Teil B

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1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Aufgabe B1
Gegeben ist die Funktion $f_{1}$ mit der Gleichung $y = 3 \cdot \log_{3} (x + 7) - 4$ ( $𝔾 = ℝ \times ℝ$ ).
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Geben Sie die Gleichung der Asymptote $h$ des Graphen zu $f_{1}$ an.
  Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{1}$ für $x \in [- 4; 9]$ in ein Koordinatensystem. (2 P)
  Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 cm$ ; $- 4 \leq x \leq 9$ ; $- 6 \leq y \leq 4$
  
  Die Gleichung der (senkrechten) Asymptoten ist $h : x = - 7$ .
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2. Der Graph der Funktion $f_{1}$ wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array})$ auf den Graphen der Funktion $f_{2}$ abgebildet.
  Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Funktion $f_{2}$ gilt:
  $y = - 3 \cdot \log_{3} (x + 6) + 2$ $(𝔾 = ℝ \times ℝ)$ .
  Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_{2}$ für $x \in [- 4; 9]$ in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (3 P)
  
  Spiegelung an der $x$ -Achse:
  $f_{g y} (x) = - f_{1} (x)$
  $f_{g y} (x) = - (3 \cdot \log_{3} (x + 7) - 4)$
  $f_{g y} (x) = - 3 \cdot \log_{3} (x + 7) + 4$
  Mit dem Vektor $\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array})$ verschieben:
  $(\begin{array}{c} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{c} x \\ - 3 \cdot \log_{3} (x + 7) + 4 \end{array}) + (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \end{array})$
  $1 : x^{'} = x + 1$
  $2 : y^{'} = - 3 \cdot \log_{3} (x + 7) + 4 - 2$
  Gleichung $1$ umformen:
  $x^{'} = x + 1 | - 1$
  $x = x^{'} - 1$
  in Gleichung $2$ einsetzen:
  $y^{'} = - 3 \cdot \log_{3} (x^{'} - 1 + 7) + 4 - 2$
  $y^{'} = - 3 \cdot \log_{3} (x^{'} + 6) + 2$
  $f_{2} : y = - 3 \cdot \log_{3} (x + 6) + 2$
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3. Punkte $A_{n} (x | - 3 \cdot \log_{3} (x + 6) + 2)$ auf dem Graphen zu $f_{2}$ und Punkte $D_{n} (x | 3 \cdot \log_{3} (x + 7) - 4)$ auf dem Graphen zu $f_{1}$ haben dieselbe Abszisse $x$ . Sie sind für $x > - 3,46$ zusammen mit Punkten $B_{n}$ und $C_{n}$ Eckpunkte von Parallelogrammen $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ . Die Punkte $B_{n}$ liegen dabei ebenfalls auf dem Graphen zu $f_{2}$ , ihre x-Koordinate ist stets um 4 größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ .
  Zeichnen Sie das Parallelogramm $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ für $x = - 1,5$ und das Parallelogramm $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ für $x = 4$ in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (2 P)
  
  Berechnung der Punkte:
  $x = - 1,5$
  $A_{1} (- 1,5 | - 3 \cdot \log_{3} (- 1,5 + 6) + 2) \Rightarrow A_{1} (- 1,5 | - 2,11)$
  $D_{1} (- 1,5 | 3 \cdot \log_{3} (- 1,5 + 7) - 4) \Rightarrow D_{1} (- 1,5 | 0,66)$
  Für $B_{1}$ ist die Abszisse um $4$ größer $\Rightarrow x = - 1,5 + 4 = 2,5$
  $B_{1} (2,5 | - 3 \cdot \log_{3} (2,5 + 6) + 2) \Rightarrow B_{1} (2,5 | - 3,84)$
  $\vec{C_{1}} = \vec{B_{1}} + \vec{A_{1} D_{1}}$
  $\vec{C_{1}} = (\begin{array}{c} 2,5 \\ - 3,84 \end{array}) + ((\begin{array}{c} - 1,5 \\ 0,66 \end{array}) - (\begin{array}{c} - 1,5 \\ - 2,11 \end{array})) = (\begin{array}{c} 2,5 \\ - 1,07 \end{array})$
  $C_{1} (2,5 | - 1,07)$
  $x = 4$
  $A_{2} (4 | - 3 \cdot \log_{3} (4 + 6) + 2) \Rightarrow A_{2} (4 | - 4,29)$
  $D_{2} (4 | 3 \cdot \log_{3} (4 + 7) - 4) \Rightarrow D_{2} (4 | 2,55)$
  Für $B_{2}$ ist die Abszisse um $4$ größer $\Rightarrow x = 4 + 4 = 8$
  $B_{2} (8 | - 3 \cdot \log_{3} (8 + 6) + 2) \Rightarrow B_{2} (8 | - 5,21)$
  $\vec{C_{2}} = \vec{B_{2}} + \vec{A_{2} D_{2}}$
  $\vec{C_{2}} = (\begin{array}{c} 8 \\ - 5,21 \end{array}) + ((\begin{array}{c} 4 \\ 2,55 \end{array}) - (\begin{array}{c} 4 \\ - 4,29 \end{array})) = (\begin{array}{c} 8 \\ 1,63 \end{array})$
  $C_{2} (8 | 1,63)$
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4. Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Flächeninhalt $A$ der Parallelogramme $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_{n}$ gilt: (3 P)
  $A (x) = [12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 24] FE$ .
  
