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Teil 1

2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktion finden
Leite die Stammfunktion ab.
Wende die Produktregel an und achte beim Logarithmus auf Nachdifferenzieren.
Vereinfache.
Vereinfache.
Funktionsgraphen verschieben
Die gesuchte Stammfunktion, die ihre Nullstelle bei $x=1$ hat, soll hier mit $F_1$ bezeichnet werden.
Da $F$ und $F_1$ beide Stammfunktionen von $f$ sind, unterscheiden sie sich nur durch eine additive Konstante, das heißt, es gilt:
$F_1(x)=F(x)+C$ für ein festes $C\in \mathbb R$ .
Verwende nun die Bedingung, dass $F_(1)=0$ ist, um $C$ herauszufinden:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}0 &=&F_1(x) \\0&=&F(1)+C \\0&=&\frac14\cdot(1)^2\cdot\left(2\ln\left(1\right)-1\right)+C\\0&=& -\frac{1}{4}+C\\\frac{1}{4}&=&C\end{array}$
Der Funktionterm lautet also:
$F_1(x)=\left(\frac{1}{4}x^2\cdot\left(2\ln\left(x\right)-1\right)\right)+\frac{1}{4}$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentielles Wachstum
Gegeben ist:
$N(x)=N_0\cdot e^{k\cdot (x-2000)}$
Setze die Werte für das Jahr $2000$ und $2010$ ein.
$N(2000)=6{,}1\; \text{Mrd}\;=N_0\cdot e^{k\cdot(2000-2000)}$
$N(2010)=6{,}9 \; \text{Mrd}\;=N_0\cdot e^{k\cdot(2010-2000)}$
$N(2000)=6{,}1\; \text{Mrd}\;=N_0\cdot e^{k\cdot(0)}$
Vereinfache diese Gleichung.
$N(2000)=6{,}1\; \text{Mrd}\;=N_0\cdot1$
Somit ist $N_0=6{,}1 \; \text{Mrd}$ . Setze diesen Wert in die zweite Gleichung ein.
$6{,}9\; \text{Mrd}\;=6{,}1\; \text{Mrd}\cdot e^{k\cdot(2010-2000)}\,\,|:6{,}1\; \text{Mrd}$
$1{,}131=e^{k\cdot10}$
Wende den Logarithmus an.
$\ln\left(1{,}131\right)=10k\,\,|:10$
$k=0{,}0123$
Du erhältst als Lösung $N_0=6{,}1 \; \text{Mrd}$ und $k=0{,}0123$ .

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2x+3}{4x+5}$
	↓	Der Nenner einer gebrochenrationalen Funktion darf nicht Null werden. Berechne wann der Nenner Null wird.
$\displaystyle 4x+5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle -5$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1{,}25$
	↓	Die Funktion ist für alle Zahlen in $\mathbb{R}$ außer für -1,25 definiert.

$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(\dfrac{2x+3}{4x+5}\right)^´$
	↓	Wende die Quotientenregel an.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2\cdot\left(4x+5\right)-\left(2x+3\right)\cdot4}{\left(4x+5\right)^2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{8x+10-8x-12}{\left(4x+5\right)^2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-2}{\left(4x+5\right)^2}$

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