Aufgaben zu Kugeln und Geraden

Hier findest du Übungsaufgaben zu Kugeln und Geraden. Lerne, die verschiedenen Lagebeziehungen zwischen Kugeln und Geraden zu untersuchen!

Gegeben sind die Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ und eine Gerade. Untersuche die gegenseitige Lage der Geraden bezüglich der Kugel. Gib gegebenenfalls alle Schnittpunkte an.

Mittelpunkt der Kugel $M (5 ∣ 2 ∣ 1)$ , Kugelradius $r = 7$

Gerade $g:\;\vec X=\begin{pmatrix}-1\\4\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 2 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung

Aufstellen der Kugelgleichung

$M (5 ∣ 2 ∣ 1)$ , $r = 7$

$K:\ (\vec{x}-\vec{m})^2=r^2$

$K:\ \left(\vec x-\begin{pmatrix}5\\2\\1\end{pmatrix}\right)^2=7^2=49$

Gerade g in $K$ einsetzen

$\left(\begin{pmatrix}-1\\4\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\2\\1\end{pmatrix}\right)^2=49$

Fasse zusammen.

$\left(\begin{pmatrix}-6\\2\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 2 \end{pmatrix}\right)^2=49$

Vereinfache weiter.

$\begin{pmatrix}-6+t\\2+0\\0+2t\end{pmatrix}^2=49$

Rechne das Skalarprodukt aus.

$(- 6 + t)^{2} + 2^{2} + (2 t)^{2} = 49$

Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden!

$\displaystyle 36-12t+t^2+4+4t^2$	$=$	$\displaystyle 49$
$\displaystyle 40-12t+5t^2$	$=$	$\displaystyle 49$	$\displaystyle -49$
	↓	linke Seite sortieren
$\displaystyle 5t^2-12t-9$	$=$	$\displaystyle 0$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder p-q-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies dazu die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: $a = 5$ , $b = - 12$ , $c = - 9$

$\displaystyle t_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = 5$ , $b = - 12$ , $c = - 9$ ein
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4\cdot5\cdot(-9)}}{2\cdot 5}$
	↓	vereinfache
	$=$	$\displaystyle \dfrac{12\pm\sqrt{144+180}}{10}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{12\pm\sqrt{324}}{10}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{12\pm18}{10}$
$\displaystyle t_1$	$=$	$\displaystyle 3$
$\displaystyle t_2$	$=$	$\displaystyle -0{,}6$

Die quadratische Gleichung hat somit die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-0{,}6;3\}$ . Da es zwei Lösungen gibt, schneidet die Gerade $g$ die Kugel $K$ in zwei Punkten. Die Gerade g ist also eine Sekante.

Schnittpunkte berechnen

Setze die zwei gefundenen Parameter $t_{1}$ und $t_{2}$ in die Geradengleichung ein.

$t_{1} = 3$ :

$\vec X_{S_1}=\begin{pmatrix}-1\\4\\1\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+3\\4+0\\1+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\\7\end{pmatrix}$

$t_2=-0{,}6$ :

$\vec X_{S_2}=\begin{pmatrix}-1\\4\\1\end{pmatrix}+(-0{,}6)\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1-0{,}6\\4+0\\1-1{,}2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1{,}6\\4\\-0{,}2\end{pmatrix}$

Antwort: Die beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten $S_{1} (2 ∣ 4 ∣ 7)$ und $S_2(-1{,}6|4|-0{,}2)$ .

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Mittelpunkt der Kugel $M (1 ∣ 2 ∣ 4)$ , Kugelradius $r=\sqrt{21}$

Gerade $g:\;\vec X=\begin{pmatrix}1\\-2\\9\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ -2 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung

Aufstellen der Kugelgleichung

$M (1 ∣ 2 ∣ 4)$ , $r=\sqrt{21}$

$K:\ (\vec{x}-\vec{m})^2=r^2$

$K:\ \left(\vec x-\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}\right)^2=\left(\sqrt{21}\right)^2=21$

Gerade g in $K$ einsetzen

$\left(\begin{pmatrix}1\\-2\\9\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ -2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}\right)^2=21$

Fasse zusammen.