  $A_{Parallelogramm} = a \cdot h$
  $a = D_{y n} - A_{y n}$
  $a = 3 \cdot \log_{3} (x + 7) - 4 - (- 3 \cdot \log_{3} (x + 6) + 2)$
  $a = 3 \cdot \log_{3} (x + 7) - 4 + 3 \cdot \log_{3} (x + 6) - 2$
  $a = 3 \cdot (\log_{3} (x + 7) + \log_{3} (x + 6)) - 6$
  Logarithmusumformung!
  $a = 3 \cdot \log_{3} ((x + 7) \cdot (x + 6)) - 6$
  $a = 3 \cdot \log_{3} (x^{2} + 6 x + 7 x + 42) - 6$
  $a = 3 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 6$
  Da das Parallelogramm eine Höhe von $4$ hat, muss der Term noch mit $4$ multipliziert werden.
  $A_{Parallelogramm} (x) = (3 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 6) \cdot 4$
  $A_{Parallelogramm} (x) = [12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 24] FE$
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  Einsetzen der Punkte $A_{y n}$ und $D_{y n}$ in die Formel für den Flächeninhalt des Parallelogramms
5. Im Parallelogramm $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ liegt der Punkt $D_{3}$ auf der $x$ -Achse.
  Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt des Parallelogramms $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ . (3 P)
  FE
  
  $f_{1} (x_{D_{3}})$ $=$ $0$
  $3 \cdot \log_{3} (x_{D_{3}} + 7) - 4$ $=$ $0$ $+ 4$
  $3 \cdot \log_{3} (x_{D_{3}} + 7)$ $=$ $4$ $: 3$
  $\log_{3} (x_{D_{3}} + 7)$ $=$ $\frac{4}{3}$
  $x_{D_{3}} + 7$ $=$ $3^{(\frac{4}{3})}$ $- 7$
  $x_{D_{3}}$ $=$ $3^{(\frac{4}{3})} - 7$
  $D_{3} (3^{(\frac{4}{3})} - 7 | 0) \Rightarrow D_{3} (- 2,67 | 0)$
  Berechnung des Flächeninhaltes $A$ :
  Setze $x = - 2,67$ in $A (x) = [12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 24] FE$ ein.
  $A_{A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}} = [12 \cdot \log_{3} ((- 2,67)^{2} + 13 \cdot (- 2,67) + 42) - 24] = 5,15 FE$
  Die Zeichnung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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  Da $D_{3}$ auf der x-Achse liegt, muss gelten: $f_{1} (x_{D_{3}}) = 0$ . Damit ergibt sich der x-Wert des Punktes von $D_{3}$ .
6. Das Parallelogramm $A_{4} B_{4} C_{4} D_{4}$ hat einen Flächeninhalt von $16 FE$ .
  Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $B_{4}$ . (4 P)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösung einer quadratischen Gleichung
  Setze $A (x) = 16$ .
  $12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 24$ $=$ $16$ $+ 24$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42)$ $=$ $40$ $: 12$
  $\log_{3} (x^{2} + 13 x + 42)$ $=$ $\frac{40}{12}$ $3^{()}$
  ↓
  Kürze $\frac{40}{12} = \frac{10}{3}$ .
  $x^{2} + 13 x + 42$ $=$ $3^{\frac{10}{3}}$ $- 3^{\frac{10}{3}}$
  $x^{2} + 13 x + 42 - 3^{\frac{10}{3}}$ $=$ $0$
  Die quadratische Gleichung löst man mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
  $x_{1,2}$ $=$ $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
  ↓
  Setze $a = 1$ ; $b = 13$ und $c = (42 - 3^{\frac{10}{3}})$ ein.
  $=$ $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (42 - 3^{\frac{10}{3}})}}{2 \cdot 1}$
  ↓
  Berechne die Wurzel.
  $=$ $\frac{- 13 \pm 12,52}{2}$
  Es ist $x_{1} = - 12,76$ und $x_{2} = - 0,24$
  Da $x > - 3,46$ vorgeben ist, entfällt $x_{1} \Rightarrow 𝕃 = {- 0,24}$
  Der x-Wert für den Punkt $B$ ist um $4$ höher.
  $= > x_{B} = - 0,24 + 4 = 3,76$
  Einsetzen in $f_{2} (x) :$
  $- 3 \log_{3} (3,76 + 6) + 2$ $=$ $- 4,22$
  $= > B (3,76 | - 4,22)$
  Die Zeichnung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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Aufgabe B2

