Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

Man erstellt mit den gegebenen Werten eine Vierfeldertafel (die auch bei der Aufgabe b) benötigt wird):

Wie findet man die Werte in den einzelnen Feldern?

Jeder Fünfte kennt die Aktion "Baumpatenschaft". Jeder Fünfte von $100$ Personen sind $20$ Personen.$\Rightarrow P(B)={\displaystyle \frac{20}{100}}=\mathrm{0,2}$ und $P(\overline{B})=1-P(B)=\mathrm{0,8}$

$24\%$der Befragten kennen keine der beiden Aktionen. $\Rightarrow P(\overline{U}\cap \overline{B})=\mathrm{0,24}$

Dann ist $P(U\cap \overline{B})=\mathrm{0,8}-\mathrm{0,24}=\mathrm{0,56}$.

Die Aktion "Umweltwoche" kennen $30\%$ der Befragten nicht.$\Rightarrow P(\overline{U})=\mathrm{0,3}$

Dann ist$P(U)=1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$.

Nun kann $P(U\cap B)=\mathrm{0,7}-\mathrm{0,56}=\mathrm{0,14}$ berechnet werden.

Schließlich folgt $P(\overline{U}\cap B)=\mathrm{0,2}-\mathrm{0,14}=\mathrm{0,06}$.

Damit ist die Vierfeldertafel komplett.

Die Ereignisse $B$und $U$ sollen stochastisch unabhängig sein.

Wenn $P(U\cap B)=P(U)\cdot P(B)$ gilt, dann sind $B$ und $U$ stochastisch unabhängig.

Also folgt, dass $B$ und $U$ stochastisch unabhängig sind.

$P_B\text{}(\overline{U})={\displaystyle \frac{P(\overline{U}\cap B)}{P(B)\text{}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,06}}{\mathrm{0,2}}}\text{}=\mathrm{0,3}$ oder $30\%$.

Unter der Bedingung, dass die ausgewählte Person die Aktion "Baumpatenschaft" kennt, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie die Aktion "Umweltwoche" nicht kennt, $30\%$.

Man erstellt ein Baumdiagramm mit den auftretenden Wahrscheinlichkeiten für die $2$ und den dazugehörenden Auszahlungen.

Überprüfung der Angabe $P(Z=0)={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{}$

Beim Glücksrad$1$ hat der Pfad zur $0$ die Wahrscheinlichkeit${\displaystyle \frac{2}{3}}$. Anschließend wird Glücksrad $2$ gedreht. Hier hat der Pfad zur$0$ die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Die beiden Pfadwahrscheinlichkeiten müssen miteinander multipliziert werden.

$\Rightarrow P(Z=0)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}✓$

$P(Z=2)=\underset{1.Rad}{\underbrace{P(Z=1)}}\cdot \underset{2.Rad}{\underbrace{P(Z=1)}}+\underset{1.Rad}{\underbrace{P(Z=0)}}\cdot \underset{2.Rad}{\underbrace{P(Z=2)}}$

$P(Z=2)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Für die Wahrscheinlichkeit $p_1$​ ergibt sich dann: 

$p_1+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}=1$

$\Rightarrow p_1=1-\left({\displaystyle \frac{4+3+1}{12}}\right)=1-{\displaystyle \frac{8}{12}}={\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Die Wahrscheinlichkeit $p_1\text{}$ ist ${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{}.$

Der Einsatz bei dem Spiel beträgt $3\text{€}$. Damit erhält man folgende Gewinntabelle.

Damit ergibt sich die folgende Verteilung für den Gewinn:

Die Zufallsgröße $X$ ist der erzielte Gewinn oder Verlust in € je Spiel für $1$ Spieler.

Allgemein gilt: $E(X)\text{}=\text{}{x}_1\text{}\cdot P(X=x_1\text{})+x_2\text{}\cdot P(X=x_2\text{})+\cdots +x_4\text{}\cdot P(X=x_4)$

Eingesetzt erhält man:

$E(X)=-3\cdot \frac{1}{3}-1\cdot \frac{1}{3}+1\cdot \frac{1}{4}+3\cdot \frac{1}{12}={\displaystyle \frac{-12-4+3+3}{12}}=-{\displaystyle \frac{10}{12}}=-{\displaystyle \frac{5}{6}}$

Der Spieler macht im Mittel $\frac{5}{6}€$Verlust, d.h. die SMV gewinnt im Mittel $\frac{5}{6}€$.

Gefordert ist ein Gewinn von $300€$ bei $n$ Spielen.

