Nullstelle

Gegeben ist $h(x)=\ln(2x-3)$. Gesucht ist die Nullstelle der $\ln$-Funktion.

Die Funktion $h$ hat an der Stelle $x=2$ eine Nullstelle.

Ableitungsfunktion

Die Funktion $h(x)$ ist eine verkettete Funktion. Beachte beim Ableiten die Kettenregel.

Für die Ableitung der $\ln$-Funktion gilt: $\left(\ln(x)\right)'=\dfrac{1}{x}$.

Die Ableitung der inneren Funktion $(2x-3)'=2$

$\;\Rightarrow\;$ $h'(x)=\dfrac{1}{2x-3}\cdot 2=\dfrac{2}{2x-3}$

Der Term der ersten Ableitungsfunktion von $h$ lautet: $h'(x)=\dfrac{2}{2x-3}$

Maximale Definitionsmenge $D_g$

Im Argument der $\ln$-Funktion dürfen nur positive Werte stehen. Für die Funktion $f(x)$ muss demnach gelten, dass $f(x)>0$ ist für alle $x\in \mathbb R$. Der Graph $G_f$ muss also oberhalb der $x$-Achse verlaufen. Das ist nach Abbildung $2$ der Fall für $x>2$.

$\;\Rightarrow\;D_f=\left]2;+\infty\right[$

Die maximale Definitionsmenge der Funktion $f$ ist $D_f=\left]2;+\infty\right[$.

Die Ableitungen der Funktionen $g$ und $f$ sind an einer Stelle gleich groß

Gesucht ist also die Stelle x, für die $g'(x)=f'(x)$ gilt.

Berechne zunächst die Ableitung der Funktion $g(x)=\ln(f(x))$. Beachte beim Ableiten die Kettenregel. Für die Ableitung der $\ln$-Funktion gilt: $\left(\ln(x)\right)'=\dfrac{1}{x}$.

Die Ableitung der inneren Funktion ist $f'(x)$.

Damit ergibt sich die Ableitung $g'(x)$ zu:

$g'(x)=\dfrac{1}{f(x)}\cdot f'(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$

Nun soll $g'(x)=f'(x)$ sein:

An der Stelle $x=4$ gilt, dass $g'(x)=f'(x)$ ist.