Es wird viermal gewürfelt. Dabei soll bei den ersten $3$ Würfen keine $1$ gewürfelt werden. Erst der $4$. Wurf darf auf die $1$ fallen.

$4$ Seiten des Würfels tragen keine $1$ $\;\Rightarrow\;$ $P\left(\overline{1}\right)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$

$2$ Seiten des Würfels tragen eine $1$ $\;\Rightarrow\;$ $P(1)=\dfrac{1}{3}$

$\;\Rightarrow\;P(\text{Es wird 4 mal geworfen.})=P\left(\overline{1},\overline{1},\overline{1},1\right)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{8}{81}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass genau viermal gewürfelt wird, beträgt $\dfrac{8}{81}$.

Für den Erwartungswert beim Würfeln mit diesem Würfel gilt:

$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{c c l}\text E (\text X) & = & x_1\cdot\text P (\text X =x_1) +x_2\cdot\text P (\text X =x_2) +\cdots+x_6\cdot\text P (\text X =x_6) \end{array}$

Für diesen Würfel ergeben sich folgenden Werte:

Diese Werte in die Formel für den Erwartungswert eingesetzt, erhält man:

$\displaystyle E(X)=1\cdot \dfrac{2}{6} +7\cdot\dfrac{1}{6}+u\cdot \dfrac{1}{6}+v \cdot\dfrac{1}{6}+w \cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{2+7+u+v+w}{6}$

Nach Aufgabenstellung soll dieser Erwartungswert $\dfrac{31}{6}$ sein.

Für die $3$ Platzhalter dürfen nach Aufgabenstellung nur positive, gerade Zahlen verwendet werden. Daher gibt es beliebig viele Lösungen.

Mögliche Lösungen sind z.B. $u=2$, $v=2$ und $w=18$ oder $u=4$, $v=6$ und $w=12$.