Man erstellt ein Baumdiagramm mit den auftretenden Wahrscheinlichkeiten für die $2$ und den dazugehörenden Auszahlungen.

Überprüfung der Angabe $P(Z=0)=\dfrac{1}{3}​$

Beim Glücksrad$1$ hat der Pfad zur $0$ die Wahrscheinlichkeit$\dfrac{2}{3}$. Anschließend wird Glücksrad $2$ gedreht. Hier hat der Pfad zur$0$ die Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{2}$. Die beiden Pfadwahrscheinlichkeiten müssen miteinander multipliziert werden.

$\;\Rightarrow\;P(Z=0)=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\;\checkmark$

$P(Z=2)=\underbrace{P(Z=1)}_{1. Rad}\cdot \underbrace{P(Z=1)}_{2. Rad}+\underbrace{P(Z=0)}_{1. Rad}\cdot \underbrace{P(Z=2)}_{2. Rad}$

$P(Z=2)=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{2}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$

Für die Wahrscheinlichkeit $p_1$​ ergibt sich dann: 

$p_1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}=1$

$\;\Rightarrow\; p_1=1-\left(\dfrac{4+3+1}{12}\right)=1-\dfrac{8}{12}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$

Die Wahrscheinlichkeit $p_1​$ ist $\dfrac{1}{3}​.$

Der Einsatz bei dem Spiel beträgt $3\;\text{€}$. Damit erhält man folgende Gewinntabelle.

Damit ergibt sich die folgende Verteilung für den Gewinn:

Die Zufallsgröße $X$ ist der erzielte Gewinn oder Verlust in € je Spiel für $1$ Spieler.

Allgemein gilt: $E(X)​=​x_1​⋅P(X=x_1​)+x_2​⋅P(X=x_2​)+⋯+x_4​⋅P(X=x_4)$

Eingesetzt erhält man:

$E(X)=-3\cdot\frac{1}{3}-1\cdot\frac{1}{3}+1\cdot\frac{1}{4}+3\cdot\frac{1}{12}=\dfrac{-12-4+3+3}{12}=-\dfrac{10}{12}=-\dfrac{5}{6}$

Der Spieler macht im Mittel $\frac{5}{6}\;€$Verlust, d.h. die SMV gewinnt im Mittel $\frac{5}{6}\;€$.

Gefordert ist ein Gewinn von $300\;€$ bei $n$ Spielen.

Es müssen 360 Spiele durchgeführt werden, damit der Erwartungswert der Einnahme für die Aktionen $300\;\text{€}$beträgt.

Grundwissen: 

$4\;\text{€}$werden ausgezahlt, wenn die Zwei zweimal getroffen wird.

$6\;\text{€}$ werden ausgezahlt, wenn die Zwei dreimal getroffen wird.

Die Wahrscheinlichkeit für eine Auszahlung von $4\;\text{€}$ oder $6\;\text{€}$ ist $p=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{3}$

Es handelt sich hier um eine binomialverteilte Größe mit $n=8$ und $p=\dfrac{1}{3}$.

$P(\text{mehr als 2-mal mindesten}\;4\;\text{€} )=P(X\geq3)$

$\;\Rightarrow\;P(X\geq3)=1-P(X\leq2)=1-F(8,\frac{1}{3},2)=1-0{,}46822=0{,}53178$

Alternativ kann auch so gerechnet werden:

$1-P(X\le2)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))$$\;\Rightarrow\;$

$1-P(x\leq2)=1-(B(8;\frac{1}{3};0)+B(8;\frac{1}{3};1)+B(8;\frac{1}{3};2))\;\Rightarrow\;$

$1-P(X\le2)=1-(0{,}03902+0{,}15607+0{,}27313)=1-0{,}46822=0{,}53178$

Die Auszahlungsbeträge sind $0\;\text{€}$, $2\;\text{€}$, $4\;\text{€}$ und $6\;\text{€}$.

Damit ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Auszahlungsbeträge:

Die einzige Möglichkeit, mit drei verschiedenen Beträgen die Summe $12\;\text{€}$ zu erreichen, ist $2\;\text{€}+ 4\;\text{€} + 6\;\text{€}=12\;\text{€}$.

Allerdings muss die mögliche Gewinnreihenfolge berücksichtigt werden. Bei $3\$Beträgen ist das $3!=6$.

$P(2{,}4,6)=3!\cdot P(Z=2)\cdot P(Z=4)\cdot P(Z=6)=3!\cdot \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{12}=\dfrac{6}{144}=\dfrac{1}{24}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an die ersten drei Personen drei unterschiedliche Beträge ausbezahlt werden, die in der Summe $12\;\text{€}$ ergeben, beträgt $\dfrac{1}{24}​$.