Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zu Ausdrucken als PDF,

Die SMV eines Gymnasiums initiierte im vergangenen Schuljahr die Aktionen "Baumpatenschaft" und "Umweltwoche".

Mit einer Umfrage auf dem Schulfest wird der Bekanntheitsgrad der beiden Aktionen ermittelt. Von den Befragten kennt jeder Fünfte die Aktion "Baumpatenschaft". $24 %$ der Befragten kennen keine der beiden Aktionen; die Aktion "Umweltwoche" kennen $30 %$ der Befragten nicht.

Aus den Befragten wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

$B$ : "Die Person kennt die Aktion ,Baumpatenschaft'."

$U$ : "Die Person kennt die Aktion ,Umweltwoche'."

Weisen Sie nach, dass die Ereignisse $B$ und $U$ stochastisch unabhängig sind. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stochastische Unabhängigkeit

Man erstellt mit den gegebenen Werten eine Vierfeldertafel (die auch bei der Aufgabe b) benötigt wird):

	$B$	$\overline B$	$\Sigma$
$U$	$0,14$	$0,56$	$0,7$
$\overline U$	$0,06$	$0,24$	$0,3$
$\Sigma$	$0,2$	$0,8$	1

Wie findet man die Werte in den einzelnen Feldern?

Jeder Fünfte kennt die Aktion "Baumpatenschaft". Jeder Fünfte von $100$ Personen sind $20$ Personen. $\;\Rightarrow\;P(B)=\dfrac{20}{100}=0{,}2$ und $P(\overline B)=1-P(B)=0{,}8$

$24 %$ der Befragten kennen keine der beiden Aktionen. $\;\Rightarrow\;P(\overline U\cap\overline B)=0{,}24$

Dann ist $P(U\cap\overline B)=0{,}8-0{,}24=0{,}56$ .

Die Aktion "Umweltwoche" kennen $30 %$ der Befragten nicht. $\;\Rightarrow\;P(\overline U)=0{,}3$

Dann ist $P (U) = 1 - 0,3 = 0,7$ .

Nun kann $P(U\cap B)=0{,}7-0{,}56=0{,}14$ berechnet werden.

Schließlich folgt $P(\overline U\cap B)= 0{,}2-0{,}14=0{,}06$ .

Damit ist die Vierfeldertafel komplett.

Die Ereignisse $B$ und $U$ sollen stochastisch unabhängig sein.

Wenn $P(U\cap B)=P(U)\cdot P(B)$ gilt, dann sind $B$ und $U$ stochastisch unabhängig.

$\displaystyle P(U\cap B)$	$=$	$\displaystyle P(U)\cdot P(B)$
	↓	Setze die Werte $P (U) = 0,14$ , $P (U) = 0,7$ und $P (B) = 0,2$ ein.
$\displaystyle 0{,}14$	$=$	$\displaystyle 0{,}7\cdot 0{,}2$
$\displaystyle 0{,}14$	$=$	$\displaystyle 0{,}14\;\checkmark$

Also folgt, dass $B$ und $U$ stochastisch unabhängig sind.

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Geben Sie für den Fall, dass die ausgewählte Person die Aktion "Baumpatenschaft" kennt, die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sie die Aktion "Umweltwoche" nicht kennt. (1 P)
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bedingte Wahrscheinlichkeit
$P_B(\overline U)=\dfrac{P(\overline U∩B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}06}{0{,}2}=0{,}3$ oder $30 %$ .
Unter der Bedingung, dass die ausgewählte Person die Aktion "Baumpatenschaft" kennt, beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie die Aktion "Umweltwoche" nicht kennt, $30 %$ .
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Um Geld für die beiden Aktionen einzunehmen, bietet die SMV auf dem Schulfest das Spiel " $2022$ " an. Bei dem Spiel werden zwei Glücksräder mit drei bzw. vier gleich großen Sektoren verwendet, die wie in Abbildung $1$ beschriftet sind. Für einen Einsatz von $3\;\text{€}$ darf man jedes der beiden Glücksräder einmal drehen. Für jede Ziffer $2$ , die auf den erzielten Sektoren steht, werden $2\;\text{€}$ ausbezahlt. Die Zufallsgröße $Z$ beschreibt, wie oft die Ziffer $2$ auf den erzielten Sektoren insgesamt vorkommt.

Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Z$ . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten $p_{1} $ und $p_{2}$ . (3 P)
(zur Kontrolle: $p_2=\frac{1}{4}$ )

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wahrscheinlichkeitsverteilung
Man erstellt ein Baumdiagramm mit den auftretenden Wahrscheinlichkeiten für die $2$ und den dazugehörenden Auszahlungen.
Überprüfung der Angabe $P(Z=0)=\dfrac{1}{3}$
Beim Glücksrad $1$ hat der Pfad zur $0$ die Wahrscheinlichkeit $\dfrac{2}{3}$ . Anschließend wird Glücksrad $2$ gedreht. Hier hat der Pfad zur $0$ die Wahrscheinlichkeit $\dfrac{1}{2}$ . Die beiden Pfadwahrscheinlichkeiten müssen miteinander multipliziert werden.
$\;\Rightarrow\;P(Z=0)=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\;\checkmark$
$P(Z=2)=\underbrace{P(Z=1)}_{1. Rad}\cdot \underbrace{P(Z=1)}_{2. Rad}+\underbrace{P(Z=0)}_{1. Rad}\cdot \underbrace{P(Z=2)}_{2. Rad}$
$P(Z=2)=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}+\dfrac{2}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$
Für die Wahrscheinlichkeit $p_{1}$ ergibt sich dann:
$p_1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}=1$
$\;\Rightarrow\; p_1=1-\left(\dfrac{4+3+1}{12}\right)=1-\dfrac{8}{12}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$
Die Wahrscheinlichkeit $p_{1} $ ist $\dfrac{1}{3}.$
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Ermitteln Sie, wie viele Spiele durchgeführt werden müssen, damit der Erwartungswert der Einnahme für die beiden Aktionen $300\;\text{€}$ beträgt. (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Erwartungswert

Der Einsatz bei dem Spiel beträgt $3\;\text{€}$ . Damit erhält man folgende Gewinntabelle.

Anzahl 2	Auszahlung in €	Gewinn in €
$0$	$0$	$- 3$
$1$	$2$	$- 1$
$2$	$4$	$1$
$3$	$6$	$3$

Damit ergibt sich die folgende Verteilung für den Gewinn:

Gewinn in €	-3	-1	1	3
$P (X = k)$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{12}$

Die Zufallsgröße $X$ ist der erzielte Gewinn oder Verlust in € je Spiel für $1$ Spieler.

Allgemein gilt: $E (X) = x_{1} \cdot P (X = x_{1} ) + x_{2} \cdot P (X = x_{2} ) + \dots + x_{4} \cdot P (X = x_{4}) E(X)=x_1⋅P(X=x_1)+x_2⋅P(X=x_2)+⋯+x_4⋅P(X=x_4)$

Eingesetzt erhält man:

$E(X)=-3\cdot\frac{1}{3}-1\cdot\frac{1}{3}+1\cdot\frac{1}{4}+3\cdot\frac{1}{12}=\dfrac{-12-4+3+3}{12}=-\dfrac{10}{12}=-\dfrac{5}{6}$

Der Spieler macht im Mittel $\frac{5}{6}\;€$ Verlust, d.h. die SMV gewinnt im Mittel $\frac{5}{6}\;€$ .

Gefordert ist ein Gewinn von $300\;€$ bei $n$ Spielen.

$\displaystyle 300$	$=$	$\displaystyle n\cdot \dfrac{5}{6}$	$\displaystyle \cdot\dfrac{6}{5}$
	↓	Löse nach $n$ auf.
$\displaystyle 300\cdot\dfrac{6}{5}$	$=$	$\displaystyle n$
	↓	Kürze mit $5$ .
$\displaystyle 60\cdot6$	$=$	$\displaystyle n$
$\displaystyle 360$	$=$	$\displaystyle n$

Es müssen 360 Spiele durchgeführt werden, damit der Erwartungswert der Einnahme für die Aktionen $300\;\text{€}$ beträgt.

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Acht Personen spielen nacheinander jeweils einmal das Spiel " $2022$ ".
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die SMV mehr als zweimal mindestens $4\;\text{€}$ ausbezahlen muss. (4 P)
%

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Grundwissen:
$4\;\text{€}$ werden ausgezahlt, wenn die Zwei zweimal getroffen wird.
$6\;\text{€}$ werden ausgezahlt, wenn die Zwei dreimal getroffen wird.
Die Wahrscheinlichkeit für eine Auszahlung von $4\;\text{€}$ oder $6\;\text{€}$ ist $p=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{1}{3}$
Es handelt sich hier um eine binomialverteilte Größe mit $n = 8$ und $p=\dfrac{1}{3}$ .
$P(\text{mehr als 2-mal mindesten}\;4\;\text{€} )=P(X\geq3)$
$\;\Rightarrow\;P(X\geq3)=1-P(X\leq2)=1-F(8,\frac{1}{3},2)=1-0{,}46822=0{,}53178$
Alternativ kann auch so gerechnet werden:
$1-P(X\le2)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))$ $\;\Rightarrow\;$
$1-P(x\leq2)=1-(B(8;\frac{1}{3};0)+B(8;\frac{1}{3};1)+B(8;\frac{1}{3};2))\;\Rightarrow\;$
$1-P(X\le2)=1-(0{,}03902+0{,}15607+0{,}27313)=1-0{,}46822=0{,}53178$
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Acht Personen spielen nacheinander jeweils einmal das Spiel " $2022$ ".
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an die ersten drei Personen drei unterschiedliche Beträge ausbezahlt werden, die in der Summe $12\;\text{€}$ ergeben. (3 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kombinatorik
Die Auszahlungsbeträge sind $0\;\text{€}$ , $2\;\text{€}$ , $4\;\text{€}$ und $6\;\text{€}$ .
Damit ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Auszahlungsbeträge:
Auszahlung in €
0
2
4
6
$P (Z = k)$
$\dfrac{1}{3}$
$\dfrac{1}{3}$
$\dfrac{1}{4}$
$\dfrac{1}{12}$
Die einzige Möglichkeit, mit drei verschiedenen Beträgen die Summe $12\;\text{€}$ zu erreichen, ist $2\;\text{€}+ 4\;\text{€} + 6\;\text{€}=12\;\text{€}$ .
Allerdings muss die mögliche Gewinnreihenfolge berücksichtigt werden. Bei $3$ Beträgen ist das $3! = 6$ .
$P(2{,}4,6)=3!\cdot P(Z=2)\cdot P(Z=4)\cdot P(Z=6)=3!\cdot \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{12}=\dfrac{6}{144}=\dfrac{1}{24}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an die ersten drei Personen drei unterschiedliche Beträge ausbezahlt werden, die in der Summe $12\;\text{€}$ ergeben, beträgt $\dfrac{1}{24}$ .
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Auszahlung in €	0	2	4	6
$P (Z = k)$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{3}$	$\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{1}{12}$

Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n = 8$ und $p_{x}$ besitzt die Standardabweichung $\frac{4}{3}$ . In Abbildung $2$ ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dargestellt.

Ermitteln Sie den Wert des Parameters $p_{x}$ . (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung

Gegeben ist $n = 8$ und $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\dfrac{4}{3}$ .

$\displaystyle \displaystyle \sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \dfrac{4}{3}$
	↓	Setze $n = 8$ ein.
$\displaystyle \displaystyle \sqrt{8\cdot p\cdot(1-p)}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel.
$\displaystyle 8\cdot p\cdot(1-p)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{16}{9}$	$\displaystyle :8$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle p\cdot(1-p)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2}{9}$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle p-p^2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2}{9}$	$\displaystyle +p^2-p$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle p^2-p+\dfrac{2}{9}$

Man hat eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kann mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der p-q-Formel gelöst werden.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Die Werte für $p$ und $q$ werden abgelesen: $p = - 1$ und $q=\dfrac{2}{9}$

$\displaystyle \displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = - 1$ und $q=\dfrac{2}{9}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle -\dfrac{(-1)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{(-1)}{2}\right)^2-\dfrac{2}{9}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{9}}$
	↓	Bringe die Brüche auf den Hauptnenner $36$ .
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9-8}{36}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{36}}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{6}$
$\displaystyle p_1$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \dfrac{3}{6}-\dfrac{1}{6}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}$
$\displaystyle p_2$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \dfrac{3}{6}+\dfrac{1}{6}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2}{3}$

Man hat die zwei Lösungen $p_1=\dfrac{1}{3}$ und $p_2=\dfrac{2}{3}$ erhalten.

Welche der beiden Wahrscheinlichkeiten gehört zur Abbildung $2$ ?

In der Abbildung $2$ ist zu erkennen, dass die Wahrscheinlichkeiten $P (X = 2)$ und $P (X = 3)$ gleich groß sind.

Man berechnet die beiden Wahrscheinlichkeiten einmal für $p_1=\dfrac{1}{3}$ und dann eventuell noch für $p_2=\dfrac{2}{3}$ .

$P(X=2)=B(8;\frac{1}{3};2)=0{,}2731$ und $P(X=3)=B(8;\frac{1}{3};3)=0{,}2731$ .

Die beiden Wahrscheinlichkeiten sind gleich groß, daher ist der Wert des Parameters $p_x=\dfrac{1}{3}$ .

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Die binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ hat die Parameter $n = 8$ und $p_{y} = 1 - p_{x} $ . Kennzeichnen Sie in Abbildung $2$ eine Fläche, die die Wahrscheinlichkeit $P(Y\geq 6)$ darstellt. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Da $p_x=\dfrac{1}{3}$ ist, folgt $p_y=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$
Die Verteilung von $Y$ ist die Verteilung von $X$ gespiegelt an der Geraden $x = 4$ . Dann gilt $P (Y = 8) = P (X = 0)$ , ebenso $P (Y = 7) = P (X = 1)$ und so weiter.
$P(Y\ge6)=P(Y=6)+P(Y=7)+P(Y=8)$
Dieser Summe aus drei Wahrscheinlichkeiten für die Verteilung $Y$ entspricht dann die Summe aus den drei folgenden Wahrscheinlichkeiten für die Verteilung $X$ $P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)$ . Diese Summe ist gleich $P(X\le2)$ .
$P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$
Somit ist dann $P(Y\ge6)\equiv P(X\le2)$ .
Die ersten drei Balken in der Abbildung müssen gekennzeichnet werden.
Der Wahrscheinlichkeit $P(Y\ge6)$ entspricht die grün gefärbte Fläche.
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