$\left(\begin{pmatrix}0\\-4\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ -2 \end{pmatrix}\right)^2=21$

Vereinfache weiter.

$\begin{pmatrix}0+t\\-4+0\\5-2t\end{pmatrix}^2=21$

Rechne das Skalarprodukt aus.

$t^{2} + (- 4)^{2} + (5 - 2 t)^{2} = 21$

Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden!

$\displaystyle t^2+16+25-20t+4t^2$	$=$	$\displaystyle 21$
	↓	fasse zusammen
$\displaystyle 5t^2-20t+41$	$=$	$\displaystyle 21$	$\displaystyle -21$
$\displaystyle 5t^2-20t+20$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :5$
$\displaystyle t^2-4t+4$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	wende eine binomische Formel an
$\displaystyle \left(t-2\right)^2$	$=$	$\displaystyle 0$

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung kann direkt abgelesen werden: $t = 2$

Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{2\}$ . Da es genau eine Lösung gibt, haben die Gerade $g$ und die Kugel $K$ einen Punkt gemeinsam, d.h. die Gerade $g$ ist eine Tangente an die Kugel $K$ .

Schnittpunktberechnung

Da es nur einen gemeinsamen Punkt zwischen der Kugel und der Geraden gibt, ist dieser Punkt ein Berührpunkt.

Setze den Wert $t = 2$ in die Geradengleichung ein.

$\vec X_B=\begin{pmatrix}1\\-2\\9\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+2\\-2+0\\9-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-2\\5\end{pmatrix}$

Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B (3 ∣ - 2 ∣ 5) .$

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Mittelpunkt der Kugel $M (1 ∣ 7 ∣ 0)$ , Kugelradius $r = 6$

Gerade $g:\;\vec X=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 4 \end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung

Aufstellen der Kugelgleichung

$M (1 ∣ 7 ∣ 0)$ , $r = 6$

$K:\ (\vec{x}-\vec{m})^2=r^2$

$K:\ \left(\vec x-\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}\right)^2=6^2=36$

Gerade g in $K$ einsetzen

$\left(\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\7\\0\end{pmatrix}\right)^2=36$

Fasse zusammen.

$\left(\begin{pmatrix}0\\-5\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 4 \end{pmatrix}\right)^2=36$

Vereinfache weiter.

$0^{2} + (- 5 + t)^{2} + (5 + 4 t)^{2} = 36$

Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden!

$\displaystyle 25-10t+t^2+25+40t+16t^2$	$=$	$\displaystyle 36$
	↓	fasse zusammen
$\displaystyle 17t^2+30t+50$	$=$	$\displaystyle 36$	$\displaystyle -36$
$\displaystyle 17t^2+30t+14$	$=$	$\displaystyle 0$

Die quadratische Gleichung löst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder p-q-Formel.

Lies dazu die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: $a = 17$ , $b = 30$ , $c = 14$

$\displaystyle t_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = 17$ , $b = 30$ , $c = 14$ ein
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm\sqrt{30^2-4\cdot17\cdot14}}{2\cdot17}$
	↓	vereinfache
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm\sqrt{900-952}}{34}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm\sqrt{-52}}{34}$

Du hast bei der Lösung der Gleichung eine negative Wurzel erhalten, d.h. die Gleichung hat keine reelle Lösung: $\mathbb{L}=\{\}$

Die Gerade $g$ hat mit der Kugel $K$ keine gemeinsamen Punkte, d.h. die Gerade $g$ ist eine Passante.

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Gegeben sind eine Kugel $K$ mit Mittelpunkt $M (3 ∣ - 1 ∣ 2)$ , Radius $r=\sqrt{11}$ und eine Gerade

$g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2 \\-4 \\ -4\end{pmatrix}$ .

Zeige, dass die Gerade eine Sekante der Kugel ist. Gib auch beide Schnittpunkte an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung

Aufstellen der Kugelgleichung

$\textcolor{ff6600}{M(3|-1|2)}$ , $\textcolor{006400}{r=\sqrt{11}}$

$K:\ (\vec{x}-\textcolor{ff6600}{\vec{m}})^2=\textcolor{006400}{r^2}$

$K:\ \left(\textcolor{006400}{\vec x}-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}}\right)^2=\left(\textcolor{006400}{\sqrt{11}}\right)^2=11$

Setze die Gleichung der Geraden für den Vektor $\vec x$ in die Kugelgleichung ein.

