Analysis - lernen mit Serlo!

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden

\displaystyle F'(x)=\left(\frac{1}{4}x^2\cdot\left(2\ln\left(x\right)-1\right)\right)'=f(x)

Leite die Stammfunktion ab.

\displaystyle =\left(\frac{1}{4}x^2\cdot\left(2\ln\left(x\right)-1\right)\right)'

Wende die Produktregel an und achte beim Logarithmus auf Nachdifferenzieren.

\displaystyle =\frac{1}{2}x\cdot\left(2\ln\left(x\right)-1\right)+\frac{1}{4}x^2\cdot\left(2\cdot\frac{1}{x}-0\right)

Vereinfache.

\displaystyle =\frac{1}{2}x\cdot2\ln\left(x\right)-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x

Vereinfache.

\displaystyle =x\cdot\ln\left(x\right)=f(x)

Funktionsgraphen verschieben

Die gesuchte Stammfunktion, die ihre Nullstelle bei $x = 1$ hat, soll hier mit $F_{1}$ bezeichnet werden.

Da $F$ und $F_{1}$ beide Stammfunktionen von $f$ sind, unterscheiden sie sich nur durch eine additive Konstante, das heißt, es gilt:

$F_{1} (x) = F (x) + C$ für ein festes $C\in \mathbb R$ .

Verwende nun die Bedingung, dass $F_{(} 1) = 0$ ist, um $C$ herauszufinden:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}0 &=&F_1(x) \\0&=&F(1)+C \\0&=&\frac14\cdot(1)^2\cdot\left(2\ln\left(1\right)-1\right)+C\\0&=& -\frac{1}{4}+C\\\frac{1}{4}&=&C\end{array}$

Der Funktionterm lautet also:

$F_1(x)=\left(\frac{1}{4}x^2\cdot\left(2\ln\left(x\right)-1\right)\right)+\frac{1}{4}$

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