Aufgaben zur Kugelgleichung - lernen mit Serlo!

Gegeben ist eine Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M (4 ∣ - 1 ∣ z)$ und dem Radius $r = 3$ . Bestimme $z$ so, dass der Punkt $P (6 ∣ 1 ∣ 3)$ auf der Kugel $K$ liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung

Stelle die Kugelgleichung auf:

$K:\ \left(\vec x-\begin{pmatrix}4\\-1\\z\end{pmatrix}\right)^2=3^2=9$

Setze die Punktkoordinaten von $P$ für den Vektor $\vec x$ in $K$ ein.

$\displaystyle \left(\vec x-\begin{pmatrix}4\\-1\\z\end{pmatrix}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Den Punkt $P$ einsetzen.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}6\\1\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\-1\\z\end{pmatrix}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Die linke Seite vereinfachen.
$\displaystyle \begin{pmatrix}6-4\\1-(-1)\\3-z\end{pmatrix}^2$	$=$	$\displaystyle 9$
$\displaystyle \begin{pmatrix}2\\2\\3-z\end{pmatrix}^2$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle 2^2+2^2+(3-z)^2$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Vereinfache und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
$\displaystyle 4+4+9-6z+z^2$	$=$	$\displaystyle 9$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$\displaystyle z^2-6z+17$	$=$	$\displaystyle 9$	$\displaystyle -9$
$\displaystyle z^2-6z+8$	$=$	$\displaystyle 0$

Du hast eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten $z$ erhalten. Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Lies die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = - 6$ , $q = 8$

$\displaystyle z_{1{,}2}=$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze die Werte für $p$ und $q$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-6)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2-8}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 3\pm\sqrt{9-8}$
	$=$	$\displaystyle 3\pm\sqrt{1}$
	$=$	$\displaystyle 3\pm1$
$\displaystyle z_1$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle z_2$	$=$	$\displaystyle 4$

Antwort: Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{2;4\}$ .

Da es für $z$ zwei Lösungen gibt, existieren auch zwei verschiedene Mittelpunkte. Es gibt demnach zwei Kugeln mit dem Radius $r = 3$ , auf denen der Punkt $P$ liegt.

$z_1=2\;\; \Rightarrow\;\ M_1(4|-1|2)$

$z_2=4\;\; \Rightarrow\;\ M_1(4|-1|4)$

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Stelle die Kugelgleichung auf:

K: (x⃗−(4−1z))2=32=9K:\ \left(\vec x-\begin{pmatrix}4\\-1\\z\end{pmatrix}\right)^2=3^2=9K: ​x−​4−1z​​​2=32=9

Setze die Punktkoordinaten von PP P für den Vektor x⃗\vec x x in KKK ein.

$K:\ \left(\vec x-\begin{pmatrix}4\\-1\\z\end{pmatrix}\right)^2=3^2=9$

Setze die Punktkoordinaten von $P$ für den Vektor $\vec x$ in $K$ ein.