Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
Leite die Stammfunktion ab.
Wende die Produktregel an und achte beim Logarithmus auf Nachdifferenzieren.
Vereinfache.
Funktionsgraphen verschieben
Die gesuchte Stammfunktion, die ihre Nullstelle bei x=1x=1x=1 hat, soll hier mit F1F_1F1 bezeichnet werden.
Da FFF und F1F_1F1 beide Stammfunktionen von fff sind, unterscheiden sie sich nur durch eine additive Konstante, das heißt, es gilt:
F1(x)=F(x)+CF_1(x)=F(x)+CF1(x)=F(x)+C für ein festes C∈RC\in \mathbb RC∈R.
Verwende nun die Bedingung, dass F(1)=0F_(1)=0F(1)=0 ist, um CCC herauszufinden:
0=F1(x)0=F(1)+C0=14⋅(1)2⋅(2ln(1)−1)+C0=−14+C14=C\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}0 &=&F_1(x) \\0&=&F(1)+C \\0&=&\frac14\cdot(1)^2\cdot\left(2\ln\left(1\right)-1\right)+C\\0&=& -\frac{1}{4}+C\\\frac{1}{4}&=&C\end{array}000041=====F1(x)F(1)+C41⋅(1)2⋅(2ln(1)−1)+C−41+CC
Der Funktionterm lautet also:
F1(x)=(14x2⋅(2ln(x)−1))+14F_1(x)=\left(\frac{1}{4}x^2\cdot\left(2\ln\left(x\right)-1\right)\right)+\frac{1}{4}F1(x)=(41x2⋅(2ln(x)−1))+41
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