$\displaystyle \left(\textcolor{660099}{\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2 \\-4 \\ -4\end{pmatrix}}-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 11$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 2 \\-4 \\ -4 \end{pmatrix}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 11$
	↓	Vereinfache weiter.
$\displaystyle \begin{pmatrix}-1+2t\\1-4t\\3-4t\end{pmatrix}^2$	$=$	$\displaystyle 11$
	↓	Rechne das Skalarprodukt aus.
$\displaystyle (-1+2t)^2+(1-4t)^2+(3-4t)^2$	$=$	$\displaystyle 11$
	↓	Löse die Klammern auf und vergiss dabei nicht die binomische Formel anzuwenden.
$\displaystyle 1-4t+4t^2+1-8t+16t^2+9-24t+16t^2$	$=$	$\displaystyle 11$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$\displaystyle 36t^2-36t+11$	$=$	$\displaystyle 11$	$\displaystyle -11$
$\displaystyle 36t^2−36t$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 36t\;\text{ausklammern}$
$\displaystyle 36t\cdot(t-1)$	$=$	$\displaystyle 0$

Du hast die quadratische Gleichung $36t\cdot(t-1)=0$ erhalten. Zur Lösung dieser Gleichung kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden.

Erster Faktor: $36t=0 \;\;\Rightarrow \;t_1=0$

Zweiter Faktor: $t-1=0 \;\;\Rightarrow \;t_2=1$

Die quadratische Gleichung hat somit die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{0;1\}$ .

Da es zwei Lösungen gibt, schneidet die Gerade $g$ die Kugel $K$ in zwei Punkten. Die Gerade g ist eine Sekante.

Schnittpunkte berechnen

Setze die zwei gefundenen Parameter $t_{1}$ und $t_{2}$ in die Geradengleichung

$g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2 \\-4 \\ -4\end{pmatrix}$ ein.

$t_{1} = 0$

$\vec X_{S_1}=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}2 \\-4 \\ -4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}$

$t_{2} = 1$

$\vec X_{S_2}=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}2 \\-4 \\ -4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-4\\1\end{pmatrix}$

Antwort: Die beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten $S_{1} (2 ∣ 0 ∣ 5)$ und $S_{2} (4 ∣ - 4 ∣ 1)$ .

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Gib für die beiden Schnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ jeweils die zugehörende Tangentialebene in Koordinatenform an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialebene

Aufstellen der Tangentialebenengleichung im Punkt $S_{1}$

$\displaystyle E_{T_1}:\ \left(\vec{x}-\textcolor{006400}{\vec{b}}\right)\circ\left(\textcolor{006400}{\vec{b}}-\textcolor{ff6600}{\vec{m}}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze für $B$ die Koordinaten des ersten Schnittpunktes $\textcolor{006400}{S_1(2\|0\|5)}$ ein. Setze den Mittelpunkt $\textcolor{ff6600}{M(3\|-1\|2)}$ ein.
$\displaystyle \left(\vec x-\textcolor{006400}{\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}}\right)\circ \left(\textcolor{006400}{\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}}-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \left(\vec x-\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Diese Gleichung ist die Normalengleichung der Ebene.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache
$\displaystyle \begin{pmatrix}x_1-2\\x_2-0\\x_3-5\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Um die Koordinatengleichung zu erhalten, rechne das Skalarprodukt aus.
$\displaystyle (x_1-2)\cdot(-1)+x_2\cdot 1+(x_3-5)\cdot 3$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle -x_1+2+x_2+3x_3-15$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle -x_1+x_2+3x_3-13$	$=$	$\displaystyle 0$

Antwort: Die Tangentialebene $E_{T_1}$ hat die Gleichung $- x_{1} + x_{2} + 3 x_{3} = 13$ .

