Aufgaben zu Kugeln und Geraden
Hier findest du Übungsaufgaben zu Kugeln und Geraden. Lerne, die verschiedenen Lagebeziehungen zwischen Kugeln und Geraden zu untersuchen!
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Gegeben sind die Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius und eine Gerade. Untersuche die gegenseitige Lage der Geraden bezüglich der Kugel. Gib gegebenenfalls alle Schnittpunkte an.
Mittelpunkt der Kugel , Kugelradius
Gerade
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Aufstellen der Kugelgleichung
,
Gerade g in einsetzen
Fasse zusammen.
Vereinfache weiter.
Rechne das Skalarprodukt aus.
Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden!
↓ linke Seite sortieren
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder p-q-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies dazu die Werte für , und ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: , ,
↓ Setze , , ein
↓ vereinfache
Die quadratische Gleichung hat somit die Lösungsmenge . Da es zwei Lösungen gibt, schneidet die Gerade die Kugel in zwei Punkten. Die Gerade g ist also eine Sekante.
Schnittpunkte berechnen
Setze die zwei gefundenen Parameter und in die Geradengleichung ein.
:
:
Antwort: Die beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten und .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Stelle die Kugelgleichung in vektorieller Form auf und setze die Geradengleichung in die Gleichung ein. Ergeben sich bei der Lösung der Gleichung zwei Lösungen, dann ist die Gerade eine Sekante. Hat die Gleichung genau eine Lösung, dann ist die Gerade eine Tangente. Findest du hingegen keine Lösung der Gleichung, dann ist die Gerade eine Passante.
Mittelpunkt der Kugel , Kugelradius
Gerade
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Aufstellen der Kugelgleichung
,
Gerade g in einsetzen
Fasse zusammen.
Vereinfache weiter.
Rechne das Skalarprodukt aus.
Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden!
↓ fasse zusammen
↓ wende eine binomische Formel an
Die Lösung dieser quadratischen Gleichung kann direkt abgelesen werden:
Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge . Da es genau eine Lösung gibt, haben die Gerade und die Kugel einen Punkt gemeinsam, d.h. die Gerade ist eine Tangente an die Kugel .
Schnittpunktberechnung
Da es nur einen gemeinsamen Punkt zwischen der Kugel und der Geraden gibt, ist dieser Punkt ein Berührpunkt.
Setze den Wert in die Geradengleichung ein.
Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten
Hast du eine Frage oder Feedback?
Stelle die Kugelgleichung in vektorieller Form auf und setze die Geradengleichung in die Gleichung ein. Ergeben sich bei der Lösung der Gleichung zwei Lösungen, dann ist die Gerade eine Sekante. Hat die Gleichung genau eine Lösung, dann ist die Gerade eine Tangente. Findest du hingegen keine Lösung der Gleichung, dann ist die Gerade eine Passante.
Mittelpunkt der Kugel , Kugelradius
Gerade
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Aufstellen der Kugelgleichung
,
Gerade g in einsetzen
Fasse zusammen.
Vereinfache weiter.
Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden!
↓ fasse zusammen
Die quadratische Gleichung löst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder p-q-Formel.
Lies dazu die Werte für , und ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: , ,
↓ Setze , , ein
↓ vereinfache
Du hast bei der Lösung der Gleichung eine negative Wurzel erhalten, d.h. die Gleichung hat keine reelle Lösung:
Die Gerade hat mit der Kugel keine gemeinsamen Punkte, d.h. die Gerade ist eine Passante.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Stelle die Kugelgleichung in vektorieller Form auf und setze die Geradengleichung in die Gleichung ein. Ergeben sich bei der Lösung der Gleichung zwei Lösungen, dann ist die Gerade eine Sekante. Hat die Gleichung genau eine Lösung, dann ist die Gerade eine Tangente. Findest du hingegen keine Lösung der Gleichung, dann ist die Gerade eine Passante.
- 2
Gegeben sind eine Kugel mit Mittelpunkt , Radius und eine Gerade
.
Zeige, dass die Gerade eine Sekante der Kugel ist. Gib auch beide Schnittpunkte an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugelgleichung
Aufstellen der Kugelgleichung
,
Setze die Gleichung der Geraden für den Vektor in die Kugelgleichung ein.