Die Diagonalen $[A C]$ und $[B D]$ des Drachenvierecks $A B C D$ schneiden sich im Punkt $M$ . Das Drachenviereck $A B C D$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ mit der Spitze $S$ und der Höhe $[M S]$ .

Es gilt: $A C = 11$ cm; $A M = 4,5$ cm; $B D = 10$ cm; $M S = 9$ cm.

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $A B C D S$ , wobei $[A C]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: $q = \frac{1}{2}$ und $ω = 45 °$ .
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels $M S C$ . [Ergebnis: $∢ M S C = 35,84 °$ ] (3 P)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder zeichnen
Skizze erstellen und Maße eintragen
$[A C]$ und $[B D]$ zeichnen. Beachte den Winkel von $45^{\circ}$ für $[B D]$ und für die Länge gilt:
$10 cm \cdot \frac{1}{2} = 5 cm, da$ $q = \frac{1}{2}$
Als Nächstes zeichnest Du die Strecke $[M S]$ mit $9 cm$ senkrecht über dem Punkt $M$ ein.
Jetzt noch alle Punkte verbinden und Du hast den 1. Teil fast geschafft.
Für die Berechnung des Winkels nimmst du den Tangens: siehe hier
$\begin{array}{l} \tan (α) = \frac{6,5}{9} \\ α = \tan^{- 1} (\frac{6,5}{9}) = {35,83}^{\circ} \end{array}$
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Punkte $P_{n}$ liegen auf der Strecke $[C S] .$ Die Winkel $P_{n} M S$ haben das Maß $φ$ mit $φ \in] 0 °; 90 °]$ . Die Punkte $P_{n}$ sind zusammen mit den Punkten $B$ und $D$ die Eckpunkte von Dreiecken $B D P_{n}$ .
Zeichnen Sie die Strecke $[M P_{1}]$ sowie das Dreieck $B D P_{1}$ für $φ = 30 °$ in das Schrägbild zu 2a) ein.
Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken $[M P_{n}]$ in Abhängigkeit von $φ$ gilt: $M P_{n} (φ) = \frac{5,27}{\sin (φ + 35,84 °)}$ cm. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz
$\begin{array}{l} gegeben: \\ M S = 9 cm \\ ∢ M S C = 35,84° \\ zu zeigen: \\ M P_{n} (φ) = \frac{5,27}{\sin (φ + 35,84 °)} \\ Sinussatz: \\ \frac{M P_{n}}{\sin (∢ M S C)} = \frac{M S}{\sin (∢ S P M)} \\ \frac{M P_{n}}{\sin (35,84 °)} = \frac{9 cm}{\sin (180 ° - (φ + 35,84 °))} | \cdot \sin (35,84 °) \\ M P_{n} (φ) = \frac{9 cm \cdot \sin (35,84 °)}{\sin (180 ° - (φ + 35,84 °))} \\ M P_{n} (φ) = \frac{5,27}{\sin (180 ° - (φ + 35,84 °))} \\ Supplementärwinkel: \sin (180 ° - (φ + 35,84 °)) = \sin (φ + 35,84 °) \\ M P_{n} (φ) = \frac{5,27}{\sin (φ + 35,84 °)} \end{array}$
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Das Dreieck $B D P_{2}$ ist gleichseitig.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $φ$ . (3 P)
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Dreieck gleichseitig
Für die Höhe im gleichseitigen Dreieck $B D P_{2}$ gilt:
$h = \frac{B D}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{10}{2} \sqrt{3} cm$
Aus b) (B 2.2) gilt:
$M P_{n} (φ) = \frac{5,27}{\sin (φ + {35,84}^{\circ})}$
mit $φ \in] 0^{\circ}; 90^{\circ}]$
Setze $h = M P_{n}$ :
$\frac{10}{2} \sqrt{3}$ $=$ $\frac{5,27}{\sin (φ + {35,84}^{\circ})}$ $\cdot \sin (φ + {35,84}^{\circ})$
↓
Löse nach $\sin (φ + {35,84}^{\circ})$ auf.
$\frac{10}{2} \sqrt{3} \cdot \sin (φ + {35,84}^{\circ})$ $=$ $5,27$ $: (5 \cdot \sqrt{3})$
$\sin (φ + {35,84}^{\circ})$ $=$ $\frac{5,27}{5 \cdot \sqrt{3}}$
Berechne den Winkel mit der Umkehrfunktion:
$φ + {35,84}^{\circ}$ $=$ $\sin^{- 1} (\frac{5,27}{5 \cdot \sqrt{3}})$ $- {35,84}^{\circ}$
$φ$ $=$ $\sin^{- 1} (\frac{5,27}{5 \cdot \sqrt{3}}) - {35,84}^{\circ}$
$φ$ $=$ ${37,48}^{\circ} - {35,84}^{\circ}$
$φ$ $=$ ${1,64}^{\circ}$
$𝕃 = {{1,64}^{\circ}}$
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Die Pyramiden $B D S P_{n}$ haben die Grundfläche $B D S$ und die Spitzen $P_{n}$ . Die Höhenfußpunkte $F_{n}$ der Pyramiden $B D S P_{n}$ liegen auf der Strecke $[M S]$ .