Aufstellen der Tangentialebenengleichung im Punkt $S_{2}$

$\displaystyle E_{T_1}:\ \left(\vec{x}-\textcolor{006400}{\vec{b}}\right)\circ\left(\textcolor{006400}{\vec{b}}-\textcolor{ff6600}{\vec{m}}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze für $B$ die Koordinaten des zweiten Schnittpunktes $\textcolor{006400}{S_2(4\|-4\|1)}$ ein. Setze den Mittelpunkt $\textcolor{ff6600}{M(3\|-1\|2)}$ ein.
$\displaystyle \left(\vec x-\textcolor{006400}{\begin{pmatrix}4\\-4\\1\end{pmatrix}}\right)\circ \left(\textcolor{006400}{\begin{pmatrix}4\\-4\\1\end{pmatrix}}-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}3\\-1\\2\end{pmatrix}}\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \left(\vec x-\begin{pmatrix}4\\-4\\1\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\-3\\-1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Diese Gleichung ist die Normalengleichung der Ebene.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\-4\\1\end{pmatrix}\right)\circ \begin{pmatrix}1\\-3\\-1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle \begin{pmatrix}x_1-4\\x_2+4\\x_3-1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\-3\\-1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Um die Koordinatengleichung zu erhalten, rechne das Skalarprodukt aus.
$\displaystyle (x_1-4)\cdot 1+(x_2+4)\cdot (-3)+(x_3-1)\cdot (-1)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle x_1-4-3x_2-12-x_3+1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_1-3x_2-x_3-15$	$=$	$\displaystyle 0$

Antwort: Die Tangentialebene $E_{T_2}$ hat die Gleichung $x_{1} - 3 x_{2} - x_{3} = 15$ .

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Zeige, dass sich die beiden Tangentialebenen $E_{T_1}$ und $E_{T_2}$ schneiden und berechne die Gleichung der Schnittgeraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lage zweier Ebenen

Schnitt von $E_{T_1}$ und $E_{T_2}$

Die beiden Tangentialebenen $E_{T_1}$ und $E_{T_2}$ haben die beiden Normalenvektoren:

$\vec n_{T_1}=\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}$ und $\vec n_{T_2}=\begin{pmatrix}1\\-3\\-1\end{pmatrix}$ .

Die Normalenvektoren sind nicht Vielfache voneinander. Die beiden Ebenen sind somit nicht parallel, d.h. sie schneiden sich.

Berechnung der Schnittgeraden

Die beiden Ebenengleichungen liegen in der Koordinatenform vor. Die Berechnung der Schnittgeraden erfolgt durch Lösen eines Gleichungssystems aus $2$ Gleichungen mit $3$ Unbekannten. Dabei gibt es mehrere Lösungswege z.B. das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren. Die Lösung des Gleichungssystems erfolgt hier mit dem Additionsverfahren.

Die Tangentialebene $E_{T_1}$ ist Gleichung $\mathrm{(I)}$ und die Tangentialebene $E_{T_2}$ ist Gleichung $\mathrm{(II)}$ .

Eliminiere eine Variable z.B. die Variable $x_{1}$ .

Rechne $\mathrm{(I)}+\mathrm{(II)}$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{cccccccl}\;\;\;\mathrm{(I)}:\;\;\;\;\;\;-x_1 & + & x_2 & + &3x_3 & = & 13 \\+\mathrm{(II)}:\;\;\;\;\;\;\; x_1 & - &3x_2 & - & x_3 &=& 15\end{array}\\\overline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0x_1\;\;\;-\;\;\;2x_2\;\;\;+\;\;\;2x_3\;\;=\;\;28\;\;\;}\;\;\;\Rightarrow \mathrm{(III)}:\;x_2=-14+x_3$

Du hast die Gleichung $\mathrm{(III)}:\;x_2=-14+x_3$ erhalten.

Bei $2$ Gleichungen mit $3$ Unbekannten ist eine Unbekannte frei wählbar. Wähle z.B. $x_{3} = s$ .

Somit lautet die Gleichung $\mathrm{(III')}:\;x_2=-14+s$ .

Setze die Gleichung $\mathrm{(III')}$ und $x_{3} = s$ in Gleichung $\mathrm{(II)}$ ein.

