Man erstellt ein Baumdiagramm mit den auftretenden Wahrscheinlichkeiten für die $2$ und den dazugehörenden Auszahlungen.

Überprüfung der Angabe $P(Z=0)={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{}$

Beim Glücksrad$1$ hat der Pfad zur $0$ die Wahrscheinlichkeit${\displaystyle \frac{2}{3}}$. Anschließend wird Glücksrad $2$ gedreht. Hier hat der Pfad zur$0$ die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Die beiden Pfadwahrscheinlichkeiten müssen miteinander multipliziert werden.

$\Rightarrow P(Z=0)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}✓$

$P(Z=2)=\underset{1.Rad}{\underbrace{P(Z=1)}}\cdot \underset{2.Rad}{\underbrace{P(Z=1)}}+\underset{1.Rad}{\underbrace{P(Z=0)}}\cdot \underset{2.Rad}{\underbrace{P(Z=2)}}$

$P(Z=2)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{12}}+{\displaystyle \frac{2}{12}}={\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

Für die Wahrscheinlichkeit $p_1$​ ergibt sich dann: 

$p_1+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}=1$

$\Rightarrow p_1=1-\left({\displaystyle \frac{4+3+1}{12}}\right)=1-{\displaystyle \frac{8}{12}}={\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Die Wahrscheinlichkeit $p_1\text{}$ ist ${\displaystyle \frac{1}{3}}\text{}.$

Der Einsatz bei dem Spiel beträgt $3\text{€}$. Damit erhält man folgende Gewinntabelle.

Damit ergibt sich die folgende Verteilung für den Gewinn:

Die Zufallsgröße $X$ ist der erzielte Gewinn oder Verlust in € je Spiel für $1$ Spieler.

Allgemein gilt: $E(X)\text{}=\text{}{x}_1\text{}\cdot P(X=x_1\text{})+x_2\text{}\cdot P(X=x_2\text{})+\cdots +x_4\text{}\cdot P(X=x_4)$

Eingesetzt erhält man:

$E(X)=-3\cdot \frac{1}{3}-1\cdot \frac{1}{3}+1\cdot \frac{1}{4}+3\cdot \frac{1}{12}={\displaystyle \frac{-12-4+3+3}{12}}=-{\displaystyle \frac{10}{12}}=-{\displaystyle \frac{5}{6}}$

Der Spieler macht im Mittel $\frac{5}{6}€$Verlust, d.h. die SMV gewinnt im Mittel $\frac{5}{6}€$.

Gefordert ist ein Gewinn von $300€$ bei $n$ Spielen.

Es müssen 360 Spiele durchgeführt werden, damit der Erwartungswert der Einnahme für die Aktionen $300\text{€}$beträgt.

Grundwissen: 

$4\text{€}$werden ausgezahlt, wenn die Zwei zweimal getroffen wird.

$6\text{€}$ werden ausgezahlt, wenn die Zwei dreimal getroffen wird.

Die Wahrscheinlichkeit für eine Auszahlung von $4\text{€}$ oder $6\text{€}$ ist $p={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Es handelt sich hier um eine binomialverteilte Größe mit $n=8$ und $p={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

$P(\text{mehr als 2-mal mindesten}4\text{€})=P(X\ge 3)$

$\Rightarrow P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)=1-F(8,\frac{1}{3},2)=1-\mathrm{0,46822}=\mathrm{0,53178}$

Alternativ kann auch so gerechnet werden:

$1-P(X\le 2)=1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2))$$\Rightarrow$

$1-P(x\le 2)=1-(B(8;\frac{1}{3};0)+B(8;\frac{1}{3};1)+B(8;\frac{1}{3};2))\Rightarrow$

$1-P(X\le 2)=1-(\mathrm{0,03902}+\mathrm{0,15607}+\mathrm{0,27313})=1-\mathrm{0,46822}=\mathrm{0,53178}$

Die Auszahlungsbeträge sind $0\text{€}$, $2\text{€}$, $4\text{€}$ und $6\text{€}$.

Damit ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Auszahlungsbeträge:

Die einzige Möglichkeit, mit drei verschiedenen Beträgen die Summe $12\text{€}$ zu erreichen, ist $2\text{€}+4\text{€}+6\text{€}=12\text{€}$.

Allerdings muss die mögliche Gewinnreihenfolge berücksichtigt werden. Bei $3$Beträgen ist das $3!=6$.

$P(\mathrm{2,4,6})=3!\cdot P(Z=2)\cdot P(Z=4)\cdot P(Z=6)=3!\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{6}{144}}={\displaystyle \frac{1}{24}}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass an die ersten drei Personen drei unterschiedliche Beträge ausbezahlt werden, die in der Summe $12\text{€}$ ergeben, beträgt ${\displaystyle \frac{1}{24}}\text{}$.