Aufgaben zu Kugeln und Geraden

Gegeben sind die Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ und eine Gerade. Untersuche die gegenseitige Lage der Geraden bezüglich der Kugel. Gib gegebenenfalls alle Schnittpunkte an.

Mittelpunkt der Kugel $M (5 ∣ 2 ∣ 1)$ , Kugelradius $r = 7$

Gerade $g:\;\vec X=\begin{pmatrix}-1\\4\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 2 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung

Aufstellen der Kugelgleichung

$M (5 ∣ 2 ∣ 1)$ , $r = 7$

$K:\ (\vec{x}-\vec{m})^2=r^2$

$K:\ \left(\vec x-\begin{pmatrix}5\\2\\1\end{pmatrix}\right)^2=7^2=49$

Gerade g in $K$ einsetzen

$\left(\begin{pmatrix}-1\\4\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\2\\1\end{pmatrix}\right)^2=49$

Fasse zusammen.

$\left(\begin{pmatrix}-6\\2\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 2 \end{pmatrix}\right)^2=49$

Vereinfache weiter.

$\begin{pmatrix}-6+t\\2+0\\0+2t\end{pmatrix}^2=49$

Rechne das Skalarprodukt aus.

$(- 6 + t)^{2} + 2^{2} + (2 t)^{2} = 49$

Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden!

$\displaystyle 36-12t+t^2+4+4t^2$	$=$	$\displaystyle 49$
$\displaystyle 40-12t+5t^2$	$=$	$\displaystyle 49$	$\displaystyle -49$
	↓	linke Seite sortieren
$\displaystyle 5t^2-12t-9$	$=$	$\displaystyle 0$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder p-q-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies dazu die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: $a = 5$ , $b = - 12$ , $c = - 9$

$\displaystyle t_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = 5$ , $b = - 12$ , $c = - 9$ ein
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4\cdot5\cdot(-9)}}{2\cdot 5}$
	↓	vereinfache
	$=$	$\displaystyle \dfrac{12\pm\sqrt{144+180}}{10}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{12\pm\sqrt{324}}{10}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{12\pm18}{10}$
$\displaystyle t_1$	$=$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle t_2$	$=$	$\displaystyle -0{,}6$

Die quadratische Gleichung hat somit die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-0{,}6;3\}$ . Da es zwei Lösungen gibt, schneidet die Gerade $g$ die Kugel $K$ in zwei Punkten. Die Gerade g ist also eine Sekante.

Schnittpunkte berechnen

Setze die zwei gefundenen Parameter $t_{1}$ und $t_{2}$ in die Geradengleichung ein.

$t_{1} = 3$ :

$\vec X_{S_1}=\begin{pmatrix}-1\\4\\1\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+3\\4+0\\1+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\7\end{pmatrix}$

$t_2=-0{,}6$ :

$\vec X_{S_2}=\begin{pmatrix}-1\\4\\1\end{pmatrix}+(-0{,}6)\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1-0{,}6\\4+0\\1-1{,}2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1{,}6\\4\\-0{,}2\end{pmatrix}$

Antwort: Die beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten $S_{1} (2 ∣ 4 ∣ 7)$ und $S_2(-1{,}6|4|-0{,}2)$ .

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Mittelpunkt der Kugel $M (1 ∣ 2 ∣ 4)$ , Kugelradius $r=\sqrt{21}$

Gerade $g:\;\vec X=\begin{pmatrix}1\\-2\\9\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ -2 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung

Aufstellen der Kugelgleichung

$M (1 ∣ 2 ∣ 4)$ , $r=\sqrt{21}$

$K:\ (\vec{x}-\vec{m})^2=r^2$

$K:\ \left(\vec x-\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}\right)^2=\left(\sqrt{21}\right)^2=21$

Gerade g in $K$ einsetzen

$\left(\begin{pmatrix}1\\-2\\9\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ -2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}\right)^2=21$

Fasse zusammen.

$\left(\begin{pmatrix}0\\-4\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ -2 \end{pmatrix}\right)^2=21$

Vereinfache weiter.

$\begin{pmatrix}0+t\\-4+0\\5-2t\end{pmatrix}^2=21$

Rechne das Skalarprodukt aus.

$t^{2} + (- 4)^{2} + (5 - 2 t)^{2} = 21$

Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden!

$\displaystyle t^2+16+25-20t+4t^2$	$=$	$\displaystyle 21$
	↓	fasse zusammen
$\displaystyle 5t^2-20t+41$	$=$	$\displaystyle 21$	$\displaystyle -21$
$\displaystyle 5t^2-20t+20$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle t^2-4t+4$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	wende eine binomische Formel an
$\displaystyle \left(t-2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung kann direkt abgelesen werden: $t = 2$

Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{2\}$ . Da es genau eine Lösung gibt, haben die Gerade $g$ und die Kugel $K$ einen Punkt gemeinsam, d.h. die Gerade $g$ ist eine Tangente an die Kugel $K$ .

Schnittpunktberechnung

Da es nur einen gemeinsamen Punkt zwischen der Kugel und der Geraden gibt, ist dieser Punkt ein Berührpunkt.

Setze den Wert $t = 2$ in die Geradengleichung ein.

$\vec X_B=\begin{pmatrix}1\\-2\\9\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+2\\-2+0\\9-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-2\\5\end{pmatrix}$

Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B (3 ∣ - 2 ∣ 5) .$

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Mittelpunkt der Kugel $M (1 ∣ 7 ∣ 0)$ , Kugelradius $r = 6$

Gerade $g:\;\vec X=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 4 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung

Aufstellen der Kugelgleichung

$M (1 ∣ 7 ∣ 0)$ , $r = 6$

$K:\ (\vec{x}-\vec{m})^2=r^2$

$K:\ \left(\vec x-\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}\right)^2=6^2=36$

Gerade g in $K$ einsetzen

$\left(\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}\right)^2=36$

Fasse zusammen.

$\left(\begin{pmatrix}0\\-5\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 4 \end{pmatrix}\right)^2=36$

Vereinfache weiter.

$0^{2} + (- 5 + t)^{2} + (5 + 4 t)^{2} = 36$

Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden!

$\displaystyle 25-10t+t^2+25+40t+16t^2$	$=$	$\displaystyle 36$
	↓	fasse zusammen
$\displaystyle 17t^2+30t+50$	$=$	$\displaystyle 36$	$\displaystyle -36$
$\displaystyle 17t^2+30t+14$	$=$	$\displaystyle 0$

Die quadratische Gleichung löst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder p-q-Formel.

Lies dazu die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: $a = 17$ , $b = 30$ , $c = 14$

$\displaystyle t_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = 17$ , $b = 30$ , $c = 14$ ein
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm\sqrt{30^2-4\cdot17\cdot14}}{2\cdot17}$
	↓	vereinfache
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm\sqrt{900-952}}{34}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm\sqrt{-52}}{34}$

Du hast bei der Lösung der Gleichung eine negative Wurzel erhalten, d.h. die Gleichung hat keine reelle Lösung: $\mathbb{L}=\{\}$

Die Gerade $g$ hat mit der Kugel $K$ keine gemeinsamen Punkte, d.h. die Gerade $g$ ist eine Passante.

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