$\displaystyle \mathrm{(II)}:\ x_1-3x_2-x_3$	$=$	$\displaystyle 15$
	↓	Setze $x_{2} = - 14 + s$ und $x_{3} = s$ ein.
$\displaystyle x_1-3\cdot(-14+s)-s$	$=$	$\displaystyle 15$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle x_1+42-3s-s$	$=$	$\displaystyle 15$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle x_1+42-4s$	$=$	$\displaystyle 15$	$\displaystyle -42+4s$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle -27+4s$

Schreibe die drei erhaltenen Gleichungen für $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ untereinander und sortiere entsprechend.

$g_{Schnitt}: \vec X = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-27+4s\\-14+s\\0+s\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-27\\-14\\0\end{pmatrix}+s \begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}$

Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Tangentialebenen lautet:

$g_{Schnitt}: \vec X =\begin{pmatrix}-27\\-14\\0\end{pmatrix}+s \begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}$

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Unter welchen Winkel schneiden sich die beiden Tangentialebenen?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zweier Ebenen

Für den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen zwei Ebenen gilt folgende Formel:

$\cos\;\alpha=\dfrac{|\vec n_1\circ \vec n_2|}{|\vec n_1|\cdot |\vec n_2|}$

Im Zähler des Bruches steht der Betrag des Skalarproduktes der beiden Normalenvektoren $\vec{n}_1$ und $\vec{n}_2$ der beiden Tangentialebenen $E_{T_1}: \;-x_1+x_2+3x_3=13$ und $E_{T_2}: \;x_1-3x_2-x_3=15$ . Im Nenner des Bruches steht das Produkt der Beträge der beiden Normalenvektoren.

Lies die Normalenvektoren aus den Koordinatengleichungen ab:

$\vec n_1=\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}$ und $\vec n_2=\begin{pmatrix}1\\-3\\-1\end{pmatrix}$

Für den Betrag von $\vec n_1$ gilt: $|\vec n_1|=\sqrt{(-1)^2+1^2+3^2} =\sqrt{1+1+9}= \sqrt{11}$

Für den Betrag von $\vec n_2$ gilt: $|\vec n_2|=\sqrt{1^2+(-3)^2+(-1)^2} =\sqrt{1+9+1}=\sqrt{11}$

Setze in die oben genannte Formel ein:

$\displaystyle \cos\;\alpha$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|\begin{pmatrix}-1\\1\\3\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\-3\\-1\end{pmatrix}\right\|}{\sqrt{11}\cdot \sqrt{11}}$
	↓	Berechne das Skalarprodukt und vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|-1-3-3\right\|}{11}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{\left\|-7\right\|}{11}$
	↓	Berechne den Betrag.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{7}{11}$

Du hast die Gleichung $\cos\;\alpha=\dfrac{7}{11}$ erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel $\alpha$ berechnen.

Hinweis: Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion $\cos^{-1}(x)$ .

$\alpha=\arccos\left(\dfrac{7}{11}\right)\approx 50{,}48^\circ$

Antwort: Der Schnittwinkel zwischen den beiden Tangentialebenen beträgt rund $50{,}5^\circ$ .

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Gegeben sind eine Kugel $K$ mit Mittelpunkt $M (1 ∣ 2 ∣ 3)$ , Radius $r=\sqrt{10}$ und eine Gerade $g:\;\vec X=\begin{pmatrix}5\\4\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1 \\y \\ 4\end{pmatrix}$ .

Für welchen Wert von $y$ ist die Gerade $g$ eine Tangente an die Kugel $K$ ? Gib auch den Berührpunkt an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel und Geraden

Aufstellen der Kugelgleichung

$\textcolor{ff6600}{M(1|2|3)}$ , $\textcolor{006400}{r=\sqrt{10}}$

$K:\ (\vec{x}-\textcolor{ff6600}{\vec{m}})^2=\textcolor{006400}{r^2}$

$K:\ \left(\vec x-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\right)^2=\left(\textcolor{006400}{\sqrt{10}}\right)^2=10$

Setze die Gleichung der Geraden für den Vektor $\vec x$ in die Kugelgleichung ein.

