Funktionsgraphen verschieben

Die gesuchte Stammfunktion, die ihre Nullstelle bei $x=1$ hat, soll hier mit $F_1$ bezeichnet werden.

Da $F$ und $F_1$ beide Stammfunktionen von $f$ sind, unterscheiden sie sich nur durch eine additive Konstante, das heißt, es gilt:

$F_1(x)=F(x)+C$ für ein festes $C\in \mathbb R$.

Verwende nun die Bedingung, dass $F_(1)=0$ ist, um $C$ herauszufinden:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}0 &=&F_1(x) \\0&=&F(1)+C \\0&=&\frac14\cdot(1)^2\cdot\left(2\ln\left(1\right)-1\right)+C\\0&=& -\frac{1}{4}+C\\\frac{1}{4}&=&C\end{array}$

Der Funktionterm lautet also:

$F_1(x)=\left(\frac{1}{4}x^2\cdot\left(2\ln\left(x\right)-1\right)\right)+\frac{1}{4}$