒr z zwei Lösungen gibt, existieren auch zwei verschiedene Mittelpunkte. Es gibt demnach zwei Kugeln mit dem Radius r=3, auf denen der Punkt P liegt.
z1â=2â M1â(4âŁâ1âŁ2)
z2â=4â M1â(4âŁâ1âŁ4)
Stelle die Kugelgleichung K auf. Setze die Punktkoordinaten von P fĂŒr den Vektor x ein und berechne das Skalarprodukt. Löse die erhaltene quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel oder der pq-Formel.