Zeichnen Sie die Höhe $[F_{1} P_{1}]$ in das Schrägbild zu $2 a)$ ein.

Berechnen Sie sodann das Volumen $V$ der Pyramiden $B D S P_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$ .

[Zwischenergebnis: $F_{n} P_{n} (φ) = \frac{5,27 \cdot \sin φ}{\sin (φ + 35,84 °)}$ ] cm (3 P)

Die Pyramiden $A B D S$ und $B D S P_{3}$ haben das gleiche Volumen.

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $φ$ . (3 P)

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$V_{B D S P_{n}} (φ)$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot B D \cdot M S \cdot F_{n} P_{n}$
	↓	Setze $B D = 10 cm$ , $M S = 9 cm$ und $F_{n} P_{n}$ ein.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9 \cdot \frac{5,27 \cdot \sin φ}{\sin (φ + {35,84}^{\circ})} {cm}^{3}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{79,05 \cdot \sin φ}{\sin (φ + {35,84}^{\circ})} {cm}^{3} φ \in] 0^{\circ}; 90^{\circ}]$

$67,5$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot 45 \cdot F_{3} P_{3}$
	↓	Vereinfache.
$67,5$	$=$	$45 \cdot F_{3} P_{3}$	$: 45$
$\frac{67,5}{45}$	$=$	$F_{3} P_{3}$
$4,5$	$=$	$F_{3} P_{3}$

$\frac{5,27 \cdot \sin φ}{\sin (φ + {35,84}^{\circ})}$	$=$	$4,5$	$\cdot \sin (φ + {35,84}^{\circ})$
	↓	Bringe den Nenner auf die andere Seite.
$5,27 \cdot \sin φ$	$=$	$4,5 \cdot \sin (φ + {35,84}^{\circ})$
	↓	Verwende das Additionstheorem für den Sinus.
$5,27 \cdot \sin φ$	$=$	$4,5 \cdot (\sin φ \cdot \cos {35,84}^{\circ} + \sin {35,84}^{\circ} \cdot \cos φ)$
	↓	Ersetze $\cos φ$ durch $\frac{\sin φ}{\tan φ} .$
$5,27 \cdot \sin φ$	$=$	$4,5 \cdot (\sin φ \cdot \cos {35,84}^{\circ} + \sin {35,84}^{\circ} \cdot \frac{\sin φ}{\tan φ})$
	↓	Klammere $\sin φ$ aus.
$5,27 \cdot \sin φ$	$=$	$4,5 \cdot \sin φ \cdot (\cos {35,84}^{\circ} + \frac{\sin {35,84}^{\circ}}{\tan φ})$	$: \sin φ$
	↓	Wegen $φ \in] 0^{\circ}; 90^{\circ}]$ ist $\sin φ \neq 0$ .
$5,27$	$=$	$4,5 \cdot (\cos {35,84}^{\circ} + \frac{\sin {35,84}^{\circ}}{\tan φ})$	$: 4,5$
$\frac{5,27}{4,5}$	$=$	$\cos {35,84}^{\circ} + \frac{\sin {35,84}^{\circ}}{\tan φ}$	$- \cos {35,84}^{\circ}$
$\frac{5,27}{4,5} - \cos {35,84}^{\circ}$	$=$	$\frac{\sin {35,84}^{\circ}}{\tan φ}$
	↓	Bilde den Kehrwert.
$\frac{1}{\frac{5,27}{4,5} - \cos {35,84}^{\circ}}$	$=$	$\frac{\tan φ}{\sin {35,84}^{\circ}}$	$\cdot \sin {35,84}^{\circ}$
	↓	Löse nach $\tan φ$ auf.
$\frac{\sin {35,84}^{\circ}}{\frac{5,27}{4,5} - \cos {35,84}^{\circ}}$	$=$	$\tan φ$
	↓	Vereinfache.
$1,6244$	$\approx$	$\tan φ$