Es müssen 360 Spiele durchgeführt werden, damit der Erwartungswert der Einnahme für die Aktionen $300\text{€}$beträgt.

Grundwissen: 

$4\text{€}$werden ausgezahlt, wenn die Zwei zweimal getroffen wird.

$6\text{€}$ werden ausgezahlt, wenn die Zwei dreimal getroffen wird.

Die Wahrscheinlichkeit für eine Auszahlung von $4\text{€}$ oder $6\text{€}$ ist $p={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Es handelt sich hier um eine binomialverteilte Größe mit $n=8$ und $p={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

$P(\text{mehr als 2-mal mindesten}4\text{€})=P(X\ge 3)$

$\Rightarrow P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)=1-F(8,\frac{1}{3},2)=1-\mathrm{0,46822}=\mathrm{0,53178}$

Alternativ kann auch so gerechnet werden:

$1-P(X\le 2)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))$$\Rightarrow$

$1-P(x\le 2)=1-(B(8;\frac{1}{3};0)+B(8;\frac{1}{3};1)+B(8;\frac{1}{3};2))\Rightarrow$

$1-P(X\le 2)=1-(\mathrm{0,03902}+\mathrm{0,15607}+\mathrm{0,27313})=1-\mathrm{0,46822}=\mathrm{0,53178}$

Die Auszahlungsbeträge sind $0\text{€}$, $2\text{€}$, $4\text{€}$ und $6\text{€}$.

Damit ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Auszahlungsbeträge:

Die einzige Möglichkeit, mit drei verschiedenen Beträgen die Summe $12\text{€}$ zu erreichen, ist $2\text{€}+4\text{€}+6\text{€}=12\text{€}$.

Allerdings muss die mögliche Gewinnreihenfolge berücksichtigt werden. Bei $3$Beträgen ist das $3!=6$.

$P(\mathrm{2,4,6})=3!\cdot P(Z=2)\cdot P(Z=4)\cdot P(Z=6)=3!\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{6}{144}}={\displaystyle \frac{1}{24}}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an die ersten drei Personen drei unterschiedliche Beträge ausbezahlt werden, die in der Summe $12\text{€}$ ergeben, beträgt ${\displaystyle \frac{1}{24}}\text{}$.

Gegeben ist $n=8$ und$\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}={\displaystyle \frac{4}{3}}$​.

Man hat eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kann mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der p-q-Formel gelöst werden.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Die Werte für $p$ und $q$ werden abgelesen: $p=-1$ und $q={\displaystyle \frac{2}{9}}$

​Man hat die zwei Lösungen $p_1={\displaystyle \frac{1}{3}}$ und $p_2={\displaystyle \frac{2}{3}}$ erhalten.

Welche der beiden Wahrscheinlichkeiten gehört zur Abbildung $2$?

In der Abbildung $2$ ist zu erkennen, dass die Wahrscheinlichkeiten $P(X=2)$ und $P(X=3)$ gleich groß sind.

Man berechnet die beiden Wahrscheinlichkeiten einmal für $p_1={\displaystyle \frac{1}{3}}$ und dann eventuell noch für $p_2={\displaystyle \frac{2}{3}}$​.

$P(X=2)=B(8;\frac{1}{3};2)=\mathrm{0,2731}$und $P(X=3)=B(8;\frac{1}{3};3)=\mathrm{0,2731}$.

Die beiden Wahrscheinlichkeiten sind gleich groß, daher ist der Wert des Parameters $p_x={\displaystyle \frac{1}{3}}$​.

Da$p_x={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{}$ ist, folgt $p_y=1-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{}$

Die Verteilung von $Y$ ist die Verteilung von $X$ gespiegelt an der Geraden $x=4$. Dann gilt $P(Y=8)=P(X=0)$, ebenso $P(Y=7)=P(X=1)$ und so weiter.

$P(Y\ge 6)=P(Y=6)+P(Y=7)+P(Y=8)$

Dieser Summe aus drei Wahrscheinlichkeiten für die Verteilung $Y$ entspricht dann die Summe aus den drei folgenden Wahrscheinlichkeiten für die Verteilung $X$$P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$. Diese Summe ist gleich $P(X\le 2)$.

$P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

Somit ist dann$P(Y\ge 6)\equiv P(X\le 2)$.

Die ersten drei Balken in der Abbildung müssen gekennzeichnet werden.

Der Wahrscheinlichkeit $P(Y\ge 6)$ entspricht die grün gefärbte Fläche.