$g:\;\vec X=\textcolor{660099}{\begin{pmatrix}5\\4\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1 \\y \\ 4\end{pmatrix}}$ in $K:\ \left(\vec x-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\right)^2=10$ einsetzen:

$\displaystyle \left(\textcolor{660099}{\begin{pmatrix}5\\4\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1 \\y \\ 4\end{pmatrix}}-\textcolor{ff6600}{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 10$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \left(\begin{pmatrix}4\\2\\4\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\y \\ 4 \end{pmatrix}\right)^2$	$=$	$\displaystyle 10$
	↓	Vereinfache weiter.
$\displaystyle \begin{pmatrix}4+t\\2+yt\\4+4t\end{pmatrix}^2$	$=$	$\displaystyle 10$
	↓	Rechne das Skalarprodukt aus.
$\displaystyle (4+t)^2+(2+yt)^2+(4+4t)^2$	$=$	$\displaystyle 10$
	↓	Löse die Klammern auf und vergiss dabei nicht die binomische Formel anzuwenden.
$\displaystyle 16+8t+t^2+4+4yt+(yt)^2+16+32t+16t^2$	$=$	$\displaystyle 10$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$\displaystyle 17t^2+y^2t^2+40t+4yt+36$	$=$	$\displaystyle 10$	$\displaystyle -10$
	↓	Klammere aus.
$\displaystyle (17+y^2)\cdot t^2+(40+4y)\cdot t+26$	$=$	$\displaystyle 0$

Du hast die quadratische Gleichung $(17+y^2)\cdot t^2+(40+4y)\cdot t+26=0$ mit der Unbekannten $t$ erhalten. Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel. Lies dazu die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a = 17 + y^{2}$ , $b = 40 + 4 y$ , $c = 26$

$\displaystyle t_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze die Werte $a = 17 + y^{2}$ , $b = 40 + 4 y$ und $c = 26$ ein.
$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(40+4y)\pm\sqrt{(40+4y)^2-4\cdot(17+y^2)\cdot26}}{2\cdot(17+y^2)}$

Wenn die Gerade $g$ eine Tangente sein soll, dann darf es nur eine Lösung für die quadratische Gleichung geben. Die Diskriminante muss gleich Null sein. $D=(40+4y)^2-4\cdot (17+y^2)\cdot 26=0$

$\displaystyle (40+4y)^2-4\cdot (17+y^2)\cdot 26$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache die linke Seite. Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
$\displaystyle 1600+320y+16y^2-1768-104y^2$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle -88y^2+320y-168$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot (-1)$
$\displaystyle 88y^2 −320y+168$	$=$	$\displaystyle 0$

Du hast die quadratische Gleichung $88 y^{2} - 320 y + 168 = 0$ mit der Unbekannten $y$ erhalten. Die Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel. Lies dazu die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: $a = 88$ , $b = - 320$ , $c = 168$

$\displaystyle y_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = 88$ , $b = - 320$ , $c = 168$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-320)\pm\sqrt{320^2-4\cdot 88\cdot 168}}{2\cdot 88}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{320\pm\sqrt{102400-59136}}{176}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{320\pm208}{176}$

Fall: $+$

$y_1=\dfrac{528}{176}=3$

Fall: $-$

$y_2=\dfrac{112}{176}=\dfrac{7}{11}$

Antwort: Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge: $\;\mathbb{L}=\{\dfrac{7}{11};3\}$

Da es für $y$ zwei Lösungen gibt, erhältst du auch zwei Tangentengleichungen.

Setze in $g:\;\vec X=\begin{pmatrix}5\\4\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1 \\y \\ 4\end{pmatrix}$ für $y$ nacheinander die beiden Werte $y_{1} = 3$ und $y_2=\dfrac{7}{11}$ ein.

$g_{Tangente_1}:\;\vec X=\begin{pmatrix}5\\4\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1 \\3 \\ 4\end{pmatrix} $ und

$g_{Tangente_2}:\;\vec X=\begin{pmatrix}5\\4\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1 \\\dfrac{7}{11} \\ 4\end{pmatrix}$

Berührpunkte berechnen

Da die Diskriminante den Wert Null hat, gibt es nur eine Lösung bei der Schnittpunktsberechnung zwischen Gerade $g$ und Kugel $K$ .

