Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

Die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n=8$ und $p_x$ besitzt die Standardabweichung $\frac{4}{3}$ . In Abbildung $2$ ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dargestellt.

Ermitteln Sie den Wert des Parameters $p_x$ . (4 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung

Gegeben ist $n=8$ und $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\dfrac{4}{3}$ .

$\displaystyle \displaystyle \sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \dfrac{4}{3}$
	↓	Setze $n=8$ ein.
$\displaystyle \displaystyle \sqrt{8\cdot p\cdot(1-p)}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}$	$\displaystyle ()^2$
	↓	Beseitige die Wurzel.
$\displaystyle 8\cdot p\cdot(1-p)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{16}{9}$	$\displaystyle :8$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle p\cdot(1-p)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2}{9}$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle p-p^2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2}{9}$	$\displaystyle +p^2-p$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle p^2-p+\dfrac{2}{9}$

Man hat eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kann mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der p-q-Formel gelöst werden.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Die Werte für $p$ und $q$ werden abgelesen: $p=-1$ und $q=\dfrac{2}{9}$

$\displaystyle \displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=-1$ und $q=\dfrac{2}{9}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle -\dfrac{(-1)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{(-1)}{2}\right)^2-\dfrac{2}{9}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{9}}$
	↓	Bringe die Brüche auf den Hauptnenner $36$ .
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9-8}{36}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{36}}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{6}$
$\displaystyle p_1$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \dfrac{3}{6}-\dfrac{1}{6}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}$
$\displaystyle p_2$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \dfrac{3}{6}+\dfrac{1}{6}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{2}{3}$

Man hat die zwei Lösungen $p_1=\dfrac{1}{3}$ und $p_2=\dfrac{2}{3}$ erhalten.

Welche der beiden Wahrscheinlichkeiten gehört zur Abbildung $2$ ?

In der Abbildung $2$ ist zu erkennen, dass die Wahrscheinlichkeiten $P(X=2)$ und $P(X=3)$ gleich groß sind.

Man berechnet die beiden Wahrscheinlichkeiten einmal für $p_1=\dfrac{1}{3}$ und dann eventuell noch für $p_2=\dfrac{2}{3}$ .

$P(X=2)=B(8;\frac{1}{3};2)=0{,}2731$ und $P(X=3)=B(8;\frac{1}{3};3)=0{,}2731$ .

Die beiden Wahrscheinlichkeiten sind gleich groß, daher ist der Wert des Parameters $p_x=\dfrac{1}{3}$ .

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Die binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ hat die Parameter $n=8$ und $p_y=1-p_x$ . Kennzeichnen Sie in Abbildung $2$ eine Fläche, die die Wahrscheinlichkeit $P(Y\geq 6)$ darstellt. (2 P)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Da $p_x=\dfrac{1}{3}$ ist, folgt $p_y=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$
Die Verteilung von $Y$ ist die Verteilung von $X$ gespiegelt an der Geraden $x=4$ . Dann gilt $P(Y=8)=P(X=0)$ , ebenso $P(Y=7)=P(X=1)$ und so weiter.
$P(Y\ge6)=P(Y=6)+P(Y=7)+P(Y=8)$
Dieser Summe aus drei Wahrscheinlichkeiten für die Verteilung $Y$ entspricht dann die Summe aus den drei folgenden Wahrscheinlichkeiten für die Verteilung $X$ $P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$ . Diese Summe ist gleich $P(X\le2)$ .
$P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$
Somit ist dann $P(Y\ge6)\equiv P(X\le2)$ .
Die ersten drei Balken in der Abbildung müssen gekennzeichnet werden.
Der Wahrscheinlichkeit $P(Y\ge6)$ entspricht die grün gefärbte Fläche.
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