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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zu Ausdrucken als PDF,

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion g:x2x2x29g:x\mapsto \dfrac{2x^2}{x^2-9}mit maximaler Definitionsmenge DgD_g.

    1. Geben Sie DgD_g sowie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von gg an. (2P)

    2. Zeigen Sie, dass der Graph von gg in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt. (3P)

  2. 2
    Aufgabengruppe 2 Abbildung 1

    Betrachtet werden die in R\mathbb R definierten Funktionen ff und FF, wobei FF eine Stammfunktion von ff ist. Abbildung 11 zeigt den Graphen GFG_F von FF.

    1. Bestimmen Sie den Wert des Integrals 17f(x)  dx\displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm{d}x. (2P)


    2. Bestimmen Sie den Funktionswert von ff an der Stelle 11; veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen in Abbildung 11. (3P)


  3. 3

    1. Gegeben ist die Funktion h:x  ln(2x3) h: x\mapsto\;\ln(2x-3) mit Definitionsmenge Dh=]32;+[D_h=\left]\dfrac{3}{2};+\infty\right[. Geben Sie die Nullstelle von hh sowie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von hh an. (2P)

    2. Gruppe 2 Abbildung 2

      Die in R\mathbb R definierte Funktion ff besitzt die Nullstelle x=2x=2, außerdem gilt f(x)>0f'(x)>0 für alle xRx\in \mathbb R. Abbildung 22 zeigt den Graphen GfG_f von ff.

      Betrachtet wird die Funktion

      g:xln(f(x))g: x\mapsto \ln(f(x)) mit maximaler Definitionsmenge DgD_g. Geben Sie DgD_g an und ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 22 diejenige Stelle x, für die g(x)=f(x)g'(x)=f'(x) gilt. (3P)

  4. 4

    Gegeben sind die in R\mathbb R definierten Funktionen faf_a mit fa(x)=aex+3f_a(x)=a\cdot e^{-x}+3 und aR\{0}a\in \mathbb R\backslash\{0\}.

    1. Zeigen Sie, dass fa(0)=af'_a(0)=-a gilt. (1P)

    2. Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von faf_a im Punkt (0fa(0)) (0|f_a(0)).

      Bestimmen Sie diejenigen Werte von a, für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die xx-Achse in einem Punkt schneidet, dessen xx-Koordinate größer als 12\dfrac{1}{2} ist. (4P)


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