Teil B

Aufgabe B1

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Aufgabe B2

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Einzeichnen der Höhe $[F_{1} P_{1}]$ in das Schrägbild

Berechnung des Volumens $V$ der Pyramiden $B D S P_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$

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$f_{1} (x_{D_{3}})$	$=$	$0$
$3 \cdot \log_{3} (x_{D_{3}} + 7) - 4$	$=$	$0$	$+ 4$
$3 \cdot \log_{3} (x_{D_{3}} + 7)$	$=$	$4$	$: 3$
$\log_{3} (x_{D_{3}} + 7)$	$=$	$\frac{4}{3}$
$x_{D_{3}} + 7$	$=$	$3^{(\frac{4}{3})}$	$- 7$
$x_{D_{3}}$	$=$	$3^{(\frac{4}{3})} - 7$

$12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42) - 24$	$=$	$16$	$+ 24$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$12 \cdot \log_{3} (x^{2} + 13 x + 42)$	$=$	$40$	$: 12$
$\log_{3} (x^{2} + 13 x + 42)$	$=$	$\frac{40}{12}$	$3^{()}$
	↓	Kürze $\frac{40}{12} = \frac{10}{3}$ .
$x^{2} + 13 x + 42$	$=$	$3^{\frac{10}{3}}$	$- 3^{\frac{10}{3}}$
$x^{2} + 13 x + 42 - 3^{\frac{10}{3}}$	$=$	$0$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 1$ ; $b = 13$ und $c = (42 - 3^{\frac{10}{3}})$ ein.
	$=$	$\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (42 - 3^{\frac{10}{3}})}}{2 \cdot 1}$
	↓	Berechne die Wurzel.
	$=$	$\frac{- 13 \pm 12,52}{2}$

$\frac{10}{2} \sqrt{3}$	$=$	$\frac{5,27}{\sin (φ + {35,84}^{\circ})}$	$\cdot \sin (φ + {35,84}^{\circ})$
	↓	Löse nach $\sin (φ + {35,84}^{\circ})$ auf.
$\frac{10}{2} \sqrt{3} \cdot \sin (φ + {35,84}^{\circ})$	$=$	$5,27$	$: (5 \cdot \sqrt{3})$
$\sin (φ + {35,84}^{\circ})$	$=$	$\frac{5,27}{5 \cdot \sqrt{3}}$

$φ + {35,84}^{\circ}$	$=$	$\sin^{- 1} (\frac{5,27}{5 \cdot \sqrt{3}})$	$- {35,84}^{\circ}$
$φ$	$=$	$\sin^{- 1} (\frac{5,27}{5 \cdot \sqrt{3}}) - {35,84}^{\circ}$
$φ$	$=$	${37,48}^{\circ} - {35,84}^{\circ}$
$φ$	$=$	${1,64}^{\circ}$

Teil B

Aufgabe B1

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Aufgabe B2

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Einzeichnen der Höhe [F1P1] in das Schrägbild

Berechnung des Volumens Vder Pyramiden BDSPn in Abhängigkeit von φ

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Einzeichnen der Höhe $[F_{1} P_{1}]$ in das Schrägbild

Berechnung des Volumens $V$ der Pyramiden $B D S P_{n}$ in Abhängigkeit von $φ$