Teil B

Geben Sie die Gleichung der Asymptote $h$ des Graphen zu $f_1$ an.

Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_1$ für $x\in[-4;9]$ in ein Koordinatensystem. (2 P)

Für die Zeichnung: Längeneinheit $1\;\text{cm}$; $-4\le x\le 9$; $-6\le y\le 4$

Der Graph der Funktion $f_1$ wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse und anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} 1 \\ -2\end{pmatrix}$ auf den Graphen der Funktion $f_2$ abgebildet.

Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Funktion $f_2$ gilt:

$y=-3\cdot \log_3(x+6)+2$ $(\mathbb{G}=\mathbb{R}\times\mathbb{R})$.

Zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f_2$ für $x\in[-4;9]$ in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (3 P)

Punkte $A_n(x|-3\cdot \log_3(x+6)+2)$ auf dem Graphen zu $f_2$ und Punkte $D_n(x|3\cdot \log_3(x+7)-4)$ auf dem Graphen zu $f_1$ haben dieselbe Abszisse $x$. Sie sind für $x>-3{,}46$ zusammen mit Punkten $B_n$ und $C_n$ Eckpunkte von Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$. Die Punkte $B_n$ liegen dabei ebenfalls auf dem Graphen zu $f_2$, ihre x-Koordinate ist stets um 4 größer als die Abszisse $x$ der Punkte $A_n$.

Zeichnen Sie das Parallelogramm $A_1B_1C_1D_1$ für $x=-1{,}5$ und das Parallelogramm $A_2B_2C_2D_2$ für $x=4$ in das Koordinatensystem zu 1a) ein. (2 P)

Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Flächeninhalt $A$ der Parallelogramme $A_nB_nC_nD_n$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ gilt: (3 P)

$A(x)=[12 \cdot \log_3(x^2+13x+42)-24]\;\text{FE}$.

Im Parallelogramm $A_3B_3C_3D_3$ liegt der Punkt $D_3$ auf der $x$-Achse.

Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt des Parallelogramms $A_3B_3C_3D_3$. (3 P)

Das Parallelogramm $A_4B_4C_4D_4$ hat einen Flächeninhalt von $16\;\text{FE}$.

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $B_4$. (4 P)

Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$, wobei $[AC]$ auf der Schrägbildachse und der Punkt $A$ links vom Punkt $C$ liegen soll.

Für die Zeichnung gilt: $q=\dfrac{1}{2}$ und $\omega=45°$.

Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels $MSC$. [Ergebnis: $\sphericalangle MSC=35{,}84°$] (3 P)

Punkte $P_n$ liegen auf der Strecke $[CS].$ Die Winkel $P_nMS$ haben das Maß $\varphi$ mit $\varphi\in ]0°;90°]$. Die Punkte $P_n$ sind zusammen mit den Punkten $B$ und $D$ die Eckpunkte von Dreiecken $BDP_n$.

Zeichnen Sie die Strecke $[MP_1]$ sowie das Dreieck $BDP_1$ für $\varphi=30°$ in das Schrägbild zu 2a) ein.

Zeigen Sie sodann, dass für die Länge der Strecken $[MP_n]$ in Abhängigkeit von $\varphi$ gilt: $\overline{MP_n}(\varphi)=\dfrac{5{,}27}{\sin(\varphi+35{,}84°)}$cm. (3 P)

Das Dreieck $BDP_2$ ist gleichseitig.

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$. (3 P)

Die Pyramiden $BDSP_n$ haben die Grundfläche $BDS$ und die Spitzen $P_n$. Die Höhenfußpunkte $F_n$ der Pyramiden $BDSP_n$ liegen auf der Strecke $[MS]$.

Zeichnen Sie die Höhe $[F_1P_1]$ in das Schrägbild zu $2a)$ ein.

Berechnen Sie sodann das Volumen $V$ der Pyramiden $BDSP_n$ in Abhängigkeit von $\varphi$.

[Zwischenergebnis:  $\overline{F_nP_n}(\varphi)=\dfrac{5{,}27\cdot \sin\varphi}{\sin(\varphi+35{,}84°)}$] cm (3 P)

Die Pyramiden $ABDS$ und $BDSP_3$ haben das gleiche Volumen.

Berechnen Sie den zugehörigen Wert für $\varphi$. (3 P)