Bei einer gebrochen-rationalen Funktion darf der Nenner nicht null sein.

Für die Berechnung der Definitionslücken setze den Nenner $N(x)N(x)$ gleich null.

$N(x)=x^2-9N(x)=x^2-9$

Die beiden Nullstellen des Nenners müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden$\Rightarrow \mathbb{D}=\mathbb{R}\mathrm{\backslash }\{-3;3\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\; \backslash mathbb\; D=\backslash mathbb\; R\backslash backslash\backslash \{-3;3\backslash \}$

Für die Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von $gg$ berechnet man den Grenzwert ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }g(x)}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}g(x)$, indem die höchste Potenz von $xx$ (das ist hier $x^{2}x^2$) ausgeklammert wird.

${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2x^2}{x^2-9}={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\cancel{x^2}\cdot 2}{\cancel{x^2}(1-\underset{\to 0}{\underbrace{\frac{9}{x^2}}})}=\frac{2}{1}=2}}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash dfrac\{2x^2\}\{x^2-9\}=\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash to\backslash infty\}\backslash dfrac\{\backslash cancel\{x^2\}\backslash cdot2\}\{\backslash cancel\{x^2\}\backslash left(1-\backslash underbrace\{\backslash dfrac\{9\}\{x^2\}\}\_\{\backslash rightarrow\; 0\}\backslash right)\}=\backslash dfrac\{2\}\{1\}=2$

Der Graph von $gg$ hat die waagrechte Asymptote $y=2y=2$.

Besitzt der Graph von $gg$ in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente, so heißt das, die erste Ableitung der Funktion an dieser Stelle muss null sein:

${\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0}\backslash displaystyle\; g\text{'}\backslash left(x\backslash right)=0$

Berechne zunächst ${\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)}\backslash displaystyle\; g\text{'}\backslash left(x\backslash right)$ mithilfe der Quotientenregel:

$g(x)={\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}={\displaystyle \frac{2x^2}{x^2-9}}g(x)=\backslash dfrac\{u(x)\}\{v(x)\}=\backslash dfrac\{2x^2\}\{x^2-9\}$ mit $u(x)=2x^{2}u(x)=2x^2$ und $v(x)=x^2-9v(x)=x^2-9$

Berechne die Ableitungen $u(x{)}^{\mathrm{\prime }}u(x)\text{'}$ und $v(x{)}^{\mathrm{\prime }}v(x)\text{'}$:

$u(x{)}^{\mathrm{\prime }}=4xu(x)\text{'}=4x$ und $v(x{)}^{\mathrm{\prime }}=2xv(x)\text{'}=2x$ und setze alle Terme in die Formel für die Quotientenregel ein.

Die erste Ableitung der Funktion $g(x)g(x)$ lautet: $g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-36x}{{(x^2-9)}^2}}g\text{'}(x)=\backslash dfrac\{-36x\}\{\backslash left(x^2-9\backslash right)^2\}$

Setze nun ${\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=0}\backslash displaystyle\; g\text{'}\backslash left(x\backslash right)=0$:

${\displaystyle \frac{-36x}{{(x^2-9)}^2}}=0\backslash dfrac\{-36x\}\{\backslash left(x^2-9\backslash right)^2\}=0$

Ein Bruch hat dann den Wert null, wenn der Zähler gleich null ist:

$\Rightarrow -36x=0\Rightarrow x=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;-36x=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=0$

Der Graph von $gg$ hat in genau eine waagrechte Tangente an der Stelle $x=0x=0$.