Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Bei einer gebrochen-rationalen Funktion darf der Nenner nicht null sein.

Für die Berechnung der Definitionslücken setze den Nenner $N(x)$ gleich null.

$N(x)=x^2-9$

Die beiden Nullstellen des Nenners müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden$\;\Rightarrow\; \mathbb D=\mathbb R\backslash\{-3;3\}$

Für die Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von $g$ berechnet man den Grenzwert $\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)$, indem die höchste Potenz von $x$ (das ist hier $x^2$) ausgeklammert wird.

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2}{x^2-9}=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\cancel{x^2}\cdot2}{\cancel{x^2}\left(1-\underbrace{\dfrac{9}{x^2}}_{\rightarrow 0}\right)}=\dfrac{2}{1}=2$

Der Graph von $g$ hat die waagrechte Asymptote $y=2$.

Besitzt der Graph von $g$ in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente, so heißt das, die erste Ableitung der Funktion an dieser Stelle muss null sein:

$\displaystyle g'\left(x\right)=0$

Berechne zunächst $\displaystyle g'\left(x\right)$ mithilfe der Quotientenregel:

$g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}=\dfrac{2x^2}{x^2-9}$ mit $u(x)=2x^2$ und $v(x)=x^2-9$

Berechne die Ableitungen $u(x)'$ und $v(x)'$:

$u(x)'=4x$ und $v(x)'=2x$ und setze alle Terme in die Formel für die Quotientenregel ein.

Die erste Ableitung der Funktion $g(x)$ lautet: $g'(x)=\dfrac{-36x}{\left(x^2-9\right)^2}$

Setze nun $\displaystyle g'\left(x\right)=0$:

$\dfrac{-36x}{\left(x^2-9\right)^2}=0$

Ein Bruch hat dann den Wert null, wenn der Zähler gleich null ist:

$\;\Rightarrow\;-36x=0\;\Rightarrow\;x=0$

Der Graph von $g$ hat in genau eine waagrechte Tangente an der Stelle $x=0$.

Allgemein gilt nach dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: $\displaystyle\int_a^b f(x)\;\mathrm{d}x=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)$.

Nach Aufgabenstellung muss folgendes Integral berechnet werden:

$\displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm{d}x=\left[F(x)\right]_1^7=F(7)-F(1)$

Die Werte $F(7)$ und $F(1)$ können aus der Abbildung $1$ abgelesen werden:

$F(7)=5$ und $F(1) =1$

Eingesetzt folgt:

$\displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm{d}x=\left[F(x)\right]_1^7=F(7)-F(1)=5-1=4$

Das Integral $\displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm{d}x$ hat den Wert $4$.

In der Abbildung $1$ ist der Graph der Stammfunktion $F(x)$ gezeichnet.

Allgemein gilt: $F'(x)=f(x)$

Wenn der Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$ bestimmt werden soll, muss der Wert von $F'(x)$ an der Stelle $1$ bestimmt werden, denn es gilt $F'(1)=f(1)$.

Gesucht ist also die Steigung der Tangente an den Graphen von $F$ im Punkt $(1|1)$.

(zur Stelle $x=1$ des Graphen gehört $y=1$)

Der Funktionswert von $f$ an der Stelle $1$ hat der Wert 4$\;\Rightarrow\; f(1)=4$.

Nullstelle

Gegeben ist $h(x)=\ln(2x-3)$. Gesucht ist die Nullstelle der $\ln$-Funktion.

Die Funktion $h$ hat an der Stelle $x=2$ eine Nullstelle.

Ableitungsfunktion

Die Funktion $h(x)$ ist eine verkettete Funktion. Beachte beim Ableiten die Kettenregel.

Für die Ableitung der $\ln$-Funktion gilt: $\left(\ln(x)\right)'=\dfrac{1}{x}$.

Die Ableitung der inneren Funktion $(2x-3)'=2$

$\;\Rightarrow\;$ $h'(x)=\dfrac{1}{2x-3}\cdot 2=\dfrac{2}{2x-3}$

Der Term der ersten Ableitungsfunktion von $h$ lautet: $h'(x)=\dfrac{2}{2x-3}$

Maximale Definitionsmenge $D_g$

Im Argument der $\ln$-Funktion dürfen nur positive Werte stehen. Für die Funktion $f(x)$ muss demnach gelten, dass $f(x)>0$ ist für alle $x\in \mathbb R$. Der Graph $G_f$ muss also oberhalb der $x$-Achse verlaufen. Das ist nach Abbildung $2$ der Fall für $x>2$.

$\;\Rightarrow\;D_f=\left]2;+\infty\right[$

Die maximale Definitionsmenge der Funktion $f$ ist $D_f=\left]2;+\infty\right[$.

Die Ableitungen der Funktionen $g$ und $f$ sind an einer Stelle gleich groß

Gesucht ist also die Stelle x, für die $g'(x)=f'(x)$ gilt.

Berechne zunächst die Ableitung der Funktion $g(x)=\ln(f(x))$. Beachte beim Ableiten die Kettenregel. Für die Ableitung der $\ln$-Funktion gilt: $\left(\ln(x)\right)'=\dfrac{1}{x}$.

Die Ableitung der inneren Funktion ist $f'(x)$.

Damit ergibt sich die Ableitung $g'(x)$ zu:

$g'(x)=\dfrac{1}{f(x)}\cdot f'(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$

Nun soll $g'(x)=f'(x)$ sein:

An der Stelle $x=4$ gilt, dass $g'(x)=f'(x)$ ist.

$f'_a(0)=-a$ soll nachgewiesen werden:

$f_a(x)=a\cdot e^{-x}+3$

Beachte bei der Ableitung die Kettenregel.

$f'_a(x)=a\cdot e^{-x}\cdot (-1)=-a\cdot e^{-x}$

Setze $x=0$ in die erste Ableitung ein:

$f'_a(0)=-a\cdot e^{-0}=-a\cdot 1=-a$

Stelle zunächst die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $(0|f_a(0))$ auf.

Berechne dazu zuerst $f_a(0)$: $f_a(0)=a\cdot e^{-0}+3=a\cdot 1+3=a+3$

Der Punkt, durch den die Tangente verläuft, hat also die Koordinaten $P(0|a+3)$.

Allgemeine Tangentengleichung:

$t: y=m\cdot x+b$

Dabei ist $m$ die Steigung der Funktion $f_a$ an der Stelle $x=0$.

In Aufgabe a) wurde diese Steigung berechnet: $f'_a(0)=-a$

Damit folgt für die Tangentengleichung:

$t: y=-a\cdot x+b$

Die Tangente verläuft durch den Punkt $(0|a+3)$. Setze diesen Punkt in die Tangentengleichung ein.

Die Tangentengleichung im Punkt $(0|f_a(0))$ lautet: $y=-a\cdot x+a+3$

Die Tangente soll eine positive Steigung haben, d.h. $a$ muss kleiner als null sein.

$\;\Rightarrow\;a<0$

Weiterhin wird gefordert, dass die Tangente die $x$-Achse in einem Punkt schneidet, dessen $x$-Koordinate größer als $\dfrac{1}{2}$ ist.

Berechne zunächst den Schnittpunkt der Tangente mit der $x$-Achse:

Es gilt $y=0$:

Die x-Achse wird bei $x= \dfrac{-3-a}{-a}$ geschnitten.

Nun soll dieser Schnittpunkt größer als $\dfrac{1}{2}$ sein:

Für $a<-6$ hat die Tangente eine positive Steigung und zudem wird die $x$-Achse in einem Punkt geschnitten, dessen $x$-Koordinate größer als $\dfrac{1}{2}$ ist.