Aufgaben zu Kugeln und Geraden

Hier findest du Übungsaufgaben zu Kugeln und Geraden. Lerne, die verschiedenen Lagebeziehungen zwischen Kugeln und Geraden zu untersuchen!

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Gegeben sind die Kugel $K$ mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$ und eine Gerade. Untersuche die gegenseitige Lage der Geraden bezüglich der Kugel. Gib gegebenenfalls alle Schnittpunkte an.
1. Mittelpunkt der Kugel $M(5|2|1)$ , Kugelradius $r=7$
  Gerade $g:\;\vec X=\begin{pmatrix}-1\\4\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 2 \end{pmatrix}$
2. Mittelpunkt der Kugel $M(1|2|4)$ , Kugelradius $r=\sqrt{21}$
  Gerade $g:\;\vec X=\begin{pmatrix}1\\-2\\9\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ -2 \end{pmatrix}$
3. Mittelpunkt der Kugel $M(1|7|0)$ , Kugelradius $r=6$
  Gerade $g:\;\vec X=\begin{pmatrix}1\\2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 0 \\1 \\ 4 \end{pmatrix}$
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Gegeben sind eine Kugel $K$ mit Mittelpunkt $M(3|-1|2)$ , Radius $r=\sqrt{11}$ und eine Gerade
$g: \vec X=\begin{pmatrix}2\\0\\5\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2 \\-4 \\ -4\end{pmatrix}$ .
1. Zeige, dass die Gerade eine Sekante der Kugel ist. Gib auch beide Schnittpunkte an.
2. Gib für die beiden Schnittpunkte $S_1$ und $S_2$ jeweils die zugehörende Tangentialebene in Koordinatenform an.
3. Zeige, dass sich die beiden Tangentialebenen $E_{T_1}$ und $E_{T_2}$ schneiden und berechne die Gleichung der Schnittgeraden.
4. Unter welchen Winkel schneiden sich die beiden Tangentialebenen?
3
Gegeben sind eine Kugel $K$ mit Mittelpunkt $M(1|2|3)$ , Radius $r=\sqrt{10}$ und eine Gerade $g:\;\vec X=\begin{pmatrix}5\\4\\7\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1 \\y \\ 4\end{pmatrix}$ .
1. Für welchen Wert von $y$ ist die Gerade $g$ eine Tangente an die Kugel $K$ ? Gib auch den Berührpunkt an.
2. Wähle für die Koordinate $y$ in der oben angegebenen Geraden $g$ die Werte $y_a=0$ und $y_b =2$ .
  Welche Lage haben die beiden Geraden $g_a$ und $g_b$ bezüglich der Kugel $K$ ?

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