Bei einer gebrochen-rationalen Funktion darf der Nenner nicht null sein.

Für die Berechnung der Definitionslücken setze den Nenner $N(x)$ gleich null.

$N(x)=x^2-9$

Die beiden Nullstellen des Nenners müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden$\;\Rightarrow\; \mathbb D=\mathbb R\backslash\{-3;3\}$

Für die Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von $g$ berechnet man den Grenzwert $\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)$, indem die höchste Potenz von $x$ (das ist hier $x^2$) ausgeklammert wird.

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2}{x^2-9}=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\cancel{x^2}\cdot2}{\cancel{x^2}\left(1-\underbrace{\dfrac{9}{x^2}}_{\rightarrow 0}\right)}=\dfrac{2}{1}=2$

Der Graph von $g$ hat die waagrechte Asymptote $y=2$.

Besitzt der Graph von $g$ in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente, so heißt das, die erste Ableitung der Funktion an dieser Stelle muss null sein:

$\displaystyle g'\left(x\right)=0$

Berechne zunächst $\displaystyle g'\left(x\right)$ mithilfe der Quotientenregel:

$g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}=\dfrac{2x^2}{x^2-9}$ mit $u(x)=2x^2$ und $v(x)=x^2-9$

Berechne die Ableitungen $u(x)'$ und $v(x)'$:

$u(x)'=4x$ und $v(x)'=2x$ und setze alle Terme in die Formel für die Quotientenregel ein.

Die erste Ableitung der Funktion $g(x)$ lautet: $g'(x)=\dfrac{-36x}{\left(x^2-9\right)^2}$

Setze nun $\displaystyle g'\left(x\right)=0$:

$\dfrac{-36x}{\left(x^2-9\right)^2}=0$

Ein Bruch hat dann den Wert null, wenn der Zähler gleich null ist:

$\;\Rightarrow\;-36x=0\;\Rightarrow\;x=0$

Der Graph von $g$ hat in genau eine waagrechte Tangente an der Stelle $x=0$.