↓ Fasse zusammen.
↓ Vereinfache weiter.
↓ Rechne das Skalarprodukt aus.
↓ Löse die Klammern auf und vergiss dabei nicht die binomische Formel anzuwenden.
↓ Fasse die linke Seite zusammen.
Du hast die quadratische Gleichung erhalten. Zur Lösung dieser Gleichung kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden.
Erster Faktor:
Zweiter Faktor:
Die quadratische Gleichung hat somit die Lösungsmenge .
Da es zwei Lösungen gibt, schneidet die Gerade die Kugel in zwei Punkten. Die Gerade g ist eine Sekante.
Schnittpunkte berechnen
Setze die zwei gefundenen Parameter und in die Geradengleichung
ein.
Antwort: Die beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten und .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Stelle die Kugelgleichung in vektorieller Form auf und setze die Geradengleichung in die Gleichung ein. Damit eine Sekante der Kugel ist, solltest du bei der Schnittpunktsberechnung zwei Lösungen erhalten.
Gib für die beiden Schnittpunkte und jeweils die zugehörende Tangentialebene in Koordinatenform an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangentialebene
Aufstellen der Tangentialebenengleichung im Punkt
↓ Setze für die Koordinaten des ersten Schnittpunktes ein. Setze den Mittelpunkt ein.
↓ Vereinfache.
↓ Diese Gleichung ist die Normalengleichung der Ebene.
↓ Vereinfache
↓ Um die Koordinatengleichung zu erhalten, rechne das Skalarprodukt aus.
↓ Löse die Klammern auf.
↓ Vereinfache.
Antwort: Die Tangentialebene hat die Gleichung .
Aufstellen der Tangentialebenengleichung im Punkt
↓ Setze für die Koordinaten des zweiten Schnittpunktes ein. Setze den Mittelpunkt ein.
↓ Vereinfache.
↓ Diese Gleichung ist die Normalengleichung der Ebene.
↓ Vereinfache.
↓ Um die Koordinatengleichung zu erhalten, rechne das Skalarprodukt aus.
↓ Löse die Klammern auf.
↓ Vereinfache.
Antwort: Die Tangentialebene hat die Gleichung .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze in die Gleichung der Tangentialebene für den Vektor einen der beiden Schnittpunkte ein und setze für den Vektor den Kugelmittelpunkt ein.
Zeige, dass sich die beiden Tangentialebenen und schneiden und berechne die Gleichung der Schnittgeraden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lage zweier Ebenen
Schnitt von und
Die beiden Tangentialebenen und haben die beiden Normalenvektoren:
und .
Die Normalenvektoren sind nicht Vielfache voneinander. Die beiden Ebenen sind somit nicht parallel, d.h. sie schneiden sich.
Berechnung der Schnittgeraden
Die beiden Ebenengleichungen liegen in der Koordinatenform vor. Die Berechnung der Schnittgeraden erfolgt durch Lösen eines Gleichungssystems aus Gleichungen mit Unbekannten. Dabei gibt es mehrere Lösungswege z.B. das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren. Die Lösung des Gleichungssystems erfolgt hier mit dem Additionsverfahren.
Die Tangentialebene ist Gleichung und die Tangentialebene ist Gleichung .
Eliminiere eine Variable z.B. die Variable .
Rechne :
Du hast die Gleichung erhalten.
Bei Gleichungen mit Unbekannten ist eine Unbekannte frei wählbar. Wähle z.B. .
Somit lautet die Gleichung .
Setze die Gleichung und in Gleichung ein.
↓ Setze und ein.
↓ Löse die Klammer auf.
↓ Vereinfache.
Schreibe die drei erhaltenen Gleichungen für , und untereinander und sortiere entsprechend.
Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Tangentialebenen lautet:
Hast du eine Frage oder Feedback?
Unter welchen Winkel schneiden sich die beiden Tangentialebenen?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittwinkel zweier Ebenen
Für den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen gilt folgende Formel:
Im Zähler des Bruches steht der Betrag des Skalarproduktes der beiden Normalenvektoren und der beiden Tangentialebenen und . Im Nenner des Bruches steht das Produkt der Beträge der beiden Normalenvektoren.