$\displaystyle t_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(40+4y)\pm\sqrt{(40+4y)^2-4\cdot(17+y^2)\cdot26}}{2\cdot(17+y^2)}$
	↓	Der Term unter der Wurzel ist die Diskriminante $D$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(40+4y)\pm\sqrt{D}}{2\cdot(17+y^2)}$
	↓	Setze $D = 0$ , da es nur eine Lösung geben soll.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{40+4y}{2\cdot(17+y^2)}$
	↓	Klammere im Zähler $2$ aus.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{2\cdot (20+2y)}{2\cdot(17+y^2)}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{20+2y}{17+y^2}$

Du hast für $t$ einen Term erhalten, der die y-Koordinate des Richtungsvektors der Geraden $g$ enthält. Für die beiden berechneten y-Werte $y_{1} = 3$ und $y_2 =\dfrac{7}{11}$ erhältst du zwei Berührpunkte.

Für $y_{1} = 3$ folgt $t_1=-\dfrac{20+2\cdot 3}{17+3^2}=-\dfrac{26}{26}=-1$

Setze $t_{1} = - 1$ in $g_{Tangente_1}:\;\vec X=\begin{pmatrix}5\\4\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1 \\3 \\ 4\end{pmatrix}$ ein:

$\vec X_{B_1}=\begin{pmatrix}5\\4\\7\end{pmatrix}-1\cdot\begin{pmatrix}1 \\3 \\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\1\\3\end{pmatrix}\;\;\Rightarrow\;\;B_1(4|1|3)$

Für $y_2 =\dfrac{7}{11}$ folgt $t_2=-\dfrac{20+2\cdot \dfrac{7}{11}}{17+\left(\dfrac{7}{11}\right)^2}=-\dfrac{20+\dfrac{14}{11}}{17+\dfrac{49}{121}}=-\dfrac{\dfrac{234}{11}}{\dfrac{2106}{121}}=-\dfrac{11}{9}$

Setze $t_2=-\dfrac{11}{9}$ in $g_{Tangente_2}:\;\vec X=\begin{pmatrix}5\\4\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1 \\\dfrac{7}{11} \\ 4\end{pmatrix}$ ein:

$\vec X_{B_2}=\begin{pmatrix}5\\4\\7\end{pmatrix}-\dfrac{11}{9}\cdot\begin{pmatrix}1 \\\dfrac{7}{11} \\ 4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-\dfrac{11}{9}\\4-\dfrac{7}{9}\\7-\dfrac{44}{9}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{34}{9}\\\dfrac{29}{9}\\\dfrac{19}{9}\end{pmatrix}\;\;\Rightarrow\;\;B_2\left(\dfrac{34}{9}|\dfrac{29}{9}|\dfrac{19}{9}\right)$

Antwort: Die beiden Berührpunkte haben die Koordinaten $B_{1} (4 ∣ 1 ∣ 3)$ und $B_2\left(\dfrac{34}{9}|\dfrac{29}{9}|\dfrac{19}{9}\right)$ .

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Wähle für die Koordinate $y$ in der oben angegebenen Geraden $g$ die Werte $y_{a} = 0$ und $y_{b} = 2$ .

Welche Lage haben die beiden Geraden $g_{a}$ und $g_{b}$ bezüglich der Kugel $K$ ?

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle (40+4y)^2-4\cdot (17+y^2)\cdot 26$
	↓	Setze für $y$ den Wert $0$ ein.
	$=$	$\displaystyle (40+4\cdot 0)^2-4\cdot (17+0^2)\cdot 26$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 1600-1768$
	$=$	$\displaystyle -168$

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle (40+4y)^2-4\cdot (17+y^2)\cdot 26$
	↓	Setze für $y$ den Wert $2$ ein.
	$=$	$\displaystyle (40+4\cdot 2)^2-4\cdot (17+2^2)\cdot 26$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 48^2-4\cdot21\cdot 26$
	$=$	$\displaystyle 2304-2184$
	$=$	$\displaystyle 120$

Aufgaben zu Kugeln und Geraden

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