Lies die Normalenvektoren aus den Koordinatengleichungen ab:
und
Für den Betrag von gilt:
Für den Betrag von gilt:
Setze in die oben genannte Formel ein:
↓ Berechne das Skalarprodukt und vereinfache.
↓ Vereinfache.
↓ Berechne den Betrag.
Du hast die Gleichung erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel berechnen.
Hinweis: Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion .
Antwort: Der Schnittwinkel zwischen den beiden Tangentialebenen beträgt rund .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Lies die Normalenvektoren aus den Koordinatengleichungen ab und setze sie in die Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen ein.
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Gegeben sind eine Kugel mit Mittelpunkt , Radius und eine Gerade .
Für welchen Wert von ist die Gerade eine Tangente an die Kugel ? Gib auch den Berührpunkt an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel und Geraden
Aufstellen der Kugelgleichung
,
Setze die Gleichung der Geraden für den Vektor in die Kugelgleichung ein.
in einsetzen:
↓ Fasse zusammen.
↓ Vereinfache weiter.
↓ Rechne das Skalarprodukt aus.
↓ Löse die Klammern auf und vergiss dabei nicht die binomische Formel anzuwenden.
↓ Fasse die linke Seite zusammen.
↓ Klammere aus.
Du hast die quadratische Gleichung mit der Unbekannten erhalten. Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel. Lies dazu die Werte für , und ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
, ,
↓ Setze die Werte , und ein.
Wenn die Gerade eine Tangente sein soll, dann darf es nur eine Lösung für die quadratische Gleichung geben. Die Diskriminante muss gleich Null sein.
↓ Vereinfache die linke Seite. Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
↓ Vereinfache.
Du hast die quadratische Gleichung mit der Unbekannten erhalten. Die Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel. Lies dazu die Werte für , und ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: , ,
↓ Setze , , ein.
↓ Vereinfache.
↓ Vereinfache.
Fall:
Fall:
Antwort: Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge:
Da es für zwei Lösungen gibt, erhältst du auch zwei Tangentengleichungen.
Setze in für nacheinander die beiden Werte und ein.
und
Berührpunkte berechnen
Da die Diskriminante den Wert Null hat, gibt es nur eine Lösung bei der Schnittpunktsberechnung zwischen Gerade und Kugel .
↓ Der Term unter der Wurzel ist die Diskriminante .
↓ Setze , da es nur eine Lösung geben soll.
↓ Klammere im Zähler aus.
↓ Kürze.
Du hast für einen Term erhalten, der die y-Koordinate des Richtungsvektors der Geraden enthält. Für die beiden berechneten y-Werte und erhältst du zwei Berührpunkte.
Für folgt
Setze in ein:
Für folgt
Setze in ein:
Antwort: Die beiden Berührpunkte haben die Koordinaten und .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Stelle die Kugelgleichung in vektorieller Form auf und setze die Geradengleichung in die Gleichung ein. Damit eine Tangente ist, solltest du bei der Schnittpunktsberechnung nur eine Lösung erhalten. Die Diskriminante hat dann den Wert Null.
Wähle für die Koordinate in der oben angegebenen Geraden die Werte und .
Welche Lage haben die beiden Geraden und bezüglich der Kugel ?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kugel und Geraden
Die oben berechnete Diskriminante lautet :
Setze nacheinander die gegebenen Werte für y ein.
↓ Setze für den Wert ein.
↓ Vereinfache.
Antwort: Die Diskriminante ist negativ, d.h. die quadratische Gleichung hat keine Lösung. Die Gerade schneidet die Kugel nicht. Die Gerade ist eine Passante.
↓ Setze für den Wert ein.
↓ Vereinfache.
Antwort: Die Diskriminante ist positiv, d.h. die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen. Die Gerade schneidet die Kugel in zwei Punkten. Die Gerade ist eine Sekante.
Die nebenstehende Abbildung ist nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
ist eine Passante
ist eine Sekante
Hast du eine Frage oder Feedback?
In Aufgabe a) hast du bereits die Gerade mit der Kugel geschnitten. Die Lösung der quadratischen Gleichung enthält die unbekannte Koordinate . Der Wert der Diskriminanten entscheidet über die Lage der Geraden gegenüber der Kugel. Berechne die Diskriminante mit den beiden y-Werten und entscheide dann über die Lage der beiden Geraden und bezüglich